總體取值規(guī)律的估計(jì)

9.2用樣本估計(jì)總體9.2.1總體取值規(guī)律的估計(jì)一個(gè)統(tǒng)計(jì)小故事的啟示新課引入一個(gè)統(tǒng)計(jì)小故事的啟示這位統(tǒng)計(jì)學(xué)家在分析問(wèn)題的時(shí)候，能夠做到不被表面現(xiàn)象所迷惑，在獲取數(shù)據(jù)之后，擇合適的工具對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理和直觀描述，在此基礎(chǔ)上，通過(guò)數(shù)據(jù)分析，找出數(shù)據(jù)蘊(yùn)含的信息，進(jìn)而得到了正確的統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果。新課引入收集數(shù)據(jù)是為了尋找數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的信息，因?yàn)閷?shí)際問(wèn)題中數(shù)據(jù)多而且雜亂，往往無(wú)法直接從原始數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律所以需要根據(jù)問(wèn)題的背景特點(diǎn)，選擇合適的統(tǒng)計(jì)圖表對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理和直觀描述，在此基礎(chǔ)上，通過(guò)數(shù)據(jù)分析，找出數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的信息，就可以用這些信息來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題了下面我們討論對(duì)隨機(jī)抽樣獲取的數(shù)據(jù)的處理方法.1.隨機(jī)抽樣有哪幾種基本的抽樣方法？簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣.溫故知新

前面研究學(xué)習(xí)了兩種抽樣方法來(lái)收集數(shù)據(jù)，還知道了一些常見(jiàn)的獲取數(shù)據(jù)的途徑,數(shù)據(jù)收集后，必須從中尋找包含的信息，以使我們能通過(guò)樣本的規(guī)律估計(jì)總體的規(guī)律，解決相應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題。但由于數(shù)據(jù)多而雜，所以需要通過(guò)一定的方法去處理數(shù)據(jù)?？梢酝ㄟ^(guò)表、圖、計(jì)算方法來(lái)分析數(shù)據(jù)，進(jìn)而對(duì)總體做出相應(yīng)的估計(jì)。學(xué)習(xí)新知問(wèn)題1我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家之一，城市缺水問(wèn)題較為突出，某市政府為了減少水資源的浪費(fèi)，計(jì)劃對(duì)居民生活用水費(fèi)用實(shí)施階梯式水價(jià)制度，即確定一戶居民月均用水量標(biāo)準(zhǔn)a,用水量不超過(guò)a的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出a的部分按議價(jià)收費(fèi).如果希望確定一個(gè)比較合理的標(biāo)準(zhǔn)，以使大部分居民用戶的水費(fèi)支出不受影響，你認(rèn)為需要做哪些工作？假設(shè)通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得了100戶居民用戶的月均用水量數(shù)據(jù)（單位：1):學(xué)習(xí)新知9.013.614.95.94.07.16.45.419.42.02.28.613.85.410.24.96.814.02.010.52.15.75.116.86.011.11.311.27.74.92.310.016.712.012.47.85.213.62.422.43.67.18.825.63.218.35.12.03.012.022.210.85.52.024.39.93.65.64.47.95.124.56.47.54.720.55.515.72.65.75.56.016.02.49.53.717.03.84.12.35.37.88.14.313.36.81.37.04.91.87.128.010.213.817.910.15.54.63.221.6從這組數(shù)據(jù)你能發(fā)現(xiàn)什么信息呢？如果將這組數(shù)據(jù)從小到大排序，容易發(fā)現(xiàn)，這組數(shù)據(jù)的最小值是1.3t,最大值是28.0t,其他在1.3t至28.0t之間.學(xué)習(xí)新知

我們?cè)妙l數(shù)分布表和頻數(shù)分布圖來(lái)整理和表示這種數(shù)值型數(shù)據(jù)，由此能使我們清楚地知道數(shù)據(jù)分布在各個(gè)小組的個(gè)數(shù).

在這個(gè)實(shí)際問(wèn)題中,因?yàn)槲覀兏P(guān)心月均用水量在不同范圍內(nèi)的居民用戶占全市居民用戶的比例,所以選擇頻率分布表（frequencydistributiontable)和頻率分布直方圖(frequencydistributionhistogram)來(lái)整理和表示數(shù)據(jù)，與畫(huà)頻數(shù)分布直方圖類(lèi)似，我們可以按以下步驟制作頻率分布表、畫(huà)頻率分布直方圖學(xué)習(xí)新知1.求極差:

極差為一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差.樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)的最小值是1.3t,最大值是28.0t,極差為28.0-1.3=26.7這說(shuō)明樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)的變化范圍是26.7t.學(xué)習(xí)新知2.決定組距與組數(shù):合適的組距與組數(shù)對(duì)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)分布規(guī)律有重要意義.數(shù)太多或太少，都會(huì)影響我們了解數(shù)據(jù)的分布情況.數(shù)據(jù)分組可以是等距的，也可以是不等距的，要根據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)而定。有時(shí)為了方便，往往按等距分組,或者除了第一和最后的兩段,其余各段按等距分組組距與與組數(shù)的確定沒(méi)有固定的標(biāo)準(zhǔn).數(shù)據(jù)分組的組數(shù)與數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)有關(guān)，一般數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)越多，所分組數(shù)也越多，當(dāng)樣本容量不超過(guò)100時(shí)，常分成5~12組.為方便起見(jiàn),一般取等長(zhǎng)組距,并且組距應(yīng)力求“取整”分組時(shí)可以先確定組距，也可以先確定組數(shù)，如果我們?nèi)∷薪M距為3,則學(xué)習(xí)新知學(xué)習(xí)新知3.將數(shù)據(jù)分組:由于組距為3,9個(gè)組距的長(zhǎng)度超過(guò)極差，我們可以使第一組的左端點(diǎn)略小于數(shù)據(jù)中的最小值，最后一組的右端點(diǎn)略大于數(shù)據(jù)中的最大值，例如，可以取區(qū)間為[1.2,28.2],按如下方式把樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)以組距3分為9組：[1.2,4.2),[4.2,7.2),...,[25.2,28.2].4.列頻率分布表計(jì)算各小組的頻率，例如第一小組的頻率作出頻率分布表學(xué)習(xí)新知月均用水量/t0.020.040.060.080.101.24.27.210.213.216.219.222.225.228.200.12頻率/組距學(xué)習(xí)新知5.畫(huà)頻率分布直方圖根據(jù)頻率分布表畫(huà)出如圖所示的頻率分布直方圖頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形的高度，它反映了各組樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)的疏密程度樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖是根據(jù)頻率分布表畫(huà)出來(lái)的,一般地,頻率分布直方圖的作圖步驟如何？

第一步，畫(huà)平面直角坐標(biāo)系.第二步，在橫軸上均勻標(biāo)出各組分點(diǎn)，在縱軸上標(biāo)出單位長(zhǎng)度.第三步，以組距為寬，各組的頻率與組距的商為高，分別畫(huà)出各組對(duì)應(yīng)的小長(zhǎng)方形.學(xué)習(xí)新知學(xué)習(xí)新知頻率分布直方圖與頻數(shù)分布直方圖有什么區(qū)別?通過(guò)調(diào)查或?qū)嶒?yàn)收集到的數(shù)據(jù)一般數(shù)量較大且無(wú)序，為了得到有用的信息，就需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分類(lèi)（組）整理，利用統(tǒng)計(jì)表（或圖）表示數(shù)據(jù)的特征.數(shù)據(jù)是對(duì)客觀現(xiàn)象計(jì)量的結(jié)果，按照計(jì)量的精確程度可以大致分為兩類(lèi).第一類(lèi)，只能對(duì)事物的屬性進(jìn)行分類(lèi).例如，性別分男、女，商品分不同品牌，等級(jí)成績(jī)分為優(yōu)、良、及格和不及格，民意調(diào)查中對(duì)某觀點(diǎn)的態(tài)度分為同意、中立、不同意，視力情況分為正常、輕度近視、中度近視、重度近視等.各類(lèi)別可以用字母表示或數(shù)字表示，對(duì)此類(lèi)數(shù)據(jù)的整理就是列頻數(shù)分布表，記錄各類(lèi)別出現(xiàn)的頻數(shù)，計(jì)算百分比.用條形圖直觀表示各類(lèi)數(shù)據(jù)的頻數(shù)，用扇形圖表示各類(lèi)數(shù)據(jù)所占的百分比大小.第二類(lèi)，計(jì)量結(jié)果表現(xiàn)為數(shù)值，例如，考試成績(jī)，中學(xué)生的身高或體重，居民家庭的收入，居民家庭月用電量等.對(duì)這類(lèi)連續(xù)數(shù)據(jù)的整理需要按數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的多少，進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸M（不重不漏）,統(tǒng)計(jì)各組的頻數(shù)，計(jì)算百分比，用直方圖表示數(shù)據(jù)的分布狀況.學(xué)習(xí)新知

觀察頻率分布表和頻率分布直方圖,你覺(jué)得這組數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含了哪些有用的信息？你能從圖表中發(fā)現(xiàn)居民用戶月均用水量的哪些分布規(guī)律？(1)從頻率分布表中可以清楚地看出，樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組的比例大小，例如，月均用水量在區(qū)間[4.2,7.2)內(nèi)的居民用戶最多，在區(qū)間[1.2,4.2)內(nèi)的次之，而月均用水量超過(guò)16.2的各區(qū)間內(nèi)數(shù)據(jù)所占比例較小，等等.學(xué)習(xí)新知

觀察頻率分布表和頻率分布直方圖,你覺(jué)得這組數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含了哪些有用的信息？你能從圖表中發(fā)現(xiàn)居民用戶月均用水量的哪些分布規(guī)律？(2)從頻率分布直方圖能直觀的表明數(shù)據(jù)分布的形狀和總體趨勢(shì).從上圖容易看出，居民用戶月均用水量的樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)的分布是不對(duì)稱(chēng)的,圖形的左邊高、右邊低,右邊有一個(gè)較長(zhǎng)的“尾巴”，這表明大部分居民用戶的月均用水量集中在一個(gè)較低值區(qū)域,尤其在區(qū)間[1.2,7.2)最為集中,少數(shù)居民用戶的月均用水量偏多,而且隨著月均用水量的增加，居民用戶數(shù)呈現(xiàn)降低趨勢(shì).有了樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)的頻率分布,我們可以用它估計(jì)總體的取值規(guī)律學(xué)習(xí)新知

根據(jù)100戶居民用戶的月均用水量的頻率分布，可以推測(cè)該市全體居民用戶月均用水量也會(huì)有類(lèi)似的分布，即大部分居民用戶月均用水量集中在較低值區(qū)域.這使我們確定用水量標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，可以定一個(gè)合適的值，以達(dá)到既不影響大多數(shù)居民用戶的水費(fèi)支出，又能節(jié)水的目的.

需要注意的是,由于樣本的隨機(jī)性,這種估計(jì)可能會(huì)存在一定誤差,但這一誤差一般不會(huì)影響我們對(duì)總體分布情況的大致了解.分別以3和27為組數(shù),對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行等距分組,畫(huà)出100戶居民用戶月均用水量的頻率分市直方圖.觀察圖形,你發(fā)現(xiàn)不同的組數(shù)對(duì)于直方圖呈現(xiàn)數(shù)據(jù)分市規(guī)律有什么影響?學(xué)習(xí)新知分別以3和27為組數(shù),對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行等距分組,畫(huà)出100戶居民用戶月均用水量的頻率分市直方圖.觀察圖形,你發(fā)現(xiàn)不同的組數(shù)對(duì)于直方圖呈現(xiàn)數(shù)據(jù)分市規(guī)律有什么影響?從圖中可以看出，同一組數(shù)據(jù)，組數(shù)不同，得到的直方圖形狀也不盡相同,會(huì)給人以不同的頻率分布印象有時(shí)會(huì)影響人們對(duì)總體的判斷當(dāng)頻率分布直方圖的組數(shù)少、組距大時(shí)，容易從中看出數(shù)據(jù)整體的分布特點(diǎn)，但由于無(wú)法看出每組內(nèi)的數(shù)據(jù)分布情況，損失了較多的原始數(shù)據(jù)信息當(dāng)頻率分布直方圖的組數(shù)多、組距小時(shí)，保留了較多的原始數(shù)據(jù)信息,會(huì)依賴(lài)樣本數(shù)據(jù),穩(wěn)定性差,由于小長(zhǎng)方形較多,有時(shí)圖形會(huì)變得非常不規(guī)則,不容易從中看出總體數(shù)據(jù)的分布特點(diǎn).學(xué)習(xí)新知

例某地區(qū)為了了解知識(shí)分子的年齡結(jié)構(gòu)，隨機(jī)抽樣50名，其年齡分別如下：

42，38，29，36，41，43，54，43，34，44，

40，59，39，42，44，50，37，44，45，29，

48，45，53，48，37，28，46，50，37，44，

42，39，51，52，62，47，59，46，45，67，

53，49，65，47，54，63，57，43，46，58.(1)列出樣本頻率分布表；(2)畫(huà)出頻率分布直方圖；(3)估計(jì)年齡在32～52歲的知識(shí)分子所占的比例約是多少.典型例題(1)極差為67-28=39，取組距為5，分為8組.

分組頻數(shù)頻率

[27，32）30.06[32，37）30.06[37，42）90.18[42，47）160.32[47，52）70.14[52，57）50.10[57，62）40.08[62，67）30.06

合計(jì)501.00樣本頻率分布表：（2）樣本頻率分布直方圖：年齡0.060.050.040.030.020.01273237424752576267頻率組距O（3）因?yàn)?.06+0.18+0.32+0.14=0.7，故年齡在32～52歲的知識(shí)分子約占70%.鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)0.030.050.07體重(kg)頻率/組距54.558.562.566.570.574.5鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)7．為了讓學(xué)生了解環(huán)保知識(shí)，增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，某中學(xué)舉行了一次“環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽”，共有900名學(xué)生參加了這次競(jìng)賽．為了解本次競(jìng)賽成績(jī)情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績(jī)(得分均為整數(shù)，滿分為100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．請(qǐng)你根據(jù)尚未完成的頻率分布表和頻率分布直方圖，解答下列問(wèn)題：分組頻數(shù)頻率[50.5,60.5)40.08[60.5,70.5)0.16[70.5,80.5)10[80.5,90.5)160.32[90.5,100.5]合計(jì)50(1)填充頻率分布表的空格(將答案直接填在表格內(nèi))；(2)補(bǔ)全頻率分布直方圖．分組頻數(shù)頻率[50.5,60.5)40.08[60.5,70.5)80.16[70.5,80.5)100.20[80.5,90.5)160.32[90.5,100.5]120.24合計(jì)501.00頻率分布直方圖頻率分布表8.對(duì)“小康縣”的經(jīng)濟(jì)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)如下:①年人均收入不小于7000元;②年人均食品支出不大于收入的35%.某縣有40萬(wàn)人,調(diào)查數(shù)據(jù)如下:鞏固練習(xí)年人均收入/元)02000400060008000100001200016000人數(shù)/萬(wàn)人63556753則該縣(

)A.是小康縣B.達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)①,未達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)②,不是小康縣C.達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)②,未達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)①,不是小康縣D.兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)都未達(dá)到,不是小康縣B其他的統(tǒng)計(jì)圖：扇形圖條形圖折線圖例1：已知某市2015年全年空氣質(zhì)量等級(jí)如下表：頻數(shù)頻率8322.8%12133.2%6818.6%4913.4%308.2%143.8%合計(jì)365100%2016年5月和6月的空氣質(zhì)量指數(shù)如下：5月2408056539212645875660191625558565389901251241038189443453798162116886月63921101221021168116315876331026553385552769912712080108333573829014695請(qǐng)選擇合適的統(tǒng)計(jì)圖描述數(shù)據(jù)，并回答下列問(wèn)題：（1）分析該市2016年6月的空氣質(zhì)量情況.（2）比較該市2016年5月和6月的空氣質(zhì)量，哪個(gè)月的空氣質(zhì)量較好？（3）比較該市2016年6月與該市2015年全年的空氣質(zhì)量，2016年6月

的空氣質(zhì)量是否好于去年？（4）要想對(duì)比該市2016年全年與2015年全年的空氣質(zhì)量情況，需要

收集哪些數(shù)據(jù)？請(qǐng)選擇合適的統(tǒng)計(jì)圖描述數(shù)據(jù)，并回答下列問(wèn)題：（1）分析該市2016年6月的空氣質(zhì)量情況.2016年6月63921101221021168116315876331026553385552769912712080108333573829014695

頻數(shù)頻率8322.8%12133.2%6818.6%4913.4%308.2%143.8%合計(jì)365100%2015年請(qǐng)選擇合適的統(tǒng)計(jì)圖描述數(shù)據(jù)，并回答下列問(wèn)題：（1）分析該市2016年6月的空氣質(zhì)量情況.空氣質(zhì)量等級(jí)合計(jì)優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染天數(shù)415920030比例13.33%50%30%6.67%00100%

頻率分布表：條形圖：優(yōu)良天數(shù)

20151050輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染空氣質(zhì)量等級(jí)扇形圖：2016/5/302016/6/42016/6/92016/6/142016/6/192016/6/242016/6/29日期折線圖：請(qǐng)選擇合適的統(tǒng)計(jì)圖描述數(shù)據(jù)，并回答下列問(wèn)題：（2）比較該市2016年5月和6月的空氣質(zhì)量，哪個(gè)月的空氣質(zhì)量較好？5

月空氣質(zhì)量等級(jí)合計(jì)優(yōu)良輕度