數(shù)列一輪復(fù)習(xí)數(shù)列的通項公式與求和

第1講 數(shù)列的通項公式與求和考點整合：1、數(shù)列通項公式的求解（1）觀察法（2）利用an與Sn的關(guān)系求an（3）利用遞推公式求通項公式2、數(shù)列的求和（1）等差、等比數(shù)列的求和①公式法②關(guān)于奇偶項求和問題③關(guān)于含絕對值的數(shù)列求和（2）通項分析法（3）錯位相減法（4）分組求和法（5）裂項相消法（6）倒數(shù)相加法（7）并項求和法考點1：數(shù)列通項公式的求解（高頻考點）常見的求解數(shù)列通項公式的方法有觀察法、利用an與Sn關(guān)系求an、利用遞推公式求通項公式。角度一觀察法1，－1，1，－1，的一個通項公式為()1.數(shù)列－1，23451B．a(chǎn)n＝n1A．a(chǎn)n＝±(－1)·nn＝(－1)n＋11＝1C．a(chǎn)nnD．a(chǎn)nn2.下列圖形的點數(shù)構(gòu)成數(shù)列{an}，則a8等于()A．17B．22C．25D．28寫出下列數(shù)列的一個通項公式：（1）3253747,,,,,,...;513819112）2,22,222,...22....2n個3）已知數(shù)列{an}中各項為：12,1122,111222，，11...122...2,...4. 將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣，如圖所示，則第 n行n 3從左向右的第 3個數(shù)為＝________．1345678910觀察下列等式：n1n21in,i122ni21n31n21n,i1326ni31n41n31n2,i1424ni41n51n41n31n,i152330ni51n61n55n41n2,i1621212ni61n71n61n51n3+1n,i1722642...nikak1nk1aknkak1nk12nk2ak...a1na0i1可以推測，當(dāng)k2kN*時，ak11，ak1，ak1_________,ak2__________.k12角度二已知通項公式an與前n項和Sn關(guān)系求通項（1）Sn的形式獨立：轉(zhuǎn)化Sn為an的形式，作差法，使SnSn1ann2，nN*（2）Sn的形式不獨立：將an轉(zhuǎn)化為SnSn1n2，轉(zhuǎn)化法.Sn的形式獨立：211．若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3an＋3，則{an}的通項公式an＝________．2.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，則Sn＝()－3n－1A．2n1B．2n－121n－1已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n－3，則數(shù)列{an}的通項公式為________．4．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝n2－2n＋2，則數(shù)列{an}的通項公式為( )A．a(chǎn)n＝2n－3B．a(chǎn)n＝2n＋31，n＝1，1，n＝1，C．a(chǎn)n＝D．a(chǎn)n＝2n＋3，n≥22n－3，n≥25.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn14an2n1,nN*.（1）設(shè)bnan12an，求bn；（2）設(shè)cn1，求數(shù)列{an}的前n項和Tn；an12an（3）設(shè)dnann，求d2010.2Sn的形式不獨立：1．(2015高·考全國卷Ⅱ)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且 a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn________．2.已知數(shù)列{an}中，an0，且對于任意正整數(shù)n有Sn1(an1)，求數(shù)列{an}的通項2an公式.n}中，an0n1，a11n滿足a2Sn2n2,nN*.3.已知數(shù)列{a2，前n項和Sn12Sn1（1）求證：數(shù)列 是等差數(shù)列；Sn（2）求數(shù)列{an}的通項公式.4.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn n 5an 85n N* .1）證明：數(shù)列an1是等比數(shù)列；2）求數(shù)列Sn的通項公式，請指出n為何值時，Sn取得最小值，并說明理由.nn，已知a11，2Sna1n2n2nN*.5.設(shè)數(shù)列{a}的前n項和為Snn1331）求a2的值；2）求數(shù)列{an}的通項公式.3）證明：對一切正整數(shù)n，有

1 1 1 7... .a1 a2 an 4角度三 利用遞推公式求通項公式1.累加法：形如 an1 an f n（1）已知a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)，求出滿足條件的數(shù)列的通項公式 .（2）在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋1，求an.n（n＋1）3）對于數(shù)列{an}，定義數(shù)列數(shù)列”的通項公式為2n，則數(shù)列

{an＋1－an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列”，若a1＝2，{an}的“差{an}的前n項和Sn＝________．2.累乘法：形如anfnan1（1）已知a1＝1，an＝n*n－1an－1(n≥2，n∈N)，求出滿足條件的數(shù)列的通項公式.（2）在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2nan，求an.（3）已知數(shù)列{an}中，a1＝1，2nan1 n 1an，則數(shù)列{an}的通項公式為 ________．3.構(gòu)造輔助函數(shù)列（1）待定系數(shù)法：①形如an1 pan qp,q為常數(shù)，pq 0且p 1的遞推式.法1：構(gòu)造an1+=pan法2：遞推一步，anpan-1q，兩式作差，an1anpanan-1，構(gòu)造an1an為等比數(shù)列求解.1an，求其通項公式.例：已知是數(shù)列{an}滿足a1＝1，an112②形如an1panqnrp,q,r為常數(shù)，p0,p1的遞推式.方法：可構(gòu)造an1an1bpananb轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列.例：在數(shù)列{an}中，a1＝2，an14an3n1nN*,求數(shù)列{an}的通項公式.（2）同除以指數(shù)：形如 an1 pan dn p 0且p 1，d 1的遞推式.法1：兩邊同除以pn1，轉(zhuǎn)化為疊加法求解.法2：兩邊同除以dn1，轉(zhuǎn)化為待定系數(shù)法求解.例1：已知數(shù)列{an}滿足，an 3an1 2n1n 2,n N* ,求數(shù)列{an}的通項公式.例2：在數(shù)列{an}中，a1＝1，an12an2n.a1n（1）設(shè)bnnn2，試證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的前n項和Sn.（3）取倒數(shù)法：形如an1aanac0的遞推式.bcan方法：取倒數(shù)1bcanb.1c，轉(zhuǎn)化為待定系數(shù)法求解.an1aanaana例1：在數(shù)列{an}中，a1＝1，an12an，求數(shù)列{an}的通項公式.2an例2：已知數(shù)列{an}的首項為a13，an13ann1,2,...，求數(shù)列{an}的通項52an1公式.Sn1，求數(shù)列{an}的通項公式.例3：已知數(shù)列{an}中，a1＝1，Sn2Sn11（4）取對數(shù)法：形如an1cankc0,an0的遞推式.方法：兩邊取對數(shù)轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.例1：已知數(shù)列{an}中，a1＝3，且an1an2nN*，則數(shù)列的通項an＝________．例2：已知數(shù)列{an}中，a1＝10，an1 10an2，求數(shù)列{an}的通項公式.（5）遞推式法：①形如an1anfn的遞推式.方法：將原遞推式改寫成an2an1fn1，兩式相減：an2anfn1fn，然后n分奇偶數(shù)討論即可.②形如an1.anfn的遞推式.方法：同上.例1：已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an1an2n，求an.例2：已知數(shù)列{a＝3，an1ann2nn}中，a1，求a.考點2：數(shù)列的求和（高頻考點）（1）等差、等比數(shù)列的求和①公式法②關(guān)于奇偶項求和問題③關(guān)于含絕對值的數(shù)列求和（2）通項分析法（3）錯位相減法（4）分組求和法（5）裂項相消法（6）倒數(shù)相加法（7）并項求和法角度一 等差、等比數(shù)列的求和1）公式法（見單獨的講解）2）關(guān)于奇偶項求和問題先求偶數(shù)項的和，再求奇數(shù)項的和。求奇數(shù)項時，將奇數(shù)情形轉(zhuǎn)化為偶數(shù)情形，即：SnSn1偶+anSn1偶an1例1：已知數(shù)列an的通項公式為ann12，求其前n項和Sn.1n例2：已知數(shù)列an中，通項an2n1(n為正奇數(shù))，求其前n項和Sn.3n(n為正偶數(shù))（3）關(guān)于含絕對值的數(shù)列求和（有技巧）例1：在公差為d的等差數(shù)列an中，已知a110，且a1，2a22，5a3成等比數(shù)列.（1）求d，an；（2）若d0，求|a1||a2||a3|...|an|.例2：在等差數(shù)列an中，a1023，a2522，Sn為其前n項和Sn.（1）求使Sn0的最小正整數(shù)n；（2）求Tn|a1|+|a2|+|a3|+...+|an|.例3：已知等差數(shù)列an1）求等差數(shù)列an

前三項的和為-3，前三項的積為 8.的通項公式；（2）若a2，a3，a1成等差數(shù)列，求數(shù)列n|a|的前n項和.角度二 通項分析法方法：先分析數(shù)列通項的特點，再選擇合適的方法求和 .例1：求數(shù)列1,1+2,1+2+22，，1+2+22++2n-1，的前n項的和.例2：求數(shù)列9,99,999,...,99...9的前n項的和.n個9角度三錯位相減法求數(shù)列an.bn和an的前n項的和，數(shù)列{ann}分別為等差與等比數(shù)列.bn}與{b例1：已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn且an＝n·2n，則Sn＝________.例2：已知數(shù)列{an}的前n項和Sn1n2kn其中kN*,且Sn的最大值為8.2（1）確定常數(shù)k，并求an.（2）求數(shù)列92ann的前n項和Tn.2例3：已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差數(shù)列，且 an＝bn＋bn＋1.1）求數(shù)列{bn}的通項公式；an＋1）n＋12）令cn＝（bn＋2）n.求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.例4：已知數(shù)列{an}是首項為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列1的前n項和為nan·an＋12n＋1.1）求數(shù)列{an}的通項公式；2）設(shè)bn＝(an＋1)·2an，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.例5：已知{ann，{bn}是等比數(shù)列，且a1b12,a4b427,}是等差數(shù)列，其前n項和為SS4b410.（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；（2）記Tnanb1an1b2...a1bnnN*,證明：Tn122an10bnnN*.角度四 分組求和法通常出現(xiàn)的情況：等差 +等比，等差+常數(shù)列，等比 +常數(shù)列例1：若數(shù)列{an}的通項公式為 an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}的前n項和為________．例2：在等差數(shù)列 {an}中，a1>0，a10·a11<0，若此數(shù)列的前 10項和S10＝36，前18項和S18＝12，則數(shù)列{|an|}的前18項和T18的值是________．例3：在數(shù)列{an}中，a1＝1，an111annn1.n2（1）設(shè)nan，證明n1n為等比數(shù)列；bbbn（2）求數(shù)列{an}的前n項和Sn.例4：已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋n*.，n∈N21）求數(shù)列{an}的通項公式；2）設(shè)bn＝2an＋(－1)nan，求數(shù)列{bn}的前2n項和．例5：已知數(shù)列{an}中，a1＝3，a2＝5，且{an－1}是等比數(shù)列．求數(shù)列{an}的通項公式；若bn＝nan，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.例6：已知數(shù)列{an}的通項公式是n－1n(ln2－ln3)＋(－1)n，求其前nan＝2·3＋(－1)nln3項和Sn.例7：已知等比數(shù)列{an}中，首項a1＝3，公比q>1，且3(an＋2＋an)－10an＋1＝0(n∈N*)．求數(shù)列{an}的通項公式；11，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{bn}的通項公式和前n(2)設(shè)bn＋an是首項為3項和Sn.角度五 裂項相消法常用的裂項相消變換有：分式裂項根式裂項

1111；1111nnppnnpnn1n22nn1n1n211npnnnpp3.對數(shù)式裂項nplgnplgnlgn4.指數(shù)式裂項aqnanqn1qnqn11111qq1;q11例1：數(shù)列{an}中，an＝ ，若{an}的前n（n＋1）A．2016B．2017C．2018D．2019

2017n項和為2018，則項數(shù) n為( )1例2：22－1＋32－1＋n＋1A．2（n＋2）C．3－11＋142n＋1n＋2

1142－1＋＋（n＋1）2－1的值為()B．3－n＋12（n＋2）43 1 1D．－ ＋例3：已知函數(shù)f(x)＝xa的圖象過點(4，2)，令an＝1，n∈N*nf（n＋1）＋f（n）.記數(shù)列{a}的前n項和為Sn，則S2017＝()A．2016－1B．2017－1C．2018－1D．2019－1例4：已知數(shù)列1,1,1,...,1,...,求它的前n項和Sn.12123123...n例5：Sn為數(shù)列{an}的前n項和．已知 an＞0，a2n＋2an＝4Sn＋3.求{an}的通項公式；1(2)設(shè)bn＝ ，求數(shù)列{bn}的前n項和．a(chǎn)nan＋1例6：等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1＋a7＝－9，S9＝－99.2(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝1，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求證：Tn>－3.2Sn4例7：數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝2n＋1－2，數(shù)列{bn}是首項為a1，公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，且b1，b3，b9成等比數(shù)列．求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式；(2)若cn＝2*（n＋1）bn(n∈N)，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.角度六倒序相加法將一個數(shù)列倒過來排列，當(dāng)它與原數(shù)列相加時，若有規(guī)可循，并且容易求和，通常涉及到fxfax常數(shù)，可簡便運算.1m0,x1,x2R，當(dāng)x1x21fx1fx21例1：函數(shù)fx時，2.4xm（1）求m的值；（2）已知數(shù)列{an}滿足anf012...fn1，求an.ffnf1nn（3）若Sn=a1+a2++an，求Sn.例2：設(shè)fx1，求f7f6f5...