電路的拉普拉斯變換分析法

電路的拉普拉斯變換分析法當(dāng)前第1頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)7.1拉普拉斯變換的定義拉普拉斯變換（簡(jiǎn)稱拉氏變換）是求解常系數(shù)線性微分方程的工具。設(shè)一個(gè)變量t的函數(shù)f(t)，在任意區(qū)間能夠滿足狄利赫利條件（一般電子技術(shù)中處理的函數(shù)都滿足這一條件）

拉氏正變換f(t)：原函數(shù)；F(S)：f(t)的象函數(shù)。

0<t0)(=tf0t3ò￥-0)(dtetfst為有限值積分下線0-后面討論中寫成0拉氏正變換當(dāng)前第2頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)例用定義求f(t)象函數(shù)。其中a為實(shí)數(shù)，且a>0。

解根據(jù)拉氏變換的定義tjtateews---￥?=)(lim=0稱為收斂域

當(dāng)前第3頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)拉氏反變換拉氏正變換拉氏反變換拉氏變換對(duì)由F(s)到f(t)的變換稱為拉普拉斯反變換，簡(jiǎn)稱拉氏反變換下面來(lái)討論一些常見函數(shù)的拉普拉斯變換工程中常見的函數(shù)(除少數(shù)例外)有下列兩類:(1)t的指數(shù)函數(shù)；(2)t的正整冪函數(shù)。許多常用的函數(shù)如階躍函數(shù)、正弦函數(shù)、衰減正弦函數(shù)等，都可由這兩類函數(shù)導(dǎo)出。當(dāng)前第4頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)

7.1.1指數(shù)函數(shù)

(a為常數(shù))由定義可得的拉普拉斯變換為由此可導(dǎo)出一些常用函數(shù)的變換：1、單位階躍函數(shù)e(t)

a=0當(dāng)前第5頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)2、正弦函數(shù)sinwte(t)

故有當(dāng)前第6頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)3、余弦函數(shù)coswte(t)

故有當(dāng)前第7頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)4、衰減正弦函數(shù)

(t)sineatwe-故有5、衰減余弦函數(shù)

(t)coseatwe-與衰減正弦函數(shù)相類似可得當(dāng)前第8頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)6、雙曲線正弦函數(shù)shbte(t)

故有7、雙曲線余弦函數(shù)chbte(t)

與雙曲線正弦函數(shù)相類似可得當(dāng)前第9頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)

7.1.2t的正冪函數(shù)

(n為正整數(shù)由定義可得的拉普拉斯變換為設(shè)則亦即當(dāng)前第10頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)依次類推，則得當(dāng)n=1時(shí)，有當(dāng)前第11頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)7.1.3沖激函數(shù)Ad（t）沖激函數(shù)的定義可得對(duì)于單位沖激函數(shù)來(lái)說(shuō)，可令上式A=1，即得：書中表71給出了一些常見函數(shù)的拉普拉斯變換當(dāng)前第12頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)拉氏變換法的實(shí)質(zhì)就是將微分方程經(jīng)數(shù)學(xué)變換轉(zhuǎn)變成代數(shù)方程，然后進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，再將所得的結(jié)果變換回去。它和應(yīng)用對(duì)數(shù)計(jì)算數(shù)的乘除相類似。不同的只是在對(duì)數(shù)運(yùn)算中變換的對(duì)象是數(shù)，而在拉氏變換中變換的對(duì)象是函數(shù)。（2）對(duì)于常用的階躍函數(shù)、沖激函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及一些超越函數(shù)等經(jīng)變換以后，可轉(zhuǎn)換成為簡(jiǎn)單的初等函數(shù)。拉氏變換法的優(yōu)點(diǎn)：（1）求解過(guò)程得以簡(jiǎn)化，又同時(shí)給出微分方程的特解及齊次方程的通解，而且初始條件能自動(dòng)包含在變換式中，對(duì)于換路起始時(shí)有突變現(xiàn)象的問題處理更方便；當(dāng)前第13頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)7.2拉普拉斯變換的基本性質(zhì)拉普拉斯變換有許多重要性質(zhì)。利用這些基本性質(zhì)可以方便地求出一些較為復(fù)雜函數(shù)的象函數(shù)，同時(shí)通過(guò)這些基本性質(zhì)可以將電路在時(shí)域內(nèi)的線性常微分方程變換為復(fù)頻域內(nèi)的線性代數(shù)方程。從而得到復(fù)頻域中的等效電路。

7.2.1

線性特性若f1(t)

F1(s)Lf2(t)LF2(s)則)()(2211tfatfa+L)()(2211sFasFa+a1，a2為任意常數(shù)

當(dāng)前第14頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)證明求函數(shù)的象函數(shù)例解7.2.2

尺度變換若f(t)

F(s)L則f1(at)

La為大于零的實(shí)數(shù)

當(dāng)前第15頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)證明令x=at

7.2.3

時(shí)間變換若f(t)

F(s)LL0tf(t)0tt0f(t-t0)當(dāng)前第16頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)證明令t0為常數(shù)

則例解求圖中所示的鋸齒波的拉普拉斯變換

0tf(t)ETt0tfa(t)0tTfc(t)0-ETfb(t)=++當(dāng)前第17頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)由線性性質(zhì)當(dāng)前第18頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)時(shí)間平移特性還可以用來(lái)求取有始周期函數(shù)(t≥0時(shí)呈現(xiàn)周期性的函數(shù)

,在t＜0范圍函數(shù)值為零)的拉普拉斯變換

f(t)為有始周期函數(shù)，其周期為T，f1(t)、f2(t)…分別表示函數(shù)的第一周期，第二周期，…的函數(shù)

，

由于是周期函數(shù)，因此

f2(t)可看成是

f1(t)延時(shí)一個(gè)周期構(gòu)成的，

f3(t)可看成是

f1(t)延時(shí)二個(gè)周期構(gòu)成的，依此類推則有

當(dāng)前第19頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)根據(jù)平移特性，若則f(t)為有始周期函數(shù)，其周期為T，拉普拉斯變換等于第一周期單個(gè)函數(shù)的拉普拉斯變換乘以周期因子

例求圖中半波正弦函數(shù)的拉普拉斯變換0tET23T25T2T2Tf(t)當(dāng)前第20頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)解先求第一個(gè)半波f1(t)的拉普拉斯變換

0tEf1(t)3T2T2T0tET2f1b(t)||3T2T2T0tET2f1a(t)+有始正弦函數(shù)的拉普拉斯變換為故根據(jù)時(shí)間平移特性可得當(dāng)前第21頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)半波正弦周期函數(shù)的拉普拉斯變換為當(dāng)前第22頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)7.2.4

頻率平移特性若f(t)

F(s)L則證明7.2.5

時(shí)域微分特性L若f(t)

F(s)L則證明當(dāng)前第23頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)由上式應(yīng)用分部積分法，有式中于是可得應(yīng)用上式的結(jié)果可得依此類推，可得當(dāng)前第24頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)如果f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)的初值為零。則上式變?yōu)?/p>

例解若電容元件C的端電壓uC(t)的拉氏變換式為UC(s)求電容C中電流的象函數(shù)IC(s)。

應(yīng)用微分性質(zhì)IC(s)=L[iC(t)]=L[C]=C[sUC(s)uC(0-)]=CsUC(s)CuC(0-)dttduC)(如果C的端電壓初始值uC(0-)=0IC(s)=CsUC(s)則有當(dāng)前第25頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)7.2.6

時(shí)域微分特性L若f(t)

F(s)則證明對(duì)上式進(jìn)行分部積分，得=0則如函數(shù)的積分區(qū)間不由0開始而是由-∞開始則因?yàn)楫?dāng)前第26頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)故有將積分性質(zhì)廣到多重積分同前面—樣，此處的0意味著0-書中表7–2列出了拉普拉斯變換的基本性質(zhì)。則有當(dāng)前第27頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)7.3拉普拉斯反變換利用拉普拉斯變換法對(duì)電路進(jìn)行暫態(tài)分析，最終結(jié)果必須返回時(shí)域，就是說(shuō)還要進(jìn)行拉普拉斯反變換。求拉氏反變換最簡(jiǎn)單的方法是查拉氏變換表因?yàn)樽儞Q表中只列出了常用的一些函數(shù)，它不可能將一切函數(shù)都包括在內(nèi)。因此，下面介紹一種基本的方法，部分分式法。當(dāng)前第28頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)利用拉普拉斯變換分析電路的暫態(tài)過(guò)程時(shí)所遇到的象函數(shù)一般都是s的實(shí)系數(shù)有理函數(shù)，它的結(jié)果可表示成兩個(gè)多項(xiàng)式之比，即式中的諸系數(shù)an,bn都是實(shí)數(shù)，m、n都是正整數(shù)。

如m≥n時(shí)，可以將假分式可分解為多項(xiàng)式與真分式之和。N(S)=0的根被稱為F(S)的零點(diǎn)；

D(S)=0的根被稱為F(S)的極點(diǎn)。

為了分解F(s)為部分分式，只需討論D(s)=0的根。當(dāng)前第29頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)7.3.1D(s)=0均為單根，即無(wú)重根的情況（設(shè)m<n）因D(s)是s的n次多項(xiàng)式，故可分解因式如下由于D(s)無(wú)重根，故sn都不相等，F(xiàn)(S)寫成部分分式的形式為A1，A2，...Ak...An為待定系數(shù)，稱為F(s)在各極點(diǎn)處的留數(shù)。Ak如何確定？當(dāng)前第30頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)令將等式的兩邊乘以(s-sk)當(dāng)前第31頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)在求出了部分分式的Ak各值之后，就可以逐項(xiàng)對(duì)部分分式求拉氏反變換，得F(s)的原函數(shù)為 由此可見，象函數(shù)的拉氏反變換，可表示為若干指數(shù)函數(shù)項(xiàng)之和當(dāng)前第32頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)例1

解求的原函數(shù)。首先將F(s)化為真分式將分母進(jìn)行因式分解將F(s)中的真分式寫成部分分式當(dāng)前第33頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)求真分式中各部分分式的系數(shù)當(dāng)前第34頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)于是F(s

)可展開為其原函數(shù)為注意：在對(duì)假分式進(jìn)行反變換時(shí)，應(yīng)首先將假分式變?yōu)檎娣质?，然后再進(jìn)行部分分式分解。當(dāng)前第35頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)例２

解求的原函數(shù)。先將分母分解因式得是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)方法一由當(dāng)前第36頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)由于為一對(duì)共軛值，A1，A2則也必為共軛值，所以A2可由A1直接求得。于是對(duì)上式逐項(xiàng)求反變換，并加以整理得當(dāng)前第37頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)方法二當(dāng)D(s)為二次三項(xiàng)式，且D(s)=0的根為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)時(shí)，還可以使用更簡(jiǎn)便的方法求原函數(shù)。即將分母配成二項(xiàng)式的平方，將一對(duì)共軛復(fù)根作為一個(gè)整體來(lái)考慮。F(s)可配方為直接查閱拉普拉斯變換表可得計(jì)算步驟大為簡(jiǎn)化當(dāng)前第38頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)例３

解求的原函數(shù)。象函數(shù)F(s)不是有理函數(shù)，部分分式分解的方法無(wú)法直接應(yīng)用，這時(shí)可先將F(s)改寫成其中分別都是有理函數(shù)，可用部分分式法分解

根據(jù)時(shí)間平移性質(zhì)可知的原函數(shù)，就等于F2(s)的原函數(shù)再平移2個(gè)時(shí)間單位的結(jié)果。當(dāng)前第39頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)分別求F1(s)，F(xiàn)2(s)的原函數(shù)于是可得當(dāng)前第40頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)7.3.2D(s)=0的根有重根的情況（設(shè)m<n）設(shè)D(s)=0在s=s1處有p階重根，這時(shí)可將F(s)寫成下面的形式把F(s)展開成部分分式A2，A3，...An-p

各留數(shù)仍可照無(wú)重根的情況求取當(dāng)前第41頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)A12、A13、...A1p各留數(shù)，不能再采用這種方法。因?yàn)檫@樣將使導(dǎo)數(shù)分母中出現(xiàn)“0”值，而得不出結(jié)果。留數(shù)A11的求取，可將等式的兩邊乘以令s=s1于是為此，引入輔助函數(shù)當(dāng)前第42頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)對(duì)s微分得顯然同理依此類推，得一般形式為當(dāng)前第43頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)確定了系數(shù)，就可根據(jù)拉普拉斯變換直接，求取原函數(shù)。所以F(s)對(duì)應(yīng)的原函數(shù)因?yàn)楫?dāng)前第44頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)例

解求

的原函數(shù)。

D(s)=0有四個(gè)根，一個(gè)二重根s1=1和s2=0，s3=3兩個(gè)單根其中各待定系數(shù)分別確定如下故部分分式可表示為當(dāng)前第45頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)故得取反變換得以上介紹了用部分分式法求拉氏反變換的基本方法。在分析具體問題時(shí)，可根據(jù)F(s)的分母有無(wú)重根分別用前述兩種方法求各極點(diǎn)的留數(shù)，只要這些留數(shù)一經(jīng)求得，就能得出反變換。當(dāng)前第46頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)7.4復(fù)頻域電路用拉氏變換分析電路暫態(tài)時(shí)可不必寫出微分方程再進(jìn)行變換，可先將時(shí)域電路變成復(fù)頻域電路模型，再根據(jù)復(fù)頻域電路直接寫出運(yùn)算形式的電路方程，使計(jì)算過(guò)程更為簡(jiǎn)化。根據(jù)元件電壓、電流的時(shí)域關(guān)系，可以推導(dǎo)出各元件電壓電流關(guān)系的運(yùn)算形式。7.4.1電阻元件Ri(t)u(t)在時(shí)域中，有當(dāng)前第47頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)RI(s)U(s)Ri(t)u(t)設(shè)，等式兩邊取拉氏變換，得

時(shí)域形式復(fù)頻域形式當(dāng)前第48頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)7.4.2電容元件Ci(t)u(t)在時(shí)域中，有令對(duì)等式取拉氏變換并應(yīng)用積分性質(zhì)得當(dāng)前第49頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)I(s)U(s)1sCuC(0-)s容端電壓的象函數(shù)（稱象電壓）由兩部分組成：第一部分是電流的象函數(shù)（稱象電流）與運(yùn)算形式的容抗（簡(jiǎn)言容抗）的積；第二部分相當(dāng)于某階躍電壓的象函數(shù)，稱為內(nèi)運(yùn)算電壓源。電容C在復(fù)頻域中串聯(lián)形式的電路模型當(dāng)前第50頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)I(s)U(s)sCCuC(0-)象電流也由兩部分組成：第一部分是sC（稱容納）和象電壓UC(s)的乘積；第二部分相當(dāng)于某電流源的象函數(shù)，稱內(nèi)運(yùn)算電流源。電容C在復(fù)頻域中并聯(lián)形式的電路模型當(dāng)前第51頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)7.4.3電感元件在時(shí)域中，有Li(t)u(t)令L[u(t)]=U(s),L[i(t)]=I(s)，對(duì)上式取拉氏變換或I(s)U(s)Li(0-)sL1sLI(s)U(s)i(0-)s感抗內(nèi)運(yùn)算電壓源內(nèi)運(yùn)算電流源串聯(lián)形式的電路模型并聯(lián)形式的電路模型當(dāng)前第52頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)7.4.4互感元件在時(shí)域中，有L1i2(t)L2Mi1(t)u1(t)u2(t)sL1I2(s)sL2sMI1(s)U1(s)U2(s)L1i1(0-)Mi2(0-)L2i2(0-)Mi1(0-)對(duì)等式兩邊取拉氏變換有互感運(yùn)算阻抗附加電壓源的方向與電流i1、i2的參考方向有關(guān)。附加的電壓源耦合電感元件復(fù)頻域形式當(dāng)前第53頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)7.4.5受控源線性受控源電路，在時(shí)域電路中滿足U1(s)=I1(s)R，U2(s)=U1(s)u1=i1R，u2=u1對(duì)等式兩邊取拉氏變換有R1i1u1mu2u1mU2(s)U1(s)R1U1(s)I1(s)線性受控源受控源的復(fù)頻域形式當(dāng)前第54頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)把時(shí)域電路變換成它的等效運(yùn)算電路（復(fù)頻域電路）以RLC串聯(lián)電路為例

RSu(t)(t=0)uCCi(t)LRSU(s)(t=0)I(s)Li(0-)sL1sCuC(0-)s

RLC串聯(lián)電路

等效運(yùn)算電路由等效運(yùn)算電路可直接寫出電路的運(yùn)算形式的代數(shù)方程當(dāng)前第55頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)即RLC串聯(lián)電路的運(yùn)算阻抗

RLC串聯(lián)電路的運(yùn)算導(dǎo)納

式中或者運(yùn)算形式的歐姆定律在零值初始條件下，i(0-)=0，uC(0-)=0，則有

當(dāng)前第56頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)在畫復(fù)頻域電路時(shí)，應(yīng)注意電路中的電壓、電流均用象函數(shù)表示，同時(shí)元件用運(yùn)算阻抗或運(yùn)算導(dǎo)納表示，且電容電壓和電感電流初始值用附加電源表示。例Ee(t)i1RRLCLi2I1(s)RRLsLI2(s)1sCEs

時(shí)域電路復(fù)頻域電路當(dāng)前第57頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)7.5

電路的拉普拉斯變換分析法拉普拉斯變換法把時(shí)間函數(shù)變換為對(duì)應(yīng)的象函數(shù)，把線性電路的求解歸結(jié)為求解以象函數(shù)為變量的線性代數(shù)方程。對(duì)任一回路對(duì)任一節(jié)點(diǎn)對(duì)于復(fù)頻域電路，兩類約束關(guān)系為當(dāng)前第58頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)應(yīng)用拉氏變換分析線性電路的步驟：（4）通過(guò)拉氏反變換得出時(shí)域中響應(yīng)電壓和電流。（2）畫出換路后的等值運(yùn)算電路；（3）應(yīng)用電路分析方法求出響應(yīng)電壓、電流的象函數(shù)；（1）求出換路前電路中所有電容元件上的初始電壓uc(0-)和所有電感元件上的初始電流iL(0-)；當(dāng)前第59頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)例1解電路如圖所示，，開關(guān)s閉合前電路處于穩(wěn)態(tài)，在t=0時(shí)開關(guān)S閉合，求電路中iL及uC

1000μF0.1HuC200ViLS10Ω30Ω開關(guān)閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài)，所以

已知可得運(yùn)算電路0.1s3010IL(s)100s1000s0.5200sUC(s)當(dāng)前第60頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)0.1s3010IL(s)100s1000s0.5200sUC(s)I1(s)I2(s)設(shè)回路電流為I1(s)、I2(s),應(yīng)用回路電流法，可列出方程為解得求其反變換得原函數(shù)為當(dāng)前第61頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期三\6點(diǎn)電容上的電壓為一般來(lái)說(shuō)，二階或二階以上的電路不用時(shí)域分析，而采用復(fù)頻域法求解更簡(jiǎn)便。0.1