數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課件

實(shí)驗(yàn)三:最佳分?jǐn)?shù)近似值

Bestfractionalapproximatevalue問題：祖沖之的圓周率為A.3.141592…B.355/113?

上述哪一個值更佳？2023/6/141尋找最佳Findthebest最佳近似值：誤差小，分母小。準(zhǔn)確值z=,分?jǐn)?shù)近似值u/v，誤差d=|z-u/v|。選法1：遞增選v，使d遞減。選法2：遞增選v，使vd遞減。選法3：以v2d小為佳，選十佳。2023/6/1422023/6/143這個辦法顯然很笨！快速尋佳2023/6/1442023/6/145連分?jǐn)?shù)continuedfractions

定義其中a0a1a2…和b1b2b3是實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)(complexnumber)2023/6/146簡單的連分?jǐn)?shù)a1,a2,a3,…為正整數(shù)(positiveinteger)或02023/6/147分?jǐn)?shù)連分?jǐn)?shù)2023/6/148分?jǐn)?shù)連分?jǐn)?shù)2023/6/149連分?jǐn)?shù)數(shù)列=[a0,a1,a2,a3]=[1,2,3,4]2023/6/1410數(shù)列連分?jǐn)?shù)

[1,1,2,2,3]=2023/6/1411=[0,2,1,2,12]2023/6/1412歐幾里德計(jì)算法(Euclideanalgorithm)：設(shè)

a,b

為兩整數(shù)，則存在兩整數(shù)

q,r

使得a=bq+r0r<|b|2023/6/1413輾轉(zhuǎn)相除法(Euclideanalgorithm)2023/6/14142023/6/14152023/6/1416假設(shè)，則2023/6/1417數(shù)列連分?jǐn)?shù)2023/6/1418pk

與

qk

之特性2023/6/1419連分?jǐn)?shù)的應(yīng)用2023/6/1420圓周率

圓周率的連分?jǐn)?shù)表示為

[3,7,15,1,292,1,1,…]，代入公式得

p0=3q0=1p1=73+1=22q1=7p2=1522+3=333q2=157+1=106

p3=1333+22=355q3=1106+7=113p4=103993q4=331022023/6/1421頭幾個漸進(jìn)分?jǐn)?shù)為

我國在公元五世紀(jì)時，祖沖之即以22/7為「疏率」（比之實(shí)際值略大），以

為「密率」（比之實(shí)際值略小)2023/6/1422

可知以

為

的近似值準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)

后面

6

位。事實(shí)上，祖沖之求出

3.1415926<<3.1415927這是中國數(shù)學(xué)史上極光輝的貢獻(xiàn)。

2023/6/14232023/6/1424音階的頻率比2023/6/1425聲音越高，頻率越高。1，2，3，4，5，6，7，i頻率各是多少？高8度

i是1的2倍。其余的音是1的幾倍？十二平均律：頻率等比上升，每半度升高21/12。比例都是無理數(shù)。但為了音樂和諧，比例應(yīng)是簡單分?jǐn)?shù)。矛盾的解決辦法：用最佳分?jǐn)?shù)近似值！2023/6/1426[趣味物理]樂音和音階

我們生活的世界充滿了各種聲音．優(yōu)美動聽的音樂可以陶冶情操，給人以美的享受，而電鋸鋸木的聲音、小刀刮玻璃的聲音使人感到刺耳難聽．可見，聲音可以分為兩種：前一種悅耳動聽的聲音叫做樂音，后一種令人厭煩的聲音叫做噪聲．那么，從物理學(xué)的角度看一看，樂音和噪聲的差別是什么呢？把話筒接在示波器的輸入端，再把發(fā)聲體放在話筒前，在示波器的熒光屏上可以顯示出發(fā)聲體的振動圖象（圖1）．

2023/6/1427先用兩種樂器在話筒前演奏，觀察它們發(fā)聲時的振動圖象；再用小刀在話筒前刮玻璃，觀察這種聲音的振動圖象（圖2）．

2023/6/1428

從示波器上可以看出，樂音的振動雖然不一定按正弦規(guī)律變化，但仍是有規(guī)則的，振動的周期是一定的；而噪音的振動沒有規(guī)則，沒有確定的周期．既然樂音具有確定的周期和頻率，一種樂音的音調(diào)就是確定的．在音樂理論中，把一組音按音調(diào)高低的次序排列起來就成為音階，也就是大家都知道的dou，ruai，mi，fa，sou，la,xi，dou（簡譜記“l(fā)”,“2”,“3”,“4”,“5”,“6”,“7”，“1”）．下表列出了C調(diào)音階和D調(diào)音階中各音的頻率．2023/6/1429唱名douruaimifasoulatidou該唱名的頻率與dou的頻率之比1∶19∶85∶44∶33∶25∶315∶82∶1f/Hz(C調(diào))264297330352396440495528f/Hz(D調(diào))297334371396446495557594有趣的是，高音dou的頻率正好是中音dou頻率的2倍，而且音階中各音的頻率跟dou的頻率之比都是整數(shù)之比．2023/6/1430還有更有趣的事情．喜歡音樂的同學(xué)都知道，有些音一起演奏時聽起來好聽，有些音一起演奏時聽起來不好聽；前者叫做諧和音，后者叫做不諧和音．著名的大三和弦dou、mi、sou的頻率比是4：5：6；而小三和弦ruai、fa、la的頻率比是10：12：15;大三和弦聽起來更為諧和，那是因?yàn)槿齻€音的頻率比是更小的整數(shù)之比．隨便拼湊在一起的三個音聽起來不和諧，有興趣的同學(xué)可以算一算它們的頻率比，一定是三個大得驚人的整數(shù)．2023/6/1431從這個例子可以看到藝術(shù)后面的科學(xué)道理，但是，藝術(shù)遠(yuǎn)比1＋l＝2復(fù)雜．從上表中看出，頻率增加一倍，音程高出8度．實(shí)際上這只對于中等音高是正確的．人的感覺十分復(fù)雜，對于高音段來說，頻率要增加一倍多，聽起來音高才高出一個8度．如果一個書呆子調(diào)琴師按照“頻率翻倍”的辦法調(diào)鋼琴，那就要砸飯碗了．盡管如此，科學(xué)家們還是可以通過音樂家的實(shí)際測聽，確定音高和頻率的對應(yīng)關(guān)系，并且據(jù)此設(shè)計(jì)出優(yōu)美動聽的電子樂器2023/6/1432音階的頻率比高8度

i是1的2倍。其余的音是1的幾倍？十二平均律：頻率等比上升，每半度升高21/12:1,1#,2,2#,3,4,4#,5,5#,6,6#,7,i1,22/12,24/12,25/12,27/12,29/12,211/12,2比例都是無理數(shù):1,1.12246,1.25992,1.33484,1.49831,1.68179,1.88775,2怎樣解決矛盾：用分母盡可能小的分?jǐn)?shù)近似值：但為了音樂和諧，比例應(yīng)是簡單分?jǐn)?shù)1,9/8,5/4,4/3,3/2,5/3,15/8,22023/6/14332023/6/14342023/6/1435計(jì)算對數(shù)值求a=logbN

ba=N,bp/q=N,bp=Nq

若bp≈Nq,則bp/q≈N，logbN≈p/q兩種方法：（1）海選法（比較笨的方法,例lg2,2q=10p）

(i)選取q=1,2,…,10000q1=1,p1=0,la(1)=21/100=2(ii)qk+1=qk+1,若2la(k)<Sqrt[10]則取la(k+1)=2la(k),pk+1=pk否則la(k+1)=2la(k)/10,p