2021屆高考數(shù)學強基計劃模擬題18附答案解析

2021屆高考數(shù)學強基計劃模擬題18

一、單空題（本大題共8小題，共40.0分）

1.定理：若DE是AABC的中位線，則有SfDE：S^ABC=1：4.類比平面幾何這個定理可知：若三

棱錐4-BCD有中截面EFG〃平面BCD,則截得三棱錐的體積與原三棱錐體積之比為.

2.已知命題：在平面直角坐標系中，,豳酬1的頂點魂f噴和僦幾噂，頂點B在橢圓

［出￡=箕就勒恥涉隗益=府二1可上，橢圓的離心率是e,則.油書嬴.=1,類比上述

：??1缸M點般

命題有：在平面直角坐標系中，敘蜴的頂點題-4顧和露窗43頂點B在雙曲線

.-4=蜘料鶴即口聲=渥開晦上,雙曲線的離心率是e,則一.

3.中國有個名句“運籌帷幄之中，決勝千里之外”.其中的“籌”原意是指痣小子算經(jīng)》中記載的

算籌，古代是用算籌來進行計算，算籌是將幾寸長的小竹棍擺在平面上進行運算，算籌的擺放

形式有縱橫兩種形式，如表：表示一個多位數(shù)時，像阿拉伯計數(shù)一樣，把各個數(shù)位的數(shù)碼從左

到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個位，百位，萬位數(shù)用縱式表示，十位，千位，

十萬位用橫式表示，以此類推，例如6613用算籌表示就是：_|_T_川，則7288用算

籌式可表示為.

123456789

縱式IIIIIIIlliHillTTI!

機式=三至三J=L±去

4,表中的數(shù)陣為“森德拉姆數(shù)篩”，其特點是每行每列都成等差數(shù)列，記第i行第/列的數(shù)為切?.則

表中的數(shù)52共出現(xiàn)______次.

234567

35791113

4710131619

5913172125???

61116212631???

71319253137—

—————???.??

5.觀察下列式子：

1_1

3—3；

3155,

1+±+±=2.

315357,

l+±+±+±=i.

31535639,

則可以歸納，當neN*時，有式子.

6.在平面幾何中，有射影定理：“在AABC中，AB1AC,點4在BC邊上的射影為C,有AB?=BD,

BC."類比平面兒何定理，研究三棱錐的側面面積與射影面積、底面面積的關系，可以得出的正

確結論是：“在三棱錐4—BCD中，4。平面4BC,點4在底面BCD上的射影為。，則有

3

C

7.在十進制數(shù)中的運算規(guī)律是“滿十進一”，類比這個運算規(guī)律,進行八進制的四則運算，請計

算53伊）x26e）=__.（運算結果必須用八進制數(shù)表示）

8.將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：

1

23

456

78910

1112131415

根據(jù)以上規(guī)律，數(shù)陣中第n(nN3)行的從左至右的第3個數(shù)是.

二、解答題(本大題共3小題，共36.0分)

9.將正整數(shù)作如下分組：(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,14,15),(16,17,18,19,20,21),

…，分別計算各組包含的正整數(shù)的和如下，試用不完全歸納法猜測工+53+55+??????+52它1的

結果，并用數(shù)學歸納法證明.

Si=1,

S2=2+3=5,

S3=4+5+6=15

54=7+8+9+10=34,

55=11+12+13+14+15=65,

56=16+17+18+19+20+21=111,

k1

10.(本小題滿分12分)已知數(shù)列上J滿足對=-，?&u=不丁，%G威'.猜想數(shù)列岳」的單調(diào)

性，并證明你的結論.

11.猜想J2n個個(neN*)的值.

參考答案及解析

1.答案：匕-EFG：匕-BCD=1：8

解析：解：AABC中，若DE是△48C的中位線，則有SAADE：S^ABC=1：4；

由面積的性質類比推理到體積的性質，類比這一性質，推理出：

若三棱錐A-BCD有中截面EFG〃平面BCD,則截得三棱錐的體積與原三棱錐體積之間的關系式為

^A-EFG:^A-BCD=1：8?

故答案為：匕-EFG：匕-BCD=1：8.

由已知“若。E是AZBC的中位線，則有S-DE：S-BC=1：4”可以類比這一性質，推理出若三棱錐

4-BCD中，有中截面EFG〃平面BCD,則截得三棱錐的體積與原三棱錐體積之間的關系式.

本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，考查類比推理，類比推理的一般步驟是：找出兩類事物之間的

相似性或一致性，然后用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，是中檔題.

域逑

端年端即窗1施叫普睥條sr1

解析：試題分析：在橢圓中^———.U.!=—=-,而在雙曲線中

卸魄嫌怒|叫盟&■

色巴空閽解一|叫卜舐，所以有畫磊晶匐【

城M盛’隹;蝴餓.康’曲

考點：本小題主要考查類比推理.

點評：正確理解所給命題的本質是正確解題的關鍵.

3?答案：Tiiinr

解析：解：由題意各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個位，百位，萬位數(shù)用縱式表示，十位，千位,

十萬位用橫式表示，則7288用算籌可表示為丁|X川，

故答案為:-min-

根據(jù)新定義直接判斷即可.

本題考查了新定義的運用，考查學生對圖形的認識，屬于基礎題.

4.答案：4

解析：解：。所表示第般行第九列的數(shù)，

由題意知第n行是首項為Ti+l,公差為n的等差數(shù)列，

ann=(n+1)+(n—1)xn=n2+1.

第i行第7列的數(shù)記為4”.那么每一組i與/的解就是表中一個數(shù).

因為第一行數(shù)組成的數(shù)列&/0=12)是以2為首項，公差為1的等差數(shù)列，

所以4“=2+0-1)x1=/+1,

所以第/列數(shù)組成的數(shù)列=12)是以/+1為首項，公差為/的等差數(shù)列，

所以4“=/+1+(i-1)X/=〃+1.

令=ij+1=52,

即=51=1x51=17x3=3x17=51x1,

故表中52共出現(xiàn)4次.

故答案為：4.

斯”表示第幾行第列的數(shù)，由題意知第行是首項為公差為建的等差數(shù)列，由此能求出

ri71n+1,ann；

利用觀察法及定義可知第1行數(shù)組成的數(shù)列=1,2,)是以2為首項，公差為1的等差數(shù)列，進一步

分析得知第/列數(shù)組成的數(shù)列4/(i=12)是以1+1為首項，公差為/的等差數(shù)列，同時分別求出通項

公式，從而得知結果.

此題考查行列模型的等差數(shù)列的求法，是基礎題，解題時要熟練掌握等差數(shù)列的性質.

5?答案：/專+?+…+1n

4n2-12n+l

解析：解：觀察下列式子:

11

-----=―

1x33

1x33x55,

1,1,13

4H=一

1x3----3x5-----5x77

-1-+,--1--,-1---,-1-=一4

1X33x55x77x99

可以得到等式的左側的項數(shù)與等式的個數(shù)相對應，分子是1,分母是連續(xù)的兩個奇數(shù)的乘積，右側分

母是左側分母最大的一個奇數(shù)，分子是等式的個數(shù)，

當n€N*時，有式子9圭+”?+念7n

2n+l

故答案為：［+卷+域-*----*-]n

4n2-12n+l

觀察已知條件，找出規(guī)律即可寫出結果.

本題考查歸納推理，找出規(guī)律是解題的關鍵.

6.答案：S晨BC=S^BCO'S&BCD

解析：解：由已知在平面幾何中，

若△4BC中，AB1AC,AD1BC,。是

垂足，

貝I〃B2=BDBC,

我們可以類比這一性質，推理出：

若三棱錐A-BCD中，4D1面ABC,4。JL面BCD,。為垂足，

則S3BC=SABC。,S&BCD-

故答案為鹿48c=S48co-S&BCD

這是一個類比推理的題，在由平面圖形到空間圖形的類比推理中，一般是由點的性質類比推理到線

的性質，由線的性質類比推理到面的性質，由已知在平面幾何中，(如圖所示)若△ABC中，ABLAC,

AD1BC,D是垂足，則ZB?=BD-BC,我們可以類比這一性質，推理出若三棱錐4-BCD中，AD1

面48C,40_L面BCD,。為垂足，=^ABCO'^ABCD

類比推理的一般步驟是：(1)找出兩類事物之間的相似性或一致性；(2)用一類事物的性質去推測另

一類事物的性質，得出一個明確的命題(猜想).

7.答案:1662(8)

解析：解：53伊)x26伊)=(5x8+3)X(2X8+6)=43X22=946(10)=1662(8).

故答案為：1662(8).

根據(jù)八進制數(shù)轉化為十進制數(shù)，計算后轉化八進制數(shù)，進而得到答案.

本題考查的知識點是其它進制，其中正確理解八進制數(shù)轉化為十進制數(shù)的規(guī)則，是解答的關鍵，屬

于基礎題.

8答案：日尹

解析：解：由排列的規(guī)律可得，第n-l行結束的時候排了l+2+3+…+(n-l)=生產(chǎn)個數(shù).

所以n行從左向右的第3個數(shù)空生+3=貯=蛆.

22

故答案為之三蛆.

先找到數(shù)的分布規(guī)律，求出第71行結束的時候一共出現(xiàn)的數(shù)的個數(shù)，再求第71+1行從左向右的第3個

數(shù)即可.

本題借助于一個三角形數(shù)陣考查了數(shù)列的應用，是道基礎題.

9.答案：解：由Si=1=14>S]+S3=1+15=16=24>S]+S3+S$=81=34,

猜想S]+S3+S5+…...+5271-1=M，兀6N*；

證明：當n=l時，Si=14=l,猜想成立，

假設時，=k4,k€N*.

n=eN*)S1+S3+S5+-...+S2k_1

當71=fc+1時，S]+S3+$5+……+$2上-1+Szk+l=k*+^2k+l=k?+[(2卜2+k+1)+(2/f2+

k+2)+???+(2fc2+3k+1)]

1

=k2+-[(2k2+k+1)+(2k2+3k+l)](2/c+1)=k4+(2k2+2k+l)(2/c+1)

=/C4+4/C2+1+4k3+4k+2k2+1=(k2+2k+l)2=(k+l)4,

綜上可得n=k+1也成立，

則S[+S3+S5+…...+Szn-i=n4,nEN*.

解析：計算I，S1+S3,S1+S3+S5,猜想S1+S3+S5+…...+52.-1=標，n€N*；運用數(shù)學歸

納法證明，注意由n=k推導n=k+l也成立，運用完全平方公式.

本題考查數(shù)學歸納法的證明，考查運算能力和推理能力，屬于中檔題.

10.答案：見解析。

解析：試題分析：寫出數(shù)列前幾項，觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后用數(shù)學歸納法證明，注意數(shù)學歸納法的步

驟.

下面用數(shù)學歸納法證明：(1)當匠T時，已證命題成立.

(2)假設當R二不時命題成立，即卜->易知區(qū)>0,

■11

那么