2021年高考數(shù)學(xué)模擬訓(xùn)練卷 (二)(含答案解析)

2021年高考數(shù)學(xué)模擬訓(xùn)練卷（2）

一、單項選擇題（本大題共12小題，共36.（）分）

A.2+3iB.3+3iC.2-3iD.3-3i

2.若集合4={2,3,4},B={x|l+%>3},則AClB=()

A.{4}B.{2}C.{3,4}D.{2,3}

3.雙曲線/—y2=1的離心率為（）

A.V2B.2C.4D.1

4.等差數(shù)列｛an｝的前〃項和為Sn，若55=32,則Cl3=（）

A325

A-TB.2C.4V2D.32

5.在如圖所示的程序框圖中，若輸入的s=2,輸出的s>2018,則判斷框內(nèi)可以填入的條件是（）

A.i>9B.i<10C.i>10D.i>11

6.函數(shù)函數(shù)/Xx）=|x|-5的大致圖象為（）

V

7.若sin(兀一a)=g,且lWaW兀，貝ijsin2a的值為()

A.一延B.-辿C.柜D.這

9999

8.等比數(shù)列｛an｝的各項均為正數(shù)，且a5a6+。4a7=18,則log3%+log3。2+…+log3a10=()

A.12B.10C.8D.2+log35

9.(/+1)(京-2)5的展開式的常數(shù)項是()

A.5B.-10C.-32D.-42

10.已知拋物線C:'2=4工的焦點為凡準(zhǔn)線為/,尸是/上一點，。是直線尸產(chǎn)與拋物線C的一個

交點，若麗=3聞，則|QF|=()

4

3

-

A.3C.4或孑D.3或4

11.如圖，某幾何體的三視圖為三個邊長均為1的正方形及兩條對角線，則

它的表面積為()令令

￡ME??■

A.2V2

B.2V3

C.3*?*

D.4

12.己知函數(shù)f(x)=kxg<x<e2),與函數(shù)g(x)=(i)t若"x)與g(x)的圖象上分別存在點M,N,

使得MN關(guān)于直線y=x對稱，則實數(shù)々的取值范圍是()

A.e]B.[~^,2e]C.（一”e）D.[-|,3e]

二、填空題(本大題共4小題，共12.0分)

13.已知平面向量丘=(2m+l,-》B=且五〃B，則實數(shù)，〃的值為.

X>1

14.已知x,y滿足不等式y(tǒng)N4,貝!Jz=%+2y最大值為.

%+y-6<0

15.如圖，長方形的四個頂點為。(0,0),4(1,0),8(1,2),C(0,2),曲線y=a/經(jīng)「

過點B、現(xiàn)將一質(zhì)點隨機投入長方形OABC中，則質(zhì)點落在圖中陰影區(qū)域的概Mvj

率是.

-7J|~A'r

16.如圖，在空間四邊形ABC。中，MeAB,NeAD,若需=瑞，則

直線與平面BDC的位置關(guān)系是

三、解答題(本大題共7小題，共84.0分)

17.在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知c=acosB+bsinA.

(1)求A；

(2)若a=2,b=c,求△4BC的面積.

18.某公司新上一條生產(chǎn)線，為保證新的生產(chǎn)線正常工作，需對該生產(chǎn)線進行檢測.現(xiàn)從該生產(chǎn)線

上隨機抽取100件產(chǎn)品，測量產(chǎn)品數(shù)據(jù)，用統(tǒng)計方法得到樣本的平均數(shù)〃=14,標(biāo)準(zhǔn)差。=2,

繪制如圖所示的頻率分布直方圖.以頻率值作為概率估計值.

(1)從該生產(chǎn)線加工的產(chǎn)品中任意抽取一件，記其數(shù)據(jù)為X,依據(jù)以下不等式評判(P表示對應(yīng)事

件的概率)：

Q)P(ji-a<X<n+a)>0.6826

②P(〃-2a<X<n+2o)>0.9544

③P(〃-3cr<X<M+3cr)>0.9974

評判規(guī)則為：若至少滿足以上兩個不等式，則生產(chǎn)狀況為優(yōu)，無需檢修；否則需檢修生產(chǎn)線，

試判斷該生產(chǎn)線是否需要檢修；

(2)將數(shù)據(jù)不在(4-2°，4+2。)內(nèi)的產(chǎn)品視為次品，從該生產(chǎn)線加工的產(chǎn)品中任意抽取2件，次

品數(shù)記為匕求丫的分布列與數(shù)學(xué)期望EY.

19.如圖1,在矩形ABC。中，4B=4,4D=2,E為AB的中點，將△ADE沿力E折起，使平面ADE1

平面。EBC,如圖2.

A

(1)若F為AC的中點，求證：BF〃平面4DE；

(2)求二面角E-AB-C的正弦值.

20.已知兩點4(—2,0)、B(2,0),動點P滿足麗人-kPB=-i.

(1)求動點P的軌跡E的方程；

(2)H是曲線E與y軸正半軸的交點，曲線E上是否存在兩點M、N,使得△HMN是以H為直角

頂點的等腰直角三角形？若存在，請說明有幾個；若不存在，請說明理由.

21.已知函數(shù)"%)=二—，dM=xsinx+cosx.

(1)判斷函數(shù)g(%)在區(qū)間(0,2%)上的零點的個數(shù);

(2)記函數(shù)/(%)在區(qū)間(0,2江)上的兩個極值點分別為%i、如求證f(%i)+/(%2)<。?

22.在極坐標(biāo)系中，直線/的方程為ps譏C一。)=2,曲線C的方程為p=4cos。，求直線/被曲線

C截得的弦長.

23.已知函數(shù)/(%)=|2x—1|+|2x+3|.

(I)解不等式f(%)<5；

(n)若關(guān)于x的不等式f(x)>|1-a|恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案與解析】

1.答案：A

解析：

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，屬于基礎(chǔ)題.

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案.

5+i_(5+i)(l+i)_4+6i_

解：H一碼疝而一丁一“?"

故選：A.

2.答案：C

解析：解：B={x|x>2}：

■■Ar\B={3,4}.

故選：C.

可求出集合8,然后進行交集的運算即可.

考查列舉法、描述法的定義，以及交集的運算.

3.答案：A

解析：解：因為雙曲線/—y2=i,所以a=b=l,c=VL

所以雙曲線的離心率為：e=￡=V2.

故選：A.

利用雙曲線方程求出a,h,c即可求出它的離心率.

本題是基礎(chǔ)題，考查雙曲線離心率的求法，是基本性質(zhì)基本知識的應(yīng)用.

4.答案：A

解析：

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，S5=Sa3,即可得出.

本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)、等差數(shù)列的前，7項和公式，考查了推理能力與計算能力,

屬于中檔題.

解：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，S5=智3=5a3,

：?a也=%

355

故選：A.

5.答案：D

解析：

本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結(jié)論，是基

礎(chǔ)題.

由己知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量s的值，模擬程序的運行

過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案.

解：模擬程序的運行，可得

s=2,i=1

不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,s=4,i=2

不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,s=8,i=3

不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,s=16,i=4

不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,s=32>i=5

不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,s=64,i=6

不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,s=128,i=7

不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,s=256,i=8

不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,s=512,i=9

不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,s=1024,i=10

不滿足條件,執(zhí)行循環(huán)體,s=2048,i=11

由題意，此時應(yīng)該滿足條件，退出循環(huán)，輸出s的值為2048.

則判斷框內(nèi)可以填入的條件是i211?.

故選：D.

6.答案：D

解析:

本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，利用單調(diào)性和函數(shù)值的符號進行排除是解決本題的關(guān)鍵，屬

于基礎(chǔ)題目.

利用x>0時，函數(shù)的單調(diào)性，以及x<0時，函數(shù)值的符號進行排除即可.

解：當(dāng)x>0時，-%)為增函數(shù)，排除A,B,

當(dāng)x<0時，/(x)=|x|-1>0恒成立，排除C,

故選：D.

7.答案：A

解析：

本題主要考查三角函數(shù)化簡求值，涉及誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)關(guān)系式，二倍角公式等.直接利用公

式化簡即可.

解：因為sin(;r-a)=sina=|,^<a<7T,所以cosa=-手，所以sin2a=2sinacosa=2x|x

(一出)__W2

故選A

8.答案：B

解析：

本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，對數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題.

先由等比數(shù)列的性質(zhì)求得=a4a7=9,再利用對數(shù)的運算公式求解即可.

解：由題意，等比數(shù)列｛%｝的各項均為正數(shù)，且a5a6+a4a7=18,

則由等比數(shù)列性質(zhì)可知a5a6=a4a7=9,

5

所以H-----Flogsflio=--aio)=bg3(a.r,a6)=510gj9=10,

故選民

9.答案：D

解析:解：由于(專一2)5的通項為展?(專)5-.(—2)「，

故(7+1)(?！?)5的展開式的常數(shù)項是廢.(—2)+(—2)5=-42,

故選：D.

由于（專一2＞的通項為C1（專）5々.（_2）"可得（/+1）（盍-2戶的展開式的常數(shù)項.

本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

10.答案：B

解析：

本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.求得直線尸尸的方程，與

y2=4x聯(lián)立可得久=利用|QF|=d可求.

解：設(shè)Q到/的距離為d,則|Q*=d,

v而=3而,

\PQ\=2d,

???直線PF的斜率為土百，

??.直線PE的方程為y=±V3（x-1），

與y2=4X聯(lián)立可得X=1或X=3（舍去），

??.IQF|=1+冷.

故選B.

11.答案：B

解析：解：如圖所示，該幾何體是同底面的上下兩個正四棱錐.

則該兒何體的表面積S=8x工x隹=2%；

22

故選艮

由幾何體的三視圖還原幾何體，該幾何體是同底面的上下兩個正四棱錐的組合體,

根據(jù)各邊是邊長為1的等邊三角形求表面積.

本題考查了正八面體的三視圖及其表面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

12.答案:B

解析：解：函數(shù)g(x)=(了，關(guān)于直線y=￡對稱的函數(shù)為y=-2mx,

由題意，函數(shù)/(x)=kxgWXwe2),與y=-2)x有交點,

1-2ln-)-2lne2-4

x=-k=—=x=e乙，k=

ef-=獲'

實數(shù)上的取值范圍是[一爰,2e].

故選B.

函數(shù)g(x)=C)Z,關(guān)于直線丫=x對稱的函數(shù)為y=-2，nx,由題意，函數(shù)/'(%)=kxgSxWe?),

與y=-21nx有交點，即可得出結(jié)論.

本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題,注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用.

13.答案：一：

解析：

本題考查向量共線的坐標(biāo)運算，是基礎(chǔ)的計算題.

直接利用向量共線的坐標(biāo)運算列式求得，”值.

解：Va=(2m+方=(2m,l)，且向量五，石平行,

2m+1=—|x2m,解得：?n=—

故答案為：一1.

14.答案：11

X>1

解析：解：先根據(jù)X,y滿足不等式y(tǒng)24,畫出可行

,x+y—6<0

域，

目標(biāo)函數(shù)z=x+2y,經(jīng)過點B時z取得最大值，

5(1,5),

可得Zmax=1+2x5=11,

故最大值為：11,

故答案為：11.

先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值,只需求出直線z=x+2y過y軸的截距最大,

即Z最大值，從而求解.

本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，是中檔題.

15.答案：|

解析：解：???曲線y=Q/經(jīng)過點風(fēng)1,2)

Q=2,y=2%2,

?,?長方形部分面積S=1x2=2

陰影部分面積S版=2-1J(2x2)dx=2-(1x3)|J=2-1=i

4

所投的點落在陰影部分的概率p=3=2

23

故答案為：I

先求出“，然后根據(jù)積分求解出陰影部分的面積，再求解正方形的面積，再將它們代入幾何概型計

算公式計算出概率.

本題考查幾何概型的概率，可以為長度、面積、體積等，而且這個“幾何度量”只與“大小”有關(guān)，

而與形狀和位置無關(guān).

16.答案：平行

解析：在平面ABO中，黑=黑,

所以MN//BD.

又平面BCD,B￡>u平面BCD,

所以MV〃平面BCD.

17.答案：(本小題滿分12分)

解：⑴由c=acosB+及正弦定理可得:sinC=sinAcosB+sinBsinA...(2分)

在AABC中，C=n-A-B,

所以sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB....（4分）

由以上兩式得sim4=cosA,即tcmA=1,...（5分）

又46(0.7T),

所以4=*…僑分)

(2)由于SMBC="bcsinA=立be，…(7分)

24

由a=2,及余弦定理得：4=b2+c2-2bccosB=Z?2+c2—魚兒，…(8分)

因為b=c,

所以4=2加—式/，即匕2=&=4+2&,...(10分)

故△ABC的面積S=^bc=立爐=&+1...(12分)

44

解析：(1)由已知及正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系

式可得：tanA=1,結(jié)合范圍Ae(0,兀)，可求A的值.

(2)由三角形面積公式及余弦定理可求爐的值，進而利用三角形面積公式即可計算得解.

本題主要考查了正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，

三角形面積公式及余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

18.答案：解：(1)由頻率分布直方圖可得：P(12<X<16)=(029+0.11)x2=0.8,

P(10<X<18)=(0.04+0.29+0.11+0.03)x2=0.94,

P(8<X<20)=(0.005+0.04+0.29+0.11+0.03+0.015)X2=0.98,

.?.①符合，②③均不符合，故該生產(chǎn)線需要檢修.

(2)100件產(chǎn)品中，次品個數(shù)為100x(1-0.94)=6,正品個數(shù)為94,

故從生產(chǎn)線上任意抽取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品為合格品的概率為0.94.

故抽取2件產(chǎn)品，次品個數(shù)丫的取值可能為0,1,2,

其中P(y=0)=0.942=0.8836,P(Y=1)=C>0.94-0.06=0.1128,P(Y=2)=0.062=0.0036

丫的分布列為：

Y012

P0.88360.11280.0036

y的數(shù)學(xué)期望為E(y)=0x0.8836+1x0.1128+2x0.0036=0.12.

解析：本題考查了頻率分布直方圖，離散型隨機變量的分布列，屬于中檔題.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖得出X落在(12,16),(10,18),(8,20)上的概率，從而得出結(jié)論;

（2）根據(jù)二項分布的概率公式得出分布列，并計算數(shù)學(xué)期望.

19.答案：證明：（1）取4。的中點連接MF,ME,

???MF11DC,且MF=：DC.

又EB=2,CD=4,

EB//DC,且EB=10C.

:.MF"EB,且MF=EB,

二四邊形MEB尸為平行四邊形，

BF11ME.

???BFC平面AOE,MEc5??ADE,

BF〃平面ADE.

解：（2）如圖1,取CD的中點P,則四邊形ZMEP為正方形，設(shè)正方形D4"的對角線相交于點O,

則AP1DE.

如圖2,???平面4DE，平面DEBC,平面力CE介平面DEBC=DE,AO1DE,則4。_L平面DEBC.

以。為坐標(biāo)原點，方、次方向分別為x軸、y軸的正方向建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系0-xyz,

貝熊(0,0,&)，E(V2,0,0),F(2V2,V2,0).C(V2,2>/2,0).

AE=(V2,0,-V2).AB=(2V2,V2.-V2).AC=(^2,2V2,-<2).

設(shè)沆=(x,y,z)為平面ABE的一個法向量，

.tV2x-V2z=0

(||可取記=(L—1,1).

(2V2x+\[2y—y[2z=0

設(shè)元=(p,q,r)為平面ABC的一個法向量,

則(2魚p+魚q_&r=O,

可取五=(1,1,3),

(V2p+2V2q-V2r=0?

mn_3_V33

于是cos<m,n>=

|?n|-|n|V3X-71T11

???二面角E-4B-C的正弦值為Ji一嚕)22短

11

解析：本題考查線面平行的證明，考查二面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的

位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題.

(1)取AD的中點M,連接MF,ME,易證四邊形尸是平行四邊形，進而證得BF〃ME,由此

能證明BF〃平面4DE.

(2)取CZ)的中點P,可證40_L平面。仍C,以。為坐標(biāo)原點，0E,而方向分別為x軸、y軸的正方

向建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系0-xyz,求出平面ABE和平面ABC的一個法向量，從而求出

二面角E-AB-C的正弦值.

20.答案：解:(1)設(shè)點尸的坐標(biāo)為(％y)(yH0),則％=三,5=二，

'：kpA-kPB=-i,--方=一；，化簡得.+y2=i,

*T{IXAt￡?■4

???動點P的軌跡E的方程為9+3/2=1口大0).注：如果未說明yHO，扣(1分).

(2)設(shè)能構(gòu)成等腰直角三角形HMN,其中”為(0,1),

由題意可知，直角邊HM,HN不可能垂直或平行于x軸，故可設(shè)所在直線的方程為y=kx+l,

(不妨設(shè)k>0)

則HN所在直線的方程為丫=一江+1,由腹禽I,求得交點”(一品，券+1)，(另一交點

”(0,1))

???田⑷=J(-舟尸+(-舟2=嗡p,

用一:代替上式中的k,得|"N|="空，

k114+k2

由|HM|=|HN|,得k(4+l)=1+41,

???fc3-4k2+4fc—l=0=>(fc—1)(/—3fc+1)=0,

解得：卜=1或女=起漁，

2

當(dāng)斜率k=l時，HN斜率一1；當(dāng)斜率k=史二更時，"N斜率心電；當(dāng)斜率上=上漁時,

222

HN斜率之更，

2

綜上述，符合條件的三角形有3個.

解析：(1)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y)(yRO),求PA、PB的斜率，利用心4-kPB=化簡可得動

點P的軌跡E的方程；

(2)設(shè)能構(gòu)成等腰直角三角形HMN,其中，為(0,1),由題意可知，直角邊HN不可能垂直或平

行于x軸，故可設(shè)所在直線的方程為y=kx+l,(不妨設(shè)k>0)則印V所在直線的方程為y=

-Jx+l,確定交點M、N的坐標(biāo)，求出印V、，用的長，利用|HM|=|〃N|,即可求得結(jié)論.

本題考查軌跡方程的求解，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是求出"N、的長，利用

\HM\=|HN|進行求解.

21.答案：解：(l)g'(x)=xcosx,%>0,

當(dāng)xe(017r)時，g'(%)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)xe?%|兀)時，g'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)(表2兀)時，g'(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，且g(0)=1>0,g(1)=)>0,g(兀)=-1<0,

5(y)=-y<0,=1>0,

故函數(shù)g(x)在(0彳兀)，(兀,§)上不存在零點，

存在X]€E,兀],使得g(x)=0,同理不€尊2可使得g(x)=0

綜上，g(x)在區(qū)間(0,2兀)上的零點有2個，

/「、/?，/、xsinx+cosx

(2)f(%)=-----—，

由(1)可得，g(x)=xsinx+cosx在區(qū)間(),兀)，(表2兀)上存在零點，

所以f(x)在(),兀)，(季,2兀)上存在極值點與<知

Xie(|TT,TT),X2e(y,27T),

又因為XjS譏％i+cosxi=0(i=1,2),即工=—tanxi,