演示文稿空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

（優(yōu)選）空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算ppt講解當(dāng)前第1頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)1．空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．當(dāng)前第2頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)2．空間兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則AB＝

，|AB|＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)當(dāng)前第3頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)3.若A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(2cosθ，2sinθ，1)，

B(3cosα，3sinα，1)，則||的取值范圍是(

)A.[0,5]B.[1,5]C.(1,5)D.[1,25]解析：∵＝(3cosα－2cosθ，3sinα－2sinθ，0)，∵－1≤cos(θ－α)≤1，∴||∈[1,5].答案：B當(dāng)前第4頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)A平面的法向量：如果表示向量

的有向線段所在直線垂直于平面

，則稱這個(gè)向量垂直于平面,記作

⊥，如果

⊥，那么向量

叫做平面的法向量.給定一點(diǎn)A和一個(gè)向量,那么過點(diǎn)A,以向量為法向量的平面是完全確定的.幾點(diǎn)注意：1.法向量一定是非零向量;2.一個(gè)平面的所有法向量都互相平行;3.向量是平面的法向量，向量是與平面平行或在平面內(nèi)，則有l(wèi)當(dāng)前第5頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)垂直關(guān)系：當(dāng)前第6頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)例2已知平面經(jīng)過三點(diǎn)A(1,2,3)、B(2,0,-1)、C(3,-2,0),試求平面的一個(gè)法向量.解:∵A(1,2,3)、B(2,0,-1)、C(3,-2,0)∴設(shè)平面的法向量是依題意,有,即解得z=0且x=2y,令y=1,則x=2∴平面的一個(gè)法向量是當(dāng)前第7頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)當(dāng)前第8頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)當(dāng)前第9頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)當(dāng)前第10頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)當(dāng)前第11頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)當(dāng)前第12頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)六、夾角：當(dāng)前第13頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)例2:(1)求直線B1C1與平面AB1C所成的角的正弦值;xyzADBA1D1C1B1解：(1)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示，則：A(0,0,0)B1(1,0,1)C(1,1,0)C1(1,1,1)設(shè)平面AB1C的法向量為n=(x1,y1,z1),所以X1+z1=0X1+y1=0取x1=1,得y1=z1=-1故n=(1,-1,-1)C故所求直線B1C1與平面AB1C所成的角的正弦值為當(dāng)前第14頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)如圖，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°，SO⊥平面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.求:⑴異面直線SA和OB所成的角的余弦值；⑵OS與平面SAB所成角α的正弦值；A（2，0，0）；于是我們有OABCS=（2，0，-1）；=（-1，1，0）；=（1，1，0）；=（0，0，1）；B（1，1，0）；S（0，0，1），則O（0，0，0）；解：以o為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示xyzC（0，1，0）；所以異面直線SA與OB所成的角的余弦值為當(dāng)前第15頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)取x=1，則y=1，z=2；故（2）設(shè)平面SAB的法向量顯然有當(dāng)前第16頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)N解：如圖建立坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則即在長(zhǎng)方體中，例1：當(dāng)前第17頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)N又在長(zhǎng)方體中，例1：當(dāng)前第18頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)例二：題型二：線面角在長(zhǎng)方體中，當(dāng)前第19頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)例2當(dāng)前第20頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)解：以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)則：

所以：所以與所成角的余弦值為當(dāng)前第21頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)5.正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線BC1與平面A1BD所成角的余弦值為

.解析：如圖，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，∴＝(1,0,1)，＝(1,1,0)，＝(－1,0,1).設(shè)n＝(x，y，z)為平面A1BD的法向量當(dāng)前第22頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)則∴取n＝(1，－1，－1)，設(shè)直線BC1與平面A1BD所成角為θ，則sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝.∴cosθ＝.答案：當(dāng)前第23頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)【鞏固練習(xí)】

1三棱錐P-ABCPA⊥ABC,PA=AB=AC,,E為PC中點(diǎn),則PA與BE所成角的余弦值為_________.

2直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A=2,AB=AC=1,則AC1與截面BB1CC1所成角的余弦值為_________.

當(dāng)前第24頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)當(dāng)前第25頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，點(diǎn)M在PB上，PB＝4PM，PB與平面ABCD成30°的角.(1)求證：CM∥平面PAD；(2)求證：平面PAB⊥平面PAD.當(dāng)前第26頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)[思路點(diǎn)撥]當(dāng)前第27頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)[課堂筆記]以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB為x軸，CD為y軸，CP為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C－xyz.∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC為PB與平面ABCD所成的角，∴∠PBC＝30°.∵PC＝2，∴BC＝2，PB＝4.當(dāng)前第28頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)∴D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M(，0，)，∴＝(0，－1,2)，＝(2，3,0)，＝(，0，)，當(dāng)前第29頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)(1)令n＝(x，y，z)為平面PAD的一個(gè)法向量，則令y＝2，得n＝(－，2,1).∵n·＝－×＋2×0＋1×＝0，∴n⊥，又CM?平面PAD，∴CM∥平面PAD.當(dāng)前第30頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)(2)取AP的中點(diǎn)E，則E(，2,1)，＝(－，2,1).∵PB＝AB，∴BE⊥PA.又∵·＝(－，2,1)·(2，3,0)＝0，當(dāng)前第31頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)∴⊥，∴BE⊥DA，又PA∩DA＝A.∴BE⊥平面PAD，又∵BE?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.當(dāng)前第32頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)小結(jié)：1.異面直線所成角：

2.直線與平面所成角：

當(dāng)前第33頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)1.若異面直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，它們所

成的角為θ，則cosθ＝|cos〈v1，v2〉|.2.利用空間向量方法求直線與平面所成的角，可以有

兩種辦法：當(dāng)前第34頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)①分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；②通過平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角.當(dāng)前第35頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)lmlm當(dāng)前第36頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)ll當(dāng)前第37頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)5.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－

A1B1C1D1中，M和N分別是A1B1和BB1

的中點(diǎn)，那么直線AM與CN所成角的

余弦值為

.當(dāng)前第38頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)解析：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，M(1，，1)，C(0,1,0)，N(1,1，，)則＝(0，，1)，＝(1,0，).∴cos〈〉＝＝＝.∴直線AM與CN所成角的余弦值為.答案：當(dāng)前第39頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)(2009·全國(guó)卷Ⅱ)如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分別為AA1、B1C的中點(diǎn)，DE⊥平面BCC1.(1)證明：AB＝AC；(2)設(shè)二面角A－BD－C為60°，求B1C與平面BCD所成的角的大小.當(dāng)前第40頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)[思路點(diǎn)撥]當(dāng)前第41頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)[課堂筆記]

(1)證明：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AA1為z軸.建立如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz.當(dāng)前第42頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)設(shè)B(1,0,0)，C(0，b,0)，D(0,0，c)，則B1(1,0,2c)，E(，，c).于是＝(，，0)，＝(－1，b,0).由DE⊥平面BCC1知DE⊥BC，·＝0，求得b＝1，所以AB＝AC.當(dāng)前第43頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)(2)設(shè)平面BCD的法向量＝(x，y，z)，則·＝0，·＝0.又＝(－1,1,0)，＝(－1,0，c)，故令x＝1，則y＝1，z＝，＝(1,1，).又平面ABD的法向量＝(0,1,0).當(dāng)前第44頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)由二面角A－BD－C為60°知，〈〉＝60°，故·cos60°，求得c＝.于是＝(1,1，)，＝(1，－1，)，Cos〈〉＝＝，〈〉＝60°.所以B1C與平面BCD所成的角為30°.當(dāng)前第45頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)解：由本例(2)知，＝(－1,1，－)，又B(1,0,0)，A1(0,0，)，∴＝(－1,0，).∴＝1－×＝－1，又||＝2，||＝，∴cos〈〉＝∴異面直線B1C與BA1所成角的余弦值為.在本例(2)的條件下，能否求出異面直線B1C與BA1所成角的余弦值.當(dāng)前第46頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)當(dāng)前第47頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)A.B.C.D.練習(xí)．在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M是AA1的中點(diǎn)，則點(diǎn)A1到平面MBD的距離是(

)當(dāng)前第48頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，B(a，a,0)，M(a,0，a)，A1(a，0，a)．∴DB＝(a，a,0)，DM＝(a,0，a)，A1M＝(0,0，－a)設(shè)平面MBD的法向量n＝(x，y，z)，則當(dāng)前第49頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)令x＝1，得n＝(1，－1，－2)，∴A1到平面MBD的距離答案：

A當(dāng)前第50頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)利用向量法求點(diǎn)面距，其步驟如下：1．求出該平面的一個(gè)法向量；2．找出過該點(diǎn)的平面的任一條斜線段對(duì)應(yīng)的向量；3．求出法向量與斜線段所對(duì)應(yīng)向量的數(shù)量積的絕對(duì)值再除

以法向量的模，即可求出點(diǎn)到平面的距離，如圖．當(dāng)前第51頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)點(diǎn)P到平面α的距離當(dāng)前第52頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)

(2009·茂名模擬)如圖所示，在四面體A－BCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝(1)求證：AO⊥平面BCD；(2)求異面直線AB與CD所成角的余弦值；(3)求點(diǎn)E到平面ACD的距離．當(dāng)前第53頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)[思路點(diǎn)撥]當(dāng)前第54頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)[課堂筆記]

(1)證明：連結(jié)OC，∵BO＝DO，AB＝AD，∴AO⊥BD.∵BO＝DO，BC＝CD，∴CO⊥BD.在△AOC中，由已知可得AO＝1，CO＝而AC＝2，∴AO2＋CO2＝AC2.∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC.∵BD∩OC＝O，∴AO⊥平面BCD.當(dāng)前第55頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)(2)以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1,0,0)，D(－1,0,0)，C(0，，0)，A(0,0,1)，E(，，0)，∴異面直線AB與CD所成角的余弦值為=(-1，0，1)當(dāng)前第56頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)(3)設(shè)平面ACD的法向量為n＝(x，y，z)，則令y＝1，得n＝(－，1，)是平面ACD的一個(gè)法向量．又EC＝(－，0)，∴點(diǎn)E到平面ACD的距離h＝當(dāng)前第57頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)當(dāng)前第58頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)利用空間向量解決空間中線面位置關(guān)系的論證、空間中各種角的求解問題，以代數(shù)運(yùn)算代替復(fù)雜的空間的想象，給解決立體幾何問題帶來(lái)了鮮活的方法．另外，空間向量還可以用來(lái)解決許多探索性問題，這類問題具有一定的思維深度，更能考查學(xué)生的能力，因此其已成為高考命題的熱點(diǎn)題型．當(dāng)前第59頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)[考題印證](2009·福建高考)如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E為BC的中點(diǎn)．

(1)求異面直線NE與AM所成角的余弦值；

(2)在線段AN上是否存在點(diǎn)S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求線段AS的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．當(dāng)前第60頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)【解】

(1)如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz.依題意，易得D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，E(，1,0)．┄┄┄┄┄┄┄(2分)當(dāng)前第61頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)所以異面直線NE與AM所成角的余弦值為(6分)=(-1,0,1)┄┄┄┄┄(3分)┄┄┄┄┄(5分)當(dāng)前第62頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)(2)假設(shè)在線段AN上存在點(diǎn)S，使得ES⊥平面AMN.∵AN＝(0,1,1)，可設(shè)AS＝λAN＝(0，λ，λ)，又EA＝(，－1,0)，∴，λ－1，λ)．┄┄┄┄(8分)當(dāng)前第63頁(yè)\共有70頁(yè)\編于星期二\11點(diǎn)由ES⊥平面AMN，得即┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(9分)故λ＝，此時(shí)AS＝(0，)，|AS|＝┄┄(10分)經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)AS＝時(shí)，ES⊥平面AMN.┄┄┄┄(11分)故線段AN上存在點(diǎn)S，使得ES