平面幾何中的向量方法向量在物理中的應用舉例

6.4.1

平面幾何中的向量方法

6.4.2

向量在物理中的應用舉例課標闡釋思維脈絡1.能運用平面向量的知識解決一些簡單的平面幾何問題和物理問題.(邏輯推理、直觀想象)2.掌握用向量法解決平面幾何問題的兩種基本方法——選擇基底法和建系坐標法.(數(shù)學運算)3.通過具體問題的解決,理解用向量知識研究物理問題的一般思路與方法,培養(yǎng)探究意識和應用意識,體會向量的工具作用.(數(shù)學抽象、數(shù)學運算)激趣誘思知識點撥英國科學家赫胥黎應邀到都柏林演講,由于時間緊迫,他一跳上出租車,就急著說:“快!快!來不及了!”司機遵照指示,猛開了好幾分鐘,赫胥黎才發(fā)現(xiàn)不太對勁,問道:“我沒有說要去哪里嗎?”司機回答:“沒有啊!你只叫我快開啊!”赫胥黎于是說:“對不起,請掉頭,我要去都柏林.”由此可見,速度不僅有大小,而且有方向.在我們的生活中,有太多的事物不僅與表示它的量的大小有關,而且也與方向有關.激趣誘思知識點撥知識點一、向量在平面幾何中的應用1.由于向量的線性運算和數(shù)量積運算具有鮮明的幾何背景,平面幾何圖形的許多性質,如全等、相似、長度、夾角等都可以由向量的線性運算及數(shù)量積表示出來,因此平面幾何中的許多問題都可用向量運算的方法加以解決.2.用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”,即(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉化為向量問題;(2)通過向量運算,研究幾何元素之間的關系,如距離、夾角等問題;(3)把運算結果“翻譯”成幾何關系.3.平行四邊形兩條對角線長的平方和等于兩條鄰邊長的平方和的兩倍.這一結論,可以用向量表示為:(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2).激趣誘思知識點撥微練習(1)已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),則△ABC的形狀是(

)A.直角三角形

B.銳角三角形C.鈍角三角形 D.等邊三角形(2)在平面直角坐標系xOy中,已知點A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1),以線段AB,AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長分別是

,

.

激趣誘思知識點撥激趣誘思知識點撥知識點二、向量在物理中的應用1.物理學中的許多量,如力、速度、加速度、位移都是向量.2.物理學中的力、速度、加速度、位移的合成與分解就是向量的加減法.3.利用向量方法解決物理問題的基本步驟:(1)問題轉化,即把物理問題轉化為數(shù)學問題;(2)建立模型,即建立以向量為載體的數(shù)學模型;(3)求解參數(shù),即求向量的模、夾角、數(shù)量積等;(4)回答問題,即把所得的數(shù)學結論回歸到物理問題.激趣誘思知識點撥微練習(1)已知三個力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同時作用于某物體上一點,為使物體保持平衡,現(xiàn)加上一個力F4,則F4等于(

)A.(-1,-2)

B.(1,-2)

C.(-1,2)

D.(1,2)(2)已知速度v1,v2的大小分別為|v1|=10m/s,|v2|=12m/s,且v1與v2的夾角為60°,則v1與v2的合速度v的大小是(

)A.2m/s B.10m/sC.12m/s D.2m/s激趣誘思知識點撥解析:(1)由已知F1+F2+F3+F4=0,故F4=-(F1+F2+F3)=-[(-2,-1)+(-3,2)+(4,-3)]=-(-1,-2)=(1,2).(2)∵|v|2=|v1+v2|2=|v1|2+2v1·v2+|v2|2=100+2×10×12cos

60°+144=364,∴|v|=2(m/s).答案:(1)D

(2)D探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測向量在平面幾何中的應用角度1

平行或共線問題探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

證明A,B,C三點共線的步驟(1)證明其中兩點組成的向量與另外兩點組成的向量共線.(2)說明兩向量有公共點.(3)下結論,即A,B,C三點共線.探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練1如圖,已知AD,BE,CF是△ABC的三條高,且交于點O,DG⊥BE于G,DH⊥CF于H.求證:HG∥EF.探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測角度2

垂直問題例2如圖,在正方形ABCD中,P是對角線BD上的一點,四邊形PECF是矩形,用向量證明:PA⊥EF.探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測(方法二)以D為原點,DC,DA所在直線分別為x軸、y軸,建立如圖所示的平面直角坐標系.設正方形邊長為a,由于P是對角線BD上的一點,設DP=λDB=λa(0<λ<1),則A(0,a),P(λa,λa),E(a,λa),F(λa,0),探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

向量法證明平面幾何中AB⊥CD的方法

探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練2如圖所示,在正方形ABCD中,E,F分別是AB,BC的中點,求證:AF⊥DE.探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測角度3

長度問題例3如圖,在平行四邊形ABCD中,已知AD=1,AB=2,對角線BD=2,求對角線AC的長.分析本題是求線段長度的問題,可以轉化為求向量的模來解決.探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練3已知△ABC,∠BAC=60°,AB=2,AC=3,則BC的長為(

)答案:B探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測角度4

夾角問題例4已知矩形ABCD,AB=,AD=1,E為DC上靠近D的三等分點,求∠EAC的大小.分析可建立平面直角坐標系,通過坐標運算運用夾角公式求解.探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

平面幾何中夾角問題的求解策略利用平面向量解決幾何中的夾角問題時,本質是將平面圖形中的角視為兩個向量的夾角,借助夾角公式進行求解,這類問題也有兩種方向,一是利用基底法,二是利用坐標運算.在求解過程中,務必注意向量的方向.探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測延伸探究

本例中,條件不變,試問:在BC上是否存在點M,使得∠EAM=45°?若存在,求出點M的位置;若不存在,說明理由.探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測向量在物理中的應用角度1

用向量解決力學問題例5如圖所示,在細繩O處用水平力F2緩慢拉起所受重力為G的物體,繩子與鉛垂方向的夾角為θ,繩子所受到的拉力為F1.(1)求|F1|,|F2|隨θ角的變化而變化的情況;(2)當|F1|≤2|G|時,求θ角的取值范圍.探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

力的合成與分解的向量解法運用向量解決力的合成與分解時,實質就是向量的線性運算,因此可借助向量運算的平行四邊形法則或三角形法則進行求解.探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練4一個物體受到平面上的三個力F1,F2,F3的作用處于平衡狀態(tài),已知F1,F2成60°角,且|F1|=3N,|F2|=4N,則F1與F3夾角的余弦值是

.

探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測角度2

用向量解決速度問題例6在風速為km/h的西風中,飛機以150km/h的航速向西北方向飛行,求沒有風時飛機的航速和航向.分析解本題首先根據題意作圖,再把物理問題轉化為向量的有關運算求解.探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

速度問題的向量解法運用向量解決物理中的速度問題時,一般涉及速度的合成與分解,因此應充分利用三角形法則與平行四邊形法則將物理問題轉化為數(shù)學中的向量問題,正確地作出圖形解決問題.探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練5一船以8km/h的速度向東航行,船上的人測得風自北方來;若船速加倍,則測得風自東北方向來,求風速的大小及方向.解:分別取正東、正北方向上的單位向量i,j為基底,設風速為xi+yj.依題意第一次船速為8i,第二次船速為16i.探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測物理學中力的向量解法典例(1)一物體在力F1=(3,-4),F2=(2,-5),F3=(3,1)的共同作用下從點A(1,1)移動到點B(0,5).在這個過程中三個力的合力所做的功等于

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(2)設作用于同一點的三個力F1,F2,F3處于平衡狀態(tài),若|F1|=1,|F2|=2,且F1與F2的夾角為

π,如圖所示.①求F3的大小;②求F2與F3的夾角.探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測(1)解析:因為F1=(3,-4),F2=(2,-5),F3=(3,1),所以合力F=F1+F2+F3=(8,-8),=(-1,4),則F·=-1×8-8×4=-40,即三個力的合力所做的功為-40.答案:-40探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測方法點睛向量在物理中的應用(1)求力向量,速度向量常用的方法:一般是向量幾何化,借助于向量求和的平行四邊形法則求解.(2)用向量方法解決物理問題的步驟:①把物理問題中的相關量用向量表示;②轉化為向量問題的模型,通過向量運算使問題解決;③結果還原為物理問題.探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測答案:D探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測答案:(-3,1)或(-1,-3)探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測3.如圖,在矩形ABCD中,AB=,BC=3,BE⊥AC,垂足為E,則ED=

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探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測解析