平面向量基本定理與正交分解及坐標表示

第二章平面向量2.3.1-2平面向量基本定理與

正交分解及坐標表示

情景導學探究1：給定平面內任意兩個向量e1，e2，如何求作向量3e1＋2e2和e1－2e2？

e1e22e2BCO3e1Ae1D3e1＋2e2e1-2e2

新知探究OABCMN探究平面向量基本定理:

有且只有一對實數(shù)、使向量，那么對于這一平面內的任一向量

如果、是同一平面內的兩個不共線這一平面內所有向量的一組基底。我們把不共線的向量、叫做表示

概念解析(4)基底給定時，分解形式唯一.平面向量基本定理:

探究：(1)我們把不共線向量、叫做表示這一平面內所有向量的一組基底；(2)基底不唯一，關鍵是不共線；(3)由定理可將任一向量在給出基底、的條件下進行分解；是由、、唯一確定的數(shù)量

概念解析平面向量基本定理

探究：（5）一組平面向量的基底有多少對？（有無數(shù)對）(6)若基底選取不同，則表示同一向量的實數(shù)、是否相同？（可以不同，也可以相同）(7)特別的，若a=0，則有且只有：==0(8)特別的，若與共線，則有，使得:

概念辨析1.判斷下列說法是否正確：A、一個平面內只有一對不共線向量可作為表示該平面所有向量的基底；B、一個平面內有無數(shù)多對不共線向量可作為表示該平面所有向量的基底；C、零向量不可為基底中的向量。2.設O是平行四邊形ABCD的兩對角線交點，下列向量組：①AD與AB；②DA與BC；③CA與DC；④OD與OB。其中可作為這個平行四邊形所在平面內所有向量的一組基底的是?×√√①，③K=1,t=-3

概念辨析例1.已知向量,，求作向量-2.5+3作法:1、任取一點O,作OABC2、作OACB.3、就是求作的向量

例題解析例2

如圖，、不共線，，用、,表示.OABP解：

例3ABCD中，E、F分別是DC和AB的中點，試判斷AE,CF是否平行？FBADCE解：取基底則有∵共線，又無公共點,Fs┓OABFS

我們學過功的概念，即一個物體在力F的作用下產生位移s(如圖)思考:

問題探究

概念解析平面向量的正交分解

把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫作把向量正交分解

概念解析探究1.以O為起點，P為終點的向量能否用坐標表示？如何表示？oPxya

新知探究向量的坐標表示向量

P（x

，y）一一對應

在平面直角坐標系內，起點不在坐標原點O的向量如何用坐標來表示?探究2:

Aoxyaa

可通過向量的平移，將向量的起點移到坐標的原點O處.

解決方案:

新知探究OxyA平面向量的坐標表示這里，我們把（x,y）叫做向量的（直角）坐標，記作①

其中，x叫做在x軸上的坐標，y叫做在y軸上的坐標，①式叫做向量的坐標表示。

如圖，是分別與x軸、y軸方向相同的單位向量，若以為基底，則xyo例1.如圖，分別用基底，表示向量、、、，并求出

它們的坐標。AA1A2解：如圖可知同理

典例解析

1.平面向量基本定理可以聯(lián)系物理學中的力的分解模型來理解，它說明在同一平面內任一向量都可以表示為不共線向量的線性組合，該定理是平面向量坐標表示的基礎，其本質是一個向量在其他兩個向量上的分解。

課堂小結