2023屆四川省崇州市高三適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)（理）試題【含答案】

2023屆四川省崇州市高三適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．設(shè)全集，集合M滿(mǎn)足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先寫(xiě)出集合,然后逐項(xiàng)驗(yàn)證即可【詳解】由題知,對(duì)比選項(xiàng)知，正確,錯(cuò)誤故選:2．已知，且，其中a，b為實(shí)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先算出,再代入計(jì)算,實(shí)部與虛部都為零解方程組即可【詳解】由,結(jié)合復(fù)數(shù)相等的充要條件為實(shí)部、虛部對(duì)應(yīng)相等，得,即故選:3．已知向量滿(mǎn)足，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)給定模長(zhǎng)，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解即可.【詳解】解：∵，又∵∴9，∴故選：C.4．已知命題﹔命題﹐，則下列命題中為真命題的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正弦函數(shù)的有界性確定命題的真假性，由指數(shù)函數(shù)的知識(shí)確定命題的真假性，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】由于，所以命題為真命題；由于在上為增函數(shù)，，所以，所以命題為真命題；所以為真命題，、、為假命題.故選：A．5．在區(qū)間與中各隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和大于的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)從區(qū)間中隨機(jī)取出的數(shù)分別為，則實(shí)驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成區(qū)域?yàn)?，設(shè)事件表示兩數(shù)之和大于，則構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?，分別求出對(duì)應(yīng)的區(qū)域面積，根據(jù)幾何概型的的概率公式即可解出．【詳解】如圖所示：設(shè)從區(qū)間中隨機(jī)取出的數(shù)分別為，則實(shí)驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成區(qū)域?yàn)椋涿娣e為．設(shè)事件表示兩數(shù)之和大于，則構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?，即圖中的陰影部分，其面積為，所以．故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用線(xiàn)性規(guī)劃解決幾何概型中的面積問(wèn)題，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確求出事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域面積，即可順利解出．6．設(shè)F為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)，若，則（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線(xiàn)的距離相等，從而求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到答案.【詳解】由題意得，，則，即點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為2，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，代入得，，所以.故選：B7．已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則（

）A．14 B．12 C．6 D．3【答案】D【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，易得，根據(jù)題意求出首項(xiàng)與公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)即可得解.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，與題意矛盾，所以，則，解得，所以.故選：D.8．在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】平移直線(xiàn)至，將直線(xiàn)與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接，因?yàn)椤?，所以或其補(bǔ)角為直線(xiàn)與所成的角，因?yàn)槠矫?，所以，又，，所以平面，所以，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，，所以.故選：D9．把函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線(xiàn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】解法一：從函數(shù)的圖象出發(fā)，按照已知的變換順序，逐次變換，得到，即得，再利用換元思想求得的解析表達(dá)式；解法二：從函數(shù)出發(fā)，逆向?qū)嵤└鞑阶儞Q，利用平移伸縮變換法則得到的解析表達(dá)式.【詳解】解法一：函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，再把所得曲線(xiàn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，應(yīng)當(dāng)?shù)玫降膱D象，根據(jù)已知得到了函數(shù)的圖象，所以，令,則,所以,所以；解法二：由已知的函數(shù)逆向變換，第一步：向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，第二步：圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，即為的圖象，所以.故選：B.10．將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（

）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種【答案】C【分析】先確定有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法原理求得.【詳解】根據(jù)題意，有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個(gè)小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個(gè)元素，四個(gè)項(xiàng)目看成四個(gè)不同的位置，四個(gè)不同的元素在四個(gè)不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是首先確定人數(shù)的分配情況，然后利用先選后排思想求解.11．若直線(xiàn)l與曲線(xiàn)y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（

）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)出直線(xiàn)的方程，再由直線(xiàn)與圓相切的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】設(shè)直線(xiàn)在曲線(xiàn)上的切點(diǎn)為，則，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則直線(xiàn)的斜率，設(shè)直線(xiàn)的方程為，即，由于直線(xiàn)與圓相切，則，兩邊平方并整理得，解得，（舍），則直線(xiàn)的方程為，即.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及直線(xiàn)與圓的位置的應(yīng)用，屬于中檔題.12．設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，若上的任意一點(diǎn)都滿(mǎn)足，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，由，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出，分類(lèi)討論求出的最大值，再構(gòu)建齊次不等式，解出即可．【詳解】設(shè)，由，因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?dāng)，即時(shí)，，即，符合題意，由可得，即；當(dāng)，即時(shí)，，即，化簡(jiǎn)得，，顯然該不等式不成立．故選：C．【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是如何求出的最大值，利用二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值，要根據(jù)定義域討論函數(shù)的單調(diào)性從而確定最值．二、填空題13．已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)為，則C的焦距為_(kāi)________．【答案】4【分析】將漸近線(xiàn)方程化成斜截式，得出的關(guān)系，再結(jié)合雙曲線(xiàn)中對(duì)應(yīng)關(guān)系，聯(lián)立求解，再由關(guān)系式求得，即可求解.【詳解】由漸近線(xiàn)方程化簡(jiǎn)得，即，同時(shí)平方得，又雙曲線(xiàn)中，故，解得（舍去），，故焦距.故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題為基礎(chǔ)題，考查由漸近線(xiàn)求解雙曲線(xiàn)中參數(shù)，焦距，正確計(jì)算并聯(lián)立關(guān)系式求解是關(guān)鍵.14．過(guò)四點(diǎn)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為_(kāi)___________．【答案】或或或．【分析】方法一：設(shè)圓的方程為，根據(jù)所選點(diǎn)的坐標(biāo)，得到方程組，解得即可；【詳解】[方法一]：圓的一般方程依題意設(shè)圓的方程為，（1）若過(guò)，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（2）若過(guò)，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（3）若過(guò)，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（4）若過(guò)，，，則，解得，所以圓的方程為，即；故答案為：或或或．[方法二]：【最優(yōu)解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（三點(diǎn)中的兩條中垂線(xiàn)的交點(diǎn)為圓心）設(shè)（1）若圓過(guò)三點(diǎn)，圓心在直線(xiàn)，設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，所以圓的方程為；（2）若圓過(guò)三點(diǎn)，設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，所以圓的方程為；（3）若圓過(guò)三點(diǎn)，則線(xiàn)段的中垂線(xiàn)方程為，線(xiàn)段的中垂線(xiàn)方程為，聯(lián)立得，所以圓的方程為；（4）若圓過(guò)三點(diǎn)，則線(xiàn)段的中垂線(xiàn)方程為，線(xiàn)段中垂線(xiàn)方程為，聯(lián)立得，所以圓的方程為．故答案為：或或或．【整體點(diǎn)評(píng)】方法一；利用圓過(guò)三個(gè)點(diǎn)，設(shè)圓的一般方程，解三元一次方程組，思想簡(jiǎn)單，運(yùn)算稍繁；方法二；利用圓的幾何性質(zhì)，先求出圓心再求半徑，運(yùn)算稍簡(jiǎn)潔，是該題的最優(yōu)解．15．記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為，，，則________．【答案】【分析】由三角形面積公式可得，再結(jié)合余弦定理即可得解.【詳解】由題意，，所以，所以，解得（負(fù)值舍去）.故答案為：.16．已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若，則a的取值范圍是____________．【答案】【分析】法一：依題可知，方程的兩個(gè)根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的圖象和圖象變換得到的圖象，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得過(guò)原點(diǎn)的切線(xiàn)的斜率，根據(jù)幾何意義可得出答案.【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】轉(zhuǎn)化法，零點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點(diǎn)因?yàn)?，所以方程的兩個(gè)根為，即方程的兩個(gè)根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，因?yàn)榉謩e是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即圖象在上方當(dāng)時(shí)，，即圖象在下方，圖象顯然不符合題意，所以．令，則，設(shè)過(guò)原點(diǎn)且與函數(shù)的圖象相切的直線(xiàn)的切點(diǎn)為，則切線(xiàn)的斜率為，故切線(xiàn)方程為，則有，解得，則切線(xiàn)的斜率為，因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，解得，又，所以，綜上所述，的取值范圍為．[方法二]：【通性通法】構(gòu)造新函數(shù)，二次求導(dǎo)=0的兩個(gè)根為因?yàn)榉謩e是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，設(shè)函數(shù)，則，若，則在上單調(diào)遞增，此時(shí)若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)若有和分別是函數(shù)且的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，則，不符合題意；若，則在上單調(diào)遞減，此時(shí)若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，此時(shí)若有和分別是函數(shù)且的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且，則需滿(mǎn)足，，即故，所以.【整體點(diǎn)評(píng)】法一：利用函數(shù)的零點(diǎn)與兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的關(guān)系，由數(shù)形結(jié)合解出，突出“小題小做”，是該題的最優(yōu)解；法二：通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)，多次求導(dǎo)判斷單調(diào)性，根據(jù)極值點(diǎn)的大小關(guān)系得出不等式，解出即可，該法屬于通性通法．三、解答題17．某超市計(jì)劃銷(xiāo)售某種食品，現(xiàn)邀請(qǐng)甲、乙兩個(gè)商家進(jìn)場(chǎng)試銷(xiāo)10天.兩個(gè)商家向超市提供的日返利方案如下：甲商家每天固定返利60元，且每賣(mài)出一件食品商家再返利3元；乙商家無(wú)固定返利，賣(mài)出不超出30件(含30件)的食品，每件食品商家返利5元，超出30件的部分每件返利10元.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，試銷(xiāo)這10天兩個(gè)商家每天的銷(xiāo)量如圖所示的莖葉圖（莖為十位數(shù)字，葉為個(gè)位數(shù)字）：（1）現(xiàn)從甲商家試銷(xiāo)的10天中隨機(jī)抽取兩天，求這兩天的銷(xiāo)售量都小于30件的概率；（2）根據(jù)試銷(xiāo)10天的數(shù)據(jù)，將頻率視作概率，用樣本估計(jì)總體，回答以下問(wèn)題：①記商家乙的日返利額為X(單位：元)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；②超市擬在甲、乙兩個(gè)商家中選擇一家長(zhǎng)期銷(xiāo)售，如果僅從日返利額的數(shù)學(xué)期望考慮，請(qǐng)利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為超市作出選擇，并說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）①分布列見(jiàn)解析，153；②由①得乙商家的日平均返利額為153元>148.2元，所以推薦該超市選擇乙商家長(zhǎng)期銷(xiāo)售.【分析】（1）記“抽取的兩條銷(xiāo)售量都下于30件”為事件，利用排列組合即可求得答案；（2）①設(shè)乙商家的日銷(xiāo)售量為，推導(dǎo)出的所有可能取值為：140，145，150，160，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出的分布列和；②依題意，求出甲商家的日平均銷(xiāo)售量，從而求出甲商家的日平均返利額，再求出乙商家的日平均返利額，從而推薦該超市選擇乙商家長(zhǎng)期銷(xiāo)售．【詳解】(1)記“抽取的兩天銷(xiāo)售量都小于30件”為事件A，則.（2）①設(shè)乙商家的日銷(xiāo)售量為件，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以的所有可能取值為：140，145，150，160.所以X的分布列為140145150160所以；②依題意，甲商家的日平均銷(xiāo)售量為：28×0.2+29×0.4+30×0.2+31×0.2=29.4.所以甲商家的日平均返利額為：60+29.4×3=148.2元.由①得乙商家的日平均返利額為153元>148.2元，所以推薦該超市選擇乙商家長(zhǎng)期銷(xiāo)售.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用，考查古典概型、莖葉圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．18．如圖，在多面體中，平面，平面平面，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接、，推導(dǎo)出四邊形為平行四邊形，可得出，利用面面垂直的性質(zhì)定理推導(dǎo)出平面，可得出平面，利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可計(jì)算出平面與平面所成銳二面角的余弦值.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接、，，為的中點(diǎn)，則，，平面，平面平面，平面平面，平面，平面，，又，四邊形是平行四邊形，，是等邊三角形，，平面，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，平面平面；（2）由（1）得平面，又平面，，又，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，取，得，設(shè)平面與平面所成銳二面角的平面角為，則．因此，平面與平面所成銳二面角的余弦值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生的空間想象能力及計(jì)算能力，難度不大.建立合適的空間直角坐標(biāo)系是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.19．設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，其中為常數(shù)且(1)求函數(shù)的解析式；(2)在中，已知，且，求的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）應(yīng)用倍角正余弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)式，根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸有且，結(jié)合參數(shù)范圍求參數(shù)值，即可得函數(shù)解析式；（2）由題設(shè)得求得，根據(jù)已知求得，然后利用三角恒等變換結(jié)合條件即得.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，由題意且，則且，由，則，故，所以.（2）由，則，，所以，故，可得，所以，而，故，所以，且，所以，所以.20．橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)，斜率為的直線(xiàn)l交橢圓于M，N兩點(diǎn)且，①若，求k的值；②求的面積的最大值．【答案】(1)；(2)①；②.【分析】（1）根據(jù)題設(shè)確定焦點(diǎn)位置及標(biāo)準(zhǔn)方程形式，由點(diǎn)在橢圓上及參數(shù)關(guān)系列方程求參，即可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）①令，聯(lián)立橢圓并整理為，結(jié)合及韋達(dá)定理，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示、兩點(diǎn)距離公式列方程求；②設(shè)直線(xiàn)利用橢圓方程可得坐標(biāo)，進(jìn)而可表示出，然后利用換元法結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即得.【詳解】（1）由題設(shè)，橢圓焦點(diǎn)在y軸上，且，令橢圓方程為且，所以，可得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）令，聯(lián)立橢圓：，則，所以，，設(shè)，則，則，，由，，①因?yàn)榍?，所以，即?/p>

所以，而，故且，可得，此時(shí)，滿(mǎn)足題設(shè)，所以；②設(shè)直線(xiàn)，由，可得，所以，，即，且，又，同理可得，且，所以，令，則，對(duì)函數(shù)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，故，即的面積的最大值為.【點(diǎn)睛】圓錐曲線(xiàn)中最值與范圍問(wèn)題的常見(jiàn)求法：（1）幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決；（2）代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問(wèn)題時(shí)常從以下幾個(gè)方面考慮：①利用判別式來(lái)構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；②利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；④利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．21．已知函數(shù)，其中．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，解關(guān)于x的不等式．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2).【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，研究導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而確定其單調(diào)區(qū)間；（2）由題意得，即，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，研究導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷單調(diào)性，進(jìn)而可得最小值，即得.【詳解】（1）由題設(shè)，則，且，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）由題意，所以，即因?yàn)椋裕?，且，?dāng)或時(shí)，或時(shí)，所以、上遞減，、上遞增，又極小值，故最小值為，所以不等式的解集為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極（最）值問(wèn)題處理.22．平面直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線(xiàn)的方程為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1)求曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程；(2)若直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）