對坐標曲線積分

一、對坐標的曲線積分的概念與性質二、對坐標的曲線積分的計算法三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系機動目錄上頁下頁返回結束對坐標的曲線積分

第十一章

2021/5/91復習、對弧長的曲線積分的概念與性質機動目錄上頁下頁返回結束設是空間中一條有限長的光滑曲線,義在上的一個有界函數(shù),都存在,上對弧長的曲線積分,記作若通過對的任意分割局部的任意取點,下列“乘積和式極限”則稱此極限為函數(shù)在曲線或第一類曲線積分.稱為被積函數(shù)，

稱為積分弧段.和對2021/5/92如果L是xoy

面上的曲線弧,如果L

是閉曲線,則記為則定義對弧長的曲線積分為機動目錄上頁下頁返回結束2021/5/93

性質（k為常數(shù))(

由組成)(l為曲線弧

的長度)機動目錄上頁下頁返回結束2021/5/94二、對弧長的曲線積分的計算法基本思路:計算定積分轉化定理:且上的連續(xù)函數(shù),是定義在光滑曲線弧則曲線積分求曲線積分機動目錄上頁下頁返回結束2021/5/95如果曲線L的方程為則有如果方程為極坐標形式:則推廣:

設空間曲線弧的參數(shù)方程為則機動目錄上頁下頁返回結束2021/5/96練習.

設

C

是由極坐標系下曲線及所圍區(qū)域的邊界,求提示:

分段積分機動目錄上頁下頁返回結束2021/5/972.

L為球面面的交線,求其形心.在第一卦限與三個坐標解:

如圖所示,交線長度為由對稱性,形心坐標為機動目錄上頁下頁返回結束2021/5/98一、對坐標的曲線積分的概念與性質1.

引例:

變力沿曲線所作的功.設一質點受如下變力作用在xoy

平面內從點A沿光滑曲線弧L

移動到點B,求移“大化小”“常代變”“近似和”“取極限”變力沿直線所作的功解決辦法:動過程中變力所作的功W.機動目錄上頁下頁返回結束2021/5/991)“大化小”.2)“常代變”把L分成n個小弧段,有向小弧段近似代替,則有所做的功為F

沿則用有向線段上任取一點在機動目錄上頁下頁返回結束2021/5/9103)“近似和”4)“取極限”(其中為n

個小弧段的最大長度)機動目錄上頁下頁返回結束2021/5/9112.定義.設

L

為xoy

平面內從A到B的一條有向光滑弧,若對L的任意分割和在局部弧段上任意取點,都存在,在有向曲線弧L上對坐標的曲線積分,則稱此極限為函數(shù)或第二類曲線積分.其中,L

稱為積分弧段或積分曲線.稱為被積函數(shù),在L上定義了一個向量函數(shù)極限記作機動目錄上頁下頁返回結束2021/5/912若為空間曲線弧,記稱為對x的曲線積分;稱為對y的曲線積分.若記,對坐標的曲線積分也可寫作類似地,機動目錄上頁下頁返回結束2021/5/9133.性質(1)若L

可分成k條有向光滑曲線弧(2)用L－

表示L的反向弧,則則

定積分是第二類曲線積分的特例.說明:

對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向

!機動目錄上頁下頁返回結束2021/5/914二、對坐標的曲線積分的計算法定理:在有向光滑弧L上有定義且L的參數(shù)方程為則曲線積分連續(xù),證明:

下面先證存在,且有機動目錄上頁下頁返回結束2021/5/915對應參數(shù)設分點根據(jù)定義由于對應參數(shù)因為L為光滑弧,同理可證機動目錄上頁下頁返回結束2021/5/916特別是,如果L

的方程為則對空間光滑曲線弧:類似有定理目錄上頁下頁返回結束2021/5/917例1.計算其中L為沿拋物線解法1

取x

為參數(shù),則解法2取y

為參數(shù),則從點的一段.機動目錄上頁下頁返回結束2021/5/918例2.計算其中L為(1)半徑為a

圓心在原點的上半圓周,方向為逆時針方向;(2)從點A(a,0)沿x軸到點

B(–a,0).解:(1)取L的參數(shù)方程為(2)取L的方程為則則機動目錄上頁下頁返回結束2021/5/919例3.計算其中L為(1)拋物線(2)拋物線(3)有向折線

解:

(1)原式(2)原式(3)原式機動目錄上頁下頁返回結束2021/5/920例4.設在力場作用下,質點由沿移動到解:(1)(2)

的參數(shù)方程為試求力場對質點所作的功.其中為機動目錄上頁下頁返回結束2021/5/921例5.求其中從

z

軸正向看為順時針方向.解:取的參數(shù)方程機動目錄上頁下頁返回結束2021/5/922三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系設有向光滑弧L

以弧長為參數(shù)

的參數(shù)方程為已知L切向量的方向余弦為則兩類曲線積分有如下聯(lián)系機動目錄上頁下頁返回結束2021/5/923類似地,在空間曲線

上的兩類曲線積分的聯(lián)系是令記A

在t

上的投影為機動目錄上頁下頁返回結束2021/5/924例6.將積分化為對弧長的積分,解：其中L沿上半圓周機動目錄上頁下頁返回結束2021/5/9251.定義2.性質(1)L可分成k

條有向光滑曲線弧(2)L－

表示L的反向弧對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向!內容小結機動目錄上頁下頁返回結束2021/5/9263.計算?對有向光滑弧?

對有向光滑弧機動目錄上頁下頁返回結束2021/5/9274.兩類曲線積分的聯(lián)系?

對空間有向光滑弧

:機動目錄上頁下頁返回結束2021/5/928原點O

的距離成正比,思考與練習1.設一個質點在處受恒指向原點,沿橢圓此質點由點沿逆時針移動到提示:F

的大小與M到原F

的方向力F的作用,求力F

所作的功.思考:

若題中F的方向改為與OM垂直且與

y

軸夾銳角,則機動目錄上頁下頁返回結束2021/5/9292.

已知為折線ABCOA(如圖),計算提示:機動目錄上頁下頁返回結束2021/5/930備用題

1.解:線移動到向坐標原點,其大小與作用點到xoy

面的距離成反比.沿直求F所作的功W.已知F

的方向指一質點在力場F

作用下由點機動目錄上頁下頁返回結束2021/5/9312.

設曲線C為曲面與曲面從ox

軸正向看去為逆時針方向,(1)寫出曲線C

的參數(shù)方程;(2)計算曲線積分解:(1)機動目錄上頁下頁返回