專題七 曲線的性質(zhì)和軌跡問題

專題七曲線的性質(zhì)和軌跡問題第一頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六【考點(diǎn)搜索】第二頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六【考點(diǎn)搜索】

1.掌握?qǐng)A錐曲線的第一定義和第二定義反映的幾何性質(zhì)；

2.求曲線的方程的常見方法：

①待定系數(shù)法，即先確定方程的形式，再確定方程的系數(shù)；

②定義法，即根據(jù)已知條件，建立坐標(biāo)系、列出x和y的等量關(guān)系、化簡(jiǎn)關(guān)系;

③代入法;

④參數(shù)法.第三頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六【課前導(dǎo)引】第四頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六【課前導(dǎo)引】1.已知F1、F2是雙曲線的兩焦點(diǎn)，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是()第五頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六[解析]設(shè)的中點(diǎn)為P，依題意，第六頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六[解析]設(shè)的中點(diǎn)為P，依題意，[答案]

D第七頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六2.以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中：①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，

，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為

雙曲線；②過定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)點(diǎn)弦AB，

O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓；第八頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六③方程的兩根可分別作

為橢圓和雙曲線的離心率；④雙曲線相同的焦點(diǎn).其中真命題的序號(hào)為_________（寫出所有真命題的序號(hào)）第九頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六[解析]①的軌跡可能是雙曲線的一支，也可能是一條射線，也可能無軌跡；②的軌跡是圓；計(jì)算知③④正確。第十頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六【鏈接高考】第十一頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六【鏈接高考】xyAPF1F2OB[例1]第十二頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六(1)設(shè)橢圓的離心率為，證明(2)證明：(3)設(shè)

求橢圓的方程.xyAPF1F2OB第十三頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六[解析]xyAPF1F2OB第十四頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六(另：由ab=c2知：xyAPF1F2OB第十五頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六(2)由(1)有xyAPF1F2OB第十六頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六xyAPF1F2OB第十七頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六xyAPF1F2OB第十八頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六故所求橢圓的方程為xyAPF1F2OB第十九頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六故所求橢圓的方程為[說明]本題采用了待定系數(shù)法求軌跡方程.xyAPF1F2OB第二十頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六[例2]在ABC中,已知B(-3,0),C(3,0),

的垂心H分有向

線段所成的比為(1)分別求出點(diǎn)A和點(diǎn)H的軌跡方程;第二十一頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六[解答]設(shè)H點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),對(duì)應(yīng)的A的坐標(biāo)為(x1,y1),則D的坐標(biāo)為(x1,0),由H分有向線段此即點(diǎn)H的軌跡方程.第二十二頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六第二十三頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六(2)由(1)可知,P,Q分別為橢圓的左右焦點(diǎn),設(shè)H(x,y),且數(shù)列,則第二十四頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六第二十五頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六[說明]本題采用了代入法求軌跡方程.第二十六頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六[例3]如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn).(1)求△APB的重

心G的軌跡方程.(2)證明∠PFA=

∠PFB.ABPFOyxl第二十七頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六[解答](1)設(shè)切點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為ABPFOyxl第二十八頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六所以△APB的重心G的坐標(biāo)為ABPFOyxl第二十九頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六ABPFOyxl第三十頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六由于P點(diǎn)在拋物線外，ABPFOyxl第三十一頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六ABPFOyxl第三十二頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六∴∠AFP=∠PFB.ABPFOyxl第三十三頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六方法2：第三十四頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.第三十五頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六所以P點(diǎn)到直線AF的距離為：第三十六頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六第三十七頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六同理可得到P點(diǎn)到直線BF的距離因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB.第三十八頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六同理可得到P點(diǎn)到直線BF的距離因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB.[說明]本題采用了代入法求軌跡方程.第三十九頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六[例4]如右圖,已知⊙A:(x+2)2+y2=⊙B:(x2)2+y2=,動(dòng)圓P與⊙A、⊙B都相外切.yxABP(1)動(dòng)圓圓心P的軌跡方程；(2)若直線y=kx+1與(1)中的曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P1、P2，求k的取值范圍.第四十頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六[解答](1)依題意，PAPB=故P的軌跡是雙曲線的右支，a=1，c=2，其方程為：yxABP第四十一頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六(2)聯(lián)立方程組在[1,+)有兩不同的解，第四十二頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六第四十三頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六[例5]

A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的

兩點(diǎn)，且OA⊥OB，1.求A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積；2.求證：直線AB過定點(diǎn)；3.求弦AB中點(diǎn)P的軌跡方程；4.求△AOB面積的最小值；5.求O在AB上的射影M軌跡方程.第四十四頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六[解答](1)設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，中點(diǎn)P(x0,y0)，∵OA⊥OB∴kOAkOB=-1，∴x1x2+y1y2=0∵y12=2px1，y22=2px2

∵y1≠0,y2≠0,∴y1y2=4p2∴x1x2=4p2.第四十五頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六(2)∵y12=2px1，y22=2px2∴(y1y2)(y1+y2)=2p(x1x2)第四十六頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六第四十七頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六∴AB過定點(diǎn)(2p,0)，設(shè)M(2p,0).第四十八頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六(3)設(shè)OA∶y=kx，代入y2=2px得:x=0，同理，以代k得B(2pk2,-2pk).第四十九頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六即y02=px0-2p2，∴中點(diǎn)M軌跡方程y2=px-2p2第五十頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六(4)當(dāng)且僅當(dāng)|y1|=|y2|=2p時(shí)，等號(hào)成立.第五十一頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六(5)法一：設(shè)H(x3,y3),則第五十二頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六由(1)知，y1y2=-4p2，整理得：x32+y32-2px3=0，∴點(diǎn)H軌跡方程為x2+y2-4x=0(去掉(0,0)).第五十三頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六∴H在以O(shè)M為直徑的圓上∴點(diǎn)H軌跡方程為(x-p)2+y2=p2,去掉

(0,0).評(píng)注：此類問題要充分利用(1)的結(jié)論.法二：∵∠OHM=90,又由(2)知OM為定線段第五十四頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六專題七曲線的性質(zhì)和軌跡問題

第二課時(shí)第五十五頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六【考點(diǎn)搜索】第五十六頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六【考點(diǎn)搜索】

1.在求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的過程中，一是尋找與動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)的方程（等量關(guān)系），側(cè)重于數(shù)的運(yùn)算，一是尋找與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的幾何條件，側(cè)重于形，重視圖形幾何性質(zhì)的運(yùn)用；

2.注意向量與解析幾何的密切聯(lián)系.由于向量具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”，使向量與解析幾何之間有著密切聯(lián)系，大量的軌跡問題都是以向量作為背景編擬的；

3.注意利用曲線系解題.第五十七頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六【課前導(dǎo)引】第五十八頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六1.已知反比例函數(shù)的圖像是等軸雙曲線，則其焦點(diǎn)坐標(biāo)是()【課前導(dǎo)引】A.B.C.D.第五十九頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六[解答]雙曲線的實(shí)軸為直線x-y=0,故

兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為,且第六十頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六[解答]雙曲線的實(shí)軸為直線x-y=0,故

兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為,且[答案]A第六十一頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六2.已知圓x2+y2=1，點(diǎn)A(1，0)，△ABC內(nèi)接于此圓，∠BAC=60o，當(dāng)BC在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，BC中點(diǎn)的軌跡方程是()A.x2+y2=

B.x2+y2=

C.x2+y2=

D.x2+y2=

第六十二頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六[解析]記O為原點(diǎn)，依題意，且OB=OC=1,故原點(diǎn)到直線BC的距離為由圖像可知，BC中點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于

故選D.第六十三頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六【鏈接高考】第六十四頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六【鏈接高考】[例1]若直線mx+y+2=0與線段AB有交點(diǎn)，其中A(-2,3)，B(3,2)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.第六十五頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六[解答]直線mx+y+2=0過一定點(diǎn)C(0,-2),直線mx+y+2=0實(shí)際上表示的是過定點(diǎn)(0,-2)的直線系，因?yàn)橹本€與線段AB有交點(diǎn)，則直線只能落在∠ABC的內(nèi)部，設(shè)BC、CA這兩條直線的斜率分別為k1、k2，則由斜率的定義可知，直線mx+y+2=0的斜率k應(yīng)

滿足k≥k1或k≤k2，

∵A(-2,3)B(3,2)C(0,-2)ABxyO第六十六頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六[說明]此例是典型的運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想來解題的問題，這里要清楚直線mx+y+2=0的斜率m應(yīng)為傾角的正切，而當(dāng)傾角在(0,90)或(90,180)內(nèi)，角的正切函數(shù)都是單調(diào)遞增的，因此當(dāng)直線在∠ACB內(nèi)部變化時(shí)，k應(yīng)大于或等于kBC，或者k小于或等于kAC，當(dāng)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)變化時(shí)，也要能求出m的范圍.第六十七頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六[例2]根據(jù)下列條件，求雙曲線方程.第六十八頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六[解答]方法一：(1)第六十九頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六解之得：第七十頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六則，解之得：第七十一頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六方法二：(1)設(shè)雙曲線方程為第七十二頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六(3)設(shè)雙曲線方程為 ，解之得：k=4∴雙曲線方程為第七十三頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六第七十四頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六比較上述兩種解法可知，引入適當(dāng)?shù)膮?shù)可以提高解題質(zhì)量，特別是充分利用含參數(shù)方程的幾何意義，可以更準(zhǔn)確地理解解析幾何的基本思想.第七十五頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六[例3]已知直線l與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)Q，且與x軸、y軸分別交于R、S，求以線段SR為對(duì)角線的矩形ORPS的一個(gè)頂點(diǎn)P的軌跡方程.第七十六頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期六[例3]已知直線l與