【數(shù)學建模】導(dǎo)彈發(fā)射追擊問題的數(shù)學模型

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我們的隊號為：27參賽隊員：1.唐路明2.季凱3.聞鶯指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負責人：數(shù)模組日期：2009年8月評閱編號（由評閱老師評閱前進行編號）：數(shù)學建模競賽編號專用頁評閱編號：評閱記錄：評閱人評分備注導(dǎo)彈發(fā)射追擊問題的數(shù)學模型摘要本文對導(dǎo)彈發(fā)射追擊敵機問題進行了求解和計算機模擬，以微分方程為理論基礎(chǔ)，根據(jù)題目要求，提出基本假設(shè)，建立合理的模型，并通過分析在給定不同速度條件下的軌跡方程，得到發(fā)射空對空和地對空兩種導(dǎo)彈擊毀敵機的條件。問題（1），建立微分方程模型，化二階方程為一階方程，從而得到導(dǎo)彈軌跡的解析表達式，發(fā)射該種空對空導(dǎo)彈擊中敵機的的條件范圍是(0,)，為飛機速率與導(dǎo)彈速率之比。同時利用MATLAB7．0仿真，對導(dǎo)彈追蹤敵機的過程進行了計算機檢驗和模擬，所得結(jié)果與所求相符。問題（2），首先，建立三維空間直角坐標系，在任意時刻t確定了導(dǎo)彈和飛機的空間位置坐標后，將導(dǎo)彈速度分解，再根據(jù)高度與水平距離比值不變的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為二維平面直角坐標系上的追擊問題。然后與問題（1）的處理相似，用差微分方法即可得導(dǎo)彈的軌跡，最后再對兩者速度比值進行討論后，得發(fā)射該種地對空導(dǎo)彈擊毀敵機的的條件范圍是(0,)。并最終再用MATLAB7．0進行檢驗分析，以證明模型的合理性。問題（3），在一定范圍內(nèi)，對m,n進行合理取值，利用MATLAB7．0進行仿真模擬，確定導(dǎo)彈擊毀飛機的最小速度。然后，根據(jù)實際情況，假設(shè)飛機能夠在一定區(qū)域范圍內(nèi)發(fā)現(xiàn)導(dǎo)彈，忽略其加速的時間過程，對模型做進一步的改進。另一方面，對模型做更一般化的改進，對平面內(nèi)任意兩點的位置（即導(dǎo)彈和飛機相對位置的不固定性）進行分析討論，得出導(dǎo)彈擊毀飛機的軌跡方程，并對問題一的模型進行了模擬檢驗。最后，對模型的優(yōu)缺點進行了分析，并指出其廣泛的實際應(yīng)用范圍，以說明模型的現(xiàn)實重要意義。關(guān)鍵詞微分方程MATLAB7．0仿真模擬迭代法橢圓區(qū)域一、問題的提出某邊防導(dǎo)彈基地的雷達發(fā)現(xiàn)位于其正東N公里處有一家來犯敵機正欲逃往正北方向M公里處的安全區(qū)。該基地的I型空對空追蹤導(dǎo)彈和II型地對空追蹤導(dǎo)彈均可針對目標隨時自動調(diào)節(jié)追蹤方向，截擊敵機。但敵機一旦進入安全區(qū)后，由于電子干擾作用，I型、II型導(dǎo)彈均將失去追蹤目標，無法將敵機擊毀。如此時恰有一架攜有I型空對空追蹤導(dǎo)彈的、與敵機處于同一飛行高度的巡航飛機在空中，基地即下令巡航飛機發(fā)射I型追蹤導(dǎo)彈擊毀敵機。試確定導(dǎo)彈追蹤敵機的軌跡，并在適當?shù)募俣ㄏ陆o出發(fā)射該種導(dǎo)彈擊毀敵機的條件；如此時在基地即發(fā)射II型地對空追蹤導(dǎo)彈去擊毀敵機，試確定導(dǎo)彈追蹤敵機的軌跡，并在適當?shù)募俣ㄏ?，及發(fā)射該種導(dǎo)彈擊毀敵機的條件；若導(dǎo)彈的速度可在發(fā)射前根據(jù)需要設(shè)定，對于不同的N、M取值，編寫計算機程序（語言不限），利用計算得到的數(shù)據(jù)說明怎樣的發(fā)射速度可確保擊毀敵機。二、問題的分析導(dǎo)彈追蹤敵機，如要擊毀成功，必須以足夠大的速度在敵機未到達安全區(qū)時追上。本題即旨在通過建立模型，能夠?qū)?dǎo)彈的跟蹤軌跡方程和擊毀敵機條件做出合理解答。再通過計算機，對其追蹤過程進行合理的仿真模擬。對于問題（1），建立平面直角坐標系后，導(dǎo)彈在x,y方向的速度有=，=，聯(lián)立方程組后，將二階微分方程化為一階微分方程，即可求解。接著對所求解進行MATLAB編程檢驗，并對追蹤過程進行計算機檢驗擬合。對于問題（2），地對空的導(dǎo)彈在追擊敵機的過程中，存在一個高度差的問題。因此必須建立三維空間直角坐標系來標示確定兩者的位置。導(dǎo)彈在整個追擊過程中，垂直于y軸的速度方向始終指向敵機，故始終有dz/dx=(dz/dt)/(dx/dt)=h/n等式成立，從而可將問題轉(zhuǎn)化為二維平面內(nèi)的追擊問題。接著即是用與問題（1）中相似的微分方程的處理方法，求得y后，將其與m比較，可得結(jié)果。對于問題（3），應(yīng)用MATLAB7．0進行編程求解，運用迭代法原理，對m,n等距取值，編程求解不同情況下導(dǎo)彈擊毀敵機的最小發(fā)射速度。三、基本假設(shè)1．導(dǎo)彈與敵機的運動為質(zhì)點運動。2．導(dǎo)彈與敵機在發(fā)射和飛行過程中始終保持勻速運動（即無阻力）。3．在整個追擊過程中，區(qū)域內(nèi)無其他物體的干擾。4．敵機在飛行過程中，對導(dǎo)彈的追蹤始終未察覺。5．導(dǎo)彈與敵機的質(zhì)量不計。6．查閱資料表明，飛機飛行速度可取1000公里/每小時。7．當基地監(jiān)測到敵機時，立刻發(fā)射導(dǎo)彈。8．在敵機未到達安全區(qū)前，導(dǎo)彈只要追上敵機，即可將敵機擊毀。四、符號說明符號符號說明導(dǎo)彈速率飛機速率飛機速率與導(dǎo)彈速率的比飛機被監(jiān)測到的點飛機與基地的水平距離M敵機安全的邊界點飛機向正北方逃跑的安全距離飛機飛行高度飛機發(fā)現(xiàn)導(dǎo)彈的區(qū)域半徑導(dǎo)彈與飛機的距離任意時刻t飛機在軸上的距離任意時刻t導(dǎo)彈在軸上的距離任意時刻t導(dǎo)彈在上的距離飛機加速后的速度注：其余符號在文中出現(xiàn)時再予以說明。五、模型的建立與求解5．1問題（1）的模型建立與求解模型建立建立直角坐標系如圖一，設(shè)在t=0時刻導(dǎo)彈發(fā)現(xiàn)飛機，此時導(dǎo)彈的位置在，飛機的位置在,飛機以速度平行于y軸正向行駛，導(dǎo)彈以速度按指向飛機的方向發(fā)射飛行（>）.在任意時刻t導(dǎo)彈位于點，而飛機到達Q（n,t）點，直線PQ與導(dǎo)彈軌跡（圖一中曲線）相切，切線與x軸正向夾角為.導(dǎo)彈在x,y方向的速度分別為，，由直角三角形PQR寫出sin（）和cos（）的表達式，得到微分方程（式1）初始條件為，圖一模型求解要想得到導(dǎo)彈攔截飛機的精確時間和位置，必須對問題一的求解作進一步的分析，設(shè)法得到某種形式的解析解。將方程(1)的兩式相除，消去得到（式2）對x求導(dǎo)得（式3）為消去式中的dt，利用曲線弧長s的微分，導(dǎo)彈的速度，以及微分關(guān)系，得（式4）這是關(guān)于y(x)的二階微分方程，若令，可化為的一階微分方程，（式5）依題意其初始條件為.（式6）方程（式5）為可分離變量方程，容易求得在（式6）下的解為（式7）或（式8）由（式7）和（式8）得（式9）對（式9）積分并注意到，得（式10）此即為導(dǎo)彈軌跡的解析表達式，并用MATLAB編程進行檢驗，結(jié)果與所求相同。程序見附錄一當=n時，有，（式11）1）當k>1（即飛機的速率大于導(dǎo)彈的速率）時，方程的解為顯然導(dǎo)彈不可能擊中飛機,符合實際情況;2）當k=1（即飛機的速率等于導(dǎo)彈的速率）時，方程的解為顯然,表明此時導(dǎo)彈不可能擊中飛機,符合實際情況;3）當k<1（即飛機的速率小于導(dǎo)彈的速率）時，方程的解為 此時,當<m時,即<m 得（式12）如圖二所示圖二又>0故的取值范圍是(0,).模型檢驗利用MATLAB編程仿真檢驗導(dǎo)彈軌跡與所求得解析解y的擬合程度，結(jié)果見圖三。程序見附錄二。注：（1）．經(jīng)查閱資料，飛機的飛行速度約為1000公里/每小時；（2）．在給定速度1000公里/每小時的情況下，取一較小值t的時間間隔為t=0.000005小時，則所求步長為d=0.000005*1000=0.005公里。運行結(jié)果顯示，當d<=0.005時，導(dǎo)彈運動軌跡越過飛機航線，繼續(xù)追蹤則出現(xiàn)折轉(zhuǎn)。且每隔0.000005秒，導(dǎo)彈軌跡都折轉(zhuǎn)一次，以飛機航線為軸，成“Z”字型路線前進。因此，在程序中將t的值累計疊加，直至當d>0.005時，導(dǎo)彈運行軌跡才恢復(fù)正常，不發(fā)生折轉(zhuǎn)。而為符合實際情況，不使d過大，在d<=0.01時，即認為導(dǎo)彈擊中飛機。圖三問題（2）的模型建立與求解模型建立建立空間三維直角坐標系如圖三。設(shè)在t=0時刻，地對空的導(dǎo)彈發(fā)現(xiàn)了敵機，此時導(dǎo)彈在原點的位置，而飛機的位置在N（n,0,h）點（飛機高度為h），飛機以速度沿-y方向即XOY平面內(nèi)正北方向行駛，導(dǎo)彈以速度按指向飛機的方向發(fā)射飛行。在任意時刻t，飛機位于R（n,,h）點（），導(dǎo)彈位于P(,,)點。此時沿垂直于軸作切面,得圖中陰影部分。導(dǎo)彈P在陰影面上的投影點的坐標為P’(,,)。將t時刻導(dǎo)彈速度沿平行于y軸和垂直于y軸兩個方向分解,其中平行于y軸的速度為（為速度方向與陰影面的夾角），方向為。由t的任意性可知，導(dǎo)彈速度在垂直于y軸方向上的速度方向始終不變，即dz/dx=(dz/dt)/(dx/dt)=h/n。圖四由于導(dǎo)彈在XOZ平面內(nèi)的速度方向始終不變，則導(dǎo)彈在XOZ平面內(nèi)的運動軌跡也始終不變，即對于任意導(dǎo)彈位置P（x,y,z）恒有x/z=n/h。又x/z=n/h所表示的幾何意義是一個如圖五中所示斜平面，且導(dǎo)彈在該平面內(nèi)運動。此時，導(dǎo)彈在三維空間內(nèi)的運動軌跡即可轉(zhuǎn)化為問題一中的二維平面追擊問題，如圖六所示。圖五圖六模型求解由圖六可得方程組（式13）由問題一中結(jié)果得（式14）代入，得（式15）又，得（式16）則導(dǎo)彈的軌跡方程為（式17）當時，（式18）1）當k>1（即飛機的速率大于導(dǎo)彈的速率）時，方程的解為顯然導(dǎo)彈不可能擊中飛機,符合實際情況;2）當k=1（即飛機的速率等于導(dǎo)彈的速率）時，方程的解為顯然,表明此時導(dǎo)彈不可能擊中飛機,符合實際情況;3）當k<1（即飛機的速率小于導(dǎo)彈的速率）時，方程的解為 此時,當>－m時,即>－m 得（式19）（如圖七所示）圖七又故的取值范圍是(0,).5．3問題3的求解根據(jù)題目信息所得，當給定N，M，值時，計算出導(dǎo)彈可擊毀飛機的最小速度。因此，可應(yīng)用MATLAB7．0進行過程仿真。算法如下：確定飛機與基地的位置，設(shè)為，輸入m,n,利用循環(huán)選取大量的，對每一個，給定時間間隔為，計算每一點在各個時刻的坐標。設(shè)某點在t時刻的坐標為，其中取足夠小的時結(jié)束算法。對每一個點，連接它各個時刻的位置，即得所求運動的軌跡。注：考慮到計算機運行的效率，在選取時，可以分為兩個步驟。先可以確定一個小范圍（如在1的范圍內(nèi)），然后再將小范圍細分，這樣就可以減少大量的運算時間，并且得到的數(shù)據(jù)更加精確。所得結(jié)果如表一所示。（程序見附錄三）NMNM20406080100201.6167e+0031.2788e+0031.1791e+0031.1317e+0031.1041e+003402.4178e+0031.6165e+0031.3862e+0031.2798e+0031.2190e+003603.3118e+0031.9990e+0031.6170e+0031.4421e+0031.3433e+003804.2504e+0032.4139e+0031.8677e+0031.6172e+0031.4763e+0031005.2123e+0032.8511e+0032.1345e+0031.8036e+0031.6174e+003表一六、模型的改進與優(yōu)化改進一在上述對整個題目的求解過程中，假設(shè)飛機對導(dǎo)彈始終未察覺。而在實際情況中，飛機在逃亡時，也會勘察周邊環(huán)境，根據(jù)具體情況對飛行路線和速度大小進行改變。故對第一問中所建模型的改進，同樣也適用于本題的第二問。在此，僅對于問題一的模型改進進行闡述。模型建立假設(shè)飛機在逃亡的過程中，若勘察到在它周圍半徑為r的范圍內(nèi)有追蹤導(dǎo)彈，則會在最短時間內(nèi)立即調(diào)整，調(diào)整后速度大小為，方向仍然不變。進而設(shè)導(dǎo)彈在剛好進入飛機半徑為r的范圍時所經(jīng)過的時間為t，導(dǎo)彈的坐標為P（,），飛機的坐標Q（n，t）；則在時刻t之前，導(dǎo)彈軌跡方程是(式20)在時刻t之后，設(shè)，此時可建立以P點為原點，正東方向為x’方向，正北方向為y’方向的直角坐標系，如下圖所示，則在飛機改變速度后，導(dǎo)彈的運動軌跡為圖中實線所示。圖八此時（在時刻t后），導(dǎo)彈的軌跡方程是(式21)其中整理得(式22)故最后所得結(jié)論為（1）飛機未發(fā)現(xiàn)導(dǎo)彈前，即時刻t之前導(dǎo)彈軌跡方程為（2）飛機發(fā)現(xiàn)導(dǎo)彈后，即時刻t之后導(dǎo)彈軌跡方程為其中，．模型的計算機模擬利用MATLAB對導(dǎo)彈軌跡方程進行模擬，結(jié)果如圖九所示。（程序見附錄四）圖九改進二將此題二維模型更一般處理，即設(shè)平面內(nèi)有任意兩點，分別為飛機和導(dǎo)彈的位置，建立如下圖所示的坐標系。在任意t時刻，導(dǎo)彈P的位置為（，），運動方向始終指向飛機Q，速度大小為；飛機Q的位置為（，），即運動方向始終與x軸夾角為。且和大小均為常數(shù)，。出于一般性考慮，認為可以變化，則t時刻飛機的位置為：(式23)而導(dǎo)彈在追擊過程中滿足：，(式24)由（24）式可解出導(dǎo)彈的運動微分方程：(式25)可以由解微分方程組求出，，從而得到導(dǎo)彈的運動軌跡。在此建立以飛機為原點，飛機運動方向為y軸正方向的直角坐標系，即相當于取，，，則由（23）式和（25）式消去時間t得到導(dǎo)彈的運動軌跡方程（a，b為與初始量有關(guān)的參數(shù)）由于計算數(shù)值變化量過大，故不能再進一步自行討論；根據(jù)參考文獻【4】中P217—221中計算模擬結(jié)論得到：該平面存在一個范圍內(nèi)S，若導(dǎo)彈的初始位置在S內(nèi)，則導(dǎo)彈可以在飛機進入安全位置前擊中它；若導(dǎo)彈的初始位置在S以外，則飛機可以安全返回安全位置，導(dǎo)彈就再也不能擊中飛機。如下圖所示：該圖S有以下幾個性質(zhì)：（1）S圖關(guān)于y軸對稱，也有可能是一個橢圓；（2）；（3）因為導(dǎo)彈在圖形S邊界上任意一點出發(fā)，都是在點M擊中飛機，即飛機所走的路程相同，則說明追擊過程所花的時間相同。將此模型對問題一中的模型進行檢驗。因為此圖形和橢圓的相似度很高，故把次邊際認為是橢圓。則橢圓的中心為（0，m），焦點為（0，0）和（0，2m）。得到橢圓的方程為：取y=0時，有：，又0<k<1化簡，可得：由問題一中的導(dǎo)彈坐標為（-n，0），則：即：，與一式相同，則證明問題一中模型的合理性。七、模型的評價與推廣本文的模型主要建立在差微分方程求解的基礎(chǔ)上，簡單易懂，操作性強。在對擊毀條件的求解過程中，模型對導(dǎo)彈與飛機的速率進行了詳細討論。并根據(jù)飛機是否察覺導(dǎo)彈的基本前提，對模型進行了切實有效的改進。在每次求解過后，都利用MATLAB7．0進行編程檢驗，確保結(jié)果更加真實可靠。所編程序運行效率較高，最長亦可在兩分鐘內(nèi)得出準確結(jié)果。但是，在實際情況中，不可能不考慮阻力、重力等因素；飛機在改變速度時，也必然有一個時間上的加速過程。此類追擊問題的模型建立，具有廣泛的應(yīng)用范圍和深遠的現(xiàn)實意義。在現(xiàn)實海陸空領(lǐng)域防衛(wèi)中，敵我雙方均可利用該模型來進行防御與攻擊戰(zhàn)略的調(diào)整。此外，該模型亦可有效適用于走私、海上緝毒、航母與護航艦搜尋人質(zhì)問題，潛艇決策等偵察活動中，在生產(chǎn)與軍事上有較好的實際意義。八、參考文獻【1】姜啟源，邢文訓等．《大學數(shù)學實驗》．北京：清華大學出版社，2005【2】豈興明，王占富等．《MATLAB7.0程序設(shè)計快速入門》．北京：人民郵電出版社，2009【3】白其崢主編．《數(shù)學建模案例分析》．北京：海洋出版社，2000李繼成主編．《數(shù)學實驗》．北京：高等教育出版社，2006鄒秀芬，陳紹林等．《數(shù)值計算方法學習指導(dǎo)書》．武漢：武漢大學出版社，2008韓中庚主編．《數(shù)學建模競賽――獲獎?wù)撐木x與點評》．北京：科學出版社，2007【7】熊啟才主編．《數(shù)學模型方法及應(yīng)用》．重慶：重慶大學出版社，2005．3【8】王樹禾編著．《數(shù)學模型基礎(chǔ)》．合肥：中國科學技術(shù)大學出版社，1996附錄：附錄一對于問題一中解析解y的檢驗程序>>a=dsolve('Dy=0.5*((n^k)/(n-x)^k-(n-x)^k/(n^k))','y(0)=0','x')a=-1/2*n^k*(n-x)^(-k+1)/(-k+1)+1/2*n^(-k)*(n-x)^(k+1)/(k+1)-n*k/(k^2-1)>>pretty(a)k(-k+1)(-k)(k+1)n(n-x)n(n-x)nk-1/2+1/2--k+1k+12k-1>> 附錄二對于問題一中導(dǎo)彈追擊飛機的檢驗程序v=1000;%定義速度為1000公里每小時dt=0.000005;%時間間隔為0.000005秒x=[0100];%定義初始的X坐標位置y=[00];%定義初始的Y坐標位置t=0;M=70;%飛機安全的臨界值fori=1:2plot(x(i),y(i),'.'),holdonendd=100;%飛機與導(dǎo)彈的初始距離while(d>0.01)%當飛機與導(dǎo)彈的距離小于等于0.01時，結(jié)束循環(huán)t=t+dt;%時間的疊加d=sqrt((x(2)-x(1))^2+(y(2)-y(1))^2);%飛機與導(dǎo)彈的距離x(1)=x(1)+2*v*dt*(x(2)-x(1))/d;%導(dǎo)彈X的位置變化y(1)=y(1)+2*v*dt*(y(2)-y(1))/d;%導(dǎo)彈Y的位置變化y(2)=y(2)+v*dt;%飛機Y的位置變化x(2)=x(2);%飛機X位置沒有變化fori=1:2plot(x(i),y(i),'.'),holdonendendify(2)>M%判斷飛機是否安全fprintf('導(dǎo)彈無法擊毀飛機')elsefprintf('導(dǎo)彈可以擊毀飛機')endtxlabel('x')ylabel('y')title('導(dǎo)彈追擊飛機的軌跡的檢驗')holdonx=[0:1:100];y=(100/3).*((100-x)./100).^(3/2)-100.*((100-x)./100).^(1/2)+200/3;plot(x,y,'r+');保存為dd.m在CommandWindou中輸入dd顯示如下：>>dd導(dǎo)彈可以擊毀飛機t=0.0667附錄三問題三的求解程序input('該程序可以解決導(dǎo)彈追蹤問題中導(dǎo)彈最小速度的確定，M是安全的邊界值，N是基地發(fā)現(xiàn)敵機時之間的距離')input('飛機的速度我們?nèi)×?000公里每小時，您也可以自行調(diào)整并且我們還可以為您畫出具體的追蹤軌跡，請按提示進行操作')M=input('輸入M：')N=input('輸入N：')v=1000;%定義速度為1000公里每小時dt=0.00005;%時間間隔為0.000005小時x=[0N];%定義初始的X坐標位置y=[00];%定義初始的Y坐標位置d=N;%飛機與導(dǎo)彈的初始距離fork=1001:1:10000while(d>0.1)%當飛機與導(dǎo)彈的距離小于等于0.1時，結(jié)束循環(huán)d=sqrt((x(2)-x(1))^2+(y(2)-y(1))^2);%飛機與導(dǎo)彈的距離x(1)=x(1)+k*dt*(x(2)-x(1))/d;%導(dǎo)彈X的位置變化y(1)=y(1)+k*dt*(y(2)-y(1))/d;%導(dǎo)彈Y的位置變化y(2)=y(2)+v*dt;%飛機Y的位置變化x(2)=x(2);%飛機X位置沒有變化endify(2)<Mbreak;endx(1)=0;y(1)=0;y(2)=0;d=N;endforp=k-1:0.0001:kv=1000;%定義速度為1000公里每小時dt=0.00005;%時間間隔為0.000005小時x=[0N];%定義初始的X坐標位置y=[00];%定義初始的Y坐標位置d=N;%飛機與導(dǎo)彈的初始距離while(d>0.1)%當飛機與導(dǎo)彈的距離小于等于0.01時，結(jié)束循環(huán)d=sqrt((x(2)-x(1))^2+(y(2)-y(1))^2);%飛機與導(dǎo)彈的距離x(1)=x(1)+p*dt*(x(2)-x(1))/d;%導(dǎo)彈X的位置變化y(1)=y(1)+p*dt*(y(2)-y(1))/d;%導(dǎo)彈Y的位置變化y(2)=y(2)+v*dt;%飛機Y的位置變化x(2)=x(2);%飛機X位置沒有變化endify(2)<Mbreak;endx(1)=0;y(1)=0;y(2)=0;d=N;enddisp('當發(fā)射速度大于')pdisp('可確保導(dǎo)彈擊中飛機')x=[0N];%定義初試X的坐標位置y=[00];%定義初試Y的坐標位置t=0;fori=1:2plot(x(i),y(i),'.'),holdonendd=N;%飛機與導(dǎo)彈的初始距離while(d>0.1)%當飛機與導(dǎo)彈的距離小于等于0.01公里時，循環(huán)結(jié)束