2023年初二數(shù)學(xué)上學(xué)期知識(shí)點(diǎn)和典型例題總結(jié)

全等三角形

類型一:全等三角形性質(zhì)的應(yīng)用

1、如圖，AAB恒叢ACE,AFAC,寫出圖中的相應(yīng)邊和相應(yīng)角.④

思緒點(diǎn)撥：力生/IQ48和/C是相應(yīng)邊，NZ是公共角，N4和N4是相應(yīng)

角，按相應(yīng)邊所對(duì)的角是相應(yīng)角，相應(yīng)角所對(duì)的邊是相應(yīng)邊可求解.A解析：/

日和4C是相應(yīng)邊,/。和4E8。和是相應(yīng)邊，/力和/力是相應(yīng)角，/8和/

C,N4&?和是相應(yīng)角.

總結(jié)升華:已知兩對(duì)相應(yīng)頂點(diǎn)，那么以這兩對(duì)相應(yīng)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的角是相應(yīng)

角，第三對(duì)角是相應(yīng)角；再由相應(yīng)角所對(duì)的邊是相應(yīng)邊，可找到相應(yīng)邊.

已知兩對(duì)相應(yīng)邊,第三對(duì)邊是相應(yīng)邊，相應(yīng)邊所對(duì)的角是相應(yīng)角3舉一

反三:

【變式1】如圖，△/日。絲/\〃8￡問線段/￡和。。相等嗎？為什么?A

【答案】證明：由△/8四/\〃8￡得AB=DB,BC=BE,

貝l］AB-BE=DB-BC,即AE=CD。

【變式2】如右圖，畫遠(yuǎn)互踵］,\AD=BC\a

證明:?.?AADEwACBF,AD=BC

求證：AE〃CFA［答案】INAED=NF

.'.AE/7CFA

2、如圖，已知△ABC之△DEF,NA=30°,NB=50°,BF=2,求N

DFE的度數(shù)與EC的長。A思緒點(diǎn)撥：由全等三角形性質(zhì)可知：NDFE=N

ACB,EC+CF=BF+FC,所以只需求NACB的度數(shù)與BF的長即可。

解析：在AABC中，4ZACB=1

80°-ZA-ZB,

又NA=30°,NB=50°,

所以NACB=10O°3又由于

△ABC^ADEF,A所以NACB=NDFE,

BC=EF（全等三角形相應(yīng)角相等，相應(yīng)邊相等）。

所以NDFE=100°

EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。

總結(jié)升華:全等三角形的相應(yīng)角相等,相應(yīng)邊相等。

舉一反三：A【變式1】如圖所示，AACD^A

ECD,ACEF之△BEF,NACB=90°.A求證：(1)CD±

AB;(2)EF〃AC.

【答案】

(1)由于△ACD之AECD,A所以N

ADC=NEDC(全等三角形的相應(yīng)角相等).

由于NADC+NEDC=180°,所以N

ADC=NEDC=90°.

所以CD_LAB.

（2）由于ACEFgABEF,

所以NCFE=NBFE（全等三角形的相應(yīng)角相等）.

由于NCFE+NBFE=180°,

所以NCFE=NBFE=90°3由于NACB=90°,所以NACB=NBFE.

所以EF〃AC.4類型二：全等三角

形的證明A3、如圖,AC=BD,DF=CE,NEC

B=NFDA,求證：△ADFgz^BCE.A思緒

點(diǎn)撥：欲證AADF之Z\BCE,由已知可知已具有一邊一角，由公理的條件判斷還

缺少這角的另一邊,可通過AC=BD而律解析：■;AC=BD（已知）A

/.AB-BD=AB-AC（等式性質(zhì)）

即AD=BC

AD=BC（已證）

ZFDA=ZECB（已知）

{=（己知）________A

.-.△ADF^ABCE（SAS）A總結(jié)升華：運(yùn)用全等三角形證明線段（角）相等

的一般方法和環(huán)節(jié)如下：A（1）找到以待證角（線段）為內(nèi)角（邊）的兩個(gè)三

角形，

（2）證明這兩個(gè)三角形全等；A（3）由全等三角形的性質(zhì)得出所要證的

角（線段）相等.4舉一反三：A【變式1】如圖，已知AB〃DC,AB

=DC,求證：AD〃BO【答案】,:AB〃CDAZ3=Z4^

=已知）

jz3=Z4（BuE）

在4ABD和△CDB中A|［班=￡0：已知1/.AAB

CDB（SAS）

.'.Z1=Z2（全等三角形相應(yīng)角相等）A」.AD〃BC（內(nèi)錯(cuò)

角相等兩直線平行）

【變式2】如圖，已知EB1_AD于B,FCLAD于C,且EB=FC,AB=CD.A

求證AF=DE.A【答案】AD（已知）

，NEBD=90°（垂直定義）A

同理可證NFCA=90°A/.ZEBD=

ZFCA

?：AB=CD,BC=BCA/.

AC=AB+BC

=BC+CDA=BD

在4ACF和BE中A

AC=DB（己證）

ZFCA=ZEBD（已證）

FC=EB（已知）.

F^ADBE（S.A.S）A「.AF=DE（全等三角形相應(yīng)邊相等）A類型三:

綜合應(yīng)用A4、如圖,AD為△ABC的中線。求證:AB+AO2AD.

思緒點(diǎn)撥：要證AB+AO2AD,由圖想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD,所

以AB+AC+BO2AD,所以不能直接證出。由2AD想到構(gòu)造一條線段等于2AD,

即倍長中線。

解析：延長AD至E,使DE=AD,連接BEA由于AD為AABC的中

線，

所以BD=CD.A在4ACD和AEBD中，

但.=CD（已證）

<ZBDE=ZADC（對(duì)頂角相等）

[AD=ED（已作）

所以AACD之AEBD（SAS）.

所以BE=CA.A在AABE中，AB+BE>AE,所以AB+AC>2

AD.A總結(jié)升華:通過構(gòu)造三角形全等，將待求的線段放在同一個(gè)三角形

中。

舉一反三:A【變式1】已知:如圖，在RtAABC中,AB=AC,ZBAC=9

0°,N1=N2,CE_LBD的延長線于E,

求證:BD=2CE.

【答案】分別延長CE、BA交于F.A由于BE_LCF,所以NBEF二

NBEC=90°.A在ABEF和ABE

C中，

rZl=Z2,（己知）

,BE=BE,（公共邊）

1/B&F=NB￡C.（已證）

所以ABEF之△BEC（ASA）.

所以CE=FE=ELF.

又由于NBAC=90°,BE_LCF.

所以NBAC=NCAF=90°,N1+NBDA=

90°,N1+NBFC=90°.A所以N

BDA=ZBFC.A在AABD和AACF

卜胡C=ZC4F,（垂直定義）

<ABDA=ZBFC,（已證）

中A（已知）

所以AABD之AACF（AAS）

所以BD=CF.所以BD=2CE.

A5、如圖，AB=CD,BE=DF,NB=ND,

求證：(1)AE=CF,(2)AE〃CF,(3)NAFE=NCEFA思緒點(diǎn)撥:

(1)直接通過△ABEgACDF而得，⑵先證明NAEB=NCFD,(3)由

(1)(2)可證明4AEF之ZkCFE而得，總之，欲證兩邊(角)相等，找這兩邊(角)

所在的兩個(gè)三角形然后證明它們?nèi)?

解析:

(1)在4ABE與ZkCDF中

[AB=CD（已知）

,ZB=ZD（已證）

BE=DF（已知）a.'.AABE^ACDF（SAS）

,AE=CF（全等三角形相應(yīng)邊相等）A（2）AEB=NCFD（全等三

角形相應(yīng)角相等）

「.AE〃CF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）A（3）在4AEF與4CFE中A

AE=CF（己證）

ZAEF=ZCFE（己證）

EF=FE（公共邊）

.'.△AEF^ACFE（SAS）ANAFE=NCEF（全等三角形相應(yīng)角相

等）A總結(jié)升華:在復(fù)雜問題中，常將已知全等三角形的相應(yīng)角（邊）作為鑒定

另一對(duì)三角形全等的條件.

舉一反三：

【變式1】如圖，在aABC中，延長AC邊上的中線BD到F,使DF=BD,延長

AB邊上的中線CE到G,使EG=CE,求證AF=AG.

【答案】在

-AE=BE（已知）

-NAEG=NBEC（對(duì)頂角相等）

GE=CE（已知）

.,.△AGE^ABCE(SAS)

AG=BC（全等三角形相應(yīng)邊相等）

在△AFD與4CBD中

AD=CD（己知）

?4ZADF=ZCDB（對(duì)頂角相等）

FD=BD（已知）

AFD^ACBD（SAS）A：.AF=CB（全等三角形相應(yīng)邊

相等）

,--AF=AG（等量代換）

6、如圖AB=AC,8口，人0于口，CE_LAB于E,BD、CE相交于F.A

求證：AF平分NBAC.A思緒點(diǎn)撥：若能證得得AD=AE,由于NADB、

NAEC都是直角，可證得Rt^ADF絲Rt^AEF,而要證AD=AE,就應(yīng)先考慮Rt

△ABDRtAAEC,由題意已知AB=AC,NBAC是公共角，可證得RtZ\ABDg

RtAACE.

解析：在RtAABD與RtAACE中A

rZBAD=ZCAE（公共角）4

v<ZADB=ZAEC=90°（垂直的定義）D

AB=AC4,"L“\

C

RtAABD^RtAACE（AAS）A：.AD=AE（全等**

三角形相應(yīng)邊相等）

在RtAADF與RtAAEF中

rAF=AF（公共邊）

??<

AD=AE（己證）/.Rt△ADF^RtAAEF（HL）A

NDAF=NEAF（全等三角形相應(yīng)角相等）A???AF平分NBAC（角平分線

的定義）A總結(jié)升華:條件和結(jié)論互相轉(zhuǎn)化,有時(shí)需要通過多次三角形全等得

出待求的結(jié)論。A舉一反三:

【變式1】求證:有兩邊和其中一邊上的高相應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

【答案】根據(jù)題意，畫出圖形，寫出已知,求證.

A

已知：如圖，在AABC與AA'B'C，中.AB=A'B',BC=B'C',ADJLBC于D,

A'D'"LB'C'于D’且AD=A'D，

求證：△ABC四△A'B'C'

證明：在RtZkABD與RtZkA'B'D'中

=（已知）

??|AD=A，D、（已知）

.,.RtAABD絲RtZkA'B'

（HL）

，NB=NB'（全等三角形相應(yīng)角

相等）4在AABC與AA，B'C'中

（AB=A/By（已知）

?.?,NB=NB，（己證）

BC=B，C，（已知）

.,.△ABC^AAzB'C'（SAS）A【變式2】已知，如

圖,AC、BD相交于0,AC=BD,NC=ND=90°求證：OLODA【答案】

NC=ND=90°

「.△ABD、Z\ACB為直角三角形

fAB=AB（公用）

，D=AC（已知）A

在Rt^ABD和RtAABC中A

.,.RtAABD^RtAABC（HL）

「.AD=BC

在aAOD和△BOC中a

fZD=ZC（已知）

IZAOD=ZBOC（對(duì)頂角相等）

[AD=BC（己證）

.,.△AOD^ABOC（AAS）AOD=0C.7AA、/ABC

中，AB=AC,D是底邊BC上任意一點(diǎn)，DE±AB,DF±AC,CG,AB垂足分別

是E、F、G..

試判斷：猜測(cè)線段DE、DF、CG的數(shù)量有何關(guān)系？并證明你的猜想。

思緒點(diǎn)撥:尋求一題多解和多題一解是掌握規(guī)律的捷徑A解析:結(jié)論：DE+

DF=CGA方法一：（截長法）板書此種方法（3分鐘）

作DM_LCG于M

,/DEJLAB,CG±AB,DMJLCG

四邊形EDMG是矩牘DE=GM

DM//AB

NMDC=NBA,.?AB=AO

二.NB=NFCDANMDC=NFCD

而DM±CG,DF±AC

/.ZDMC=NCFDA在/MDC和/FCD中

、乙DMC=￡CFD

<AMDC=ZFCD

[DC=CD

.../MDC絲/FCD(AAS)

MC=DF

，DE+DF=GM+MC=CGA總結(jié)升華:

方法二（補(bǔ)短法）作CM，ED交ED的延長線于M（證明過程略）4

總結(jié)：截長補(bǔ)短的一般思緒,并由此可以引申到截長法有

兩種截長的想法

方法三（面積法）使用等積轉(zhuǎn)化A

引申：假如將條件"D是底邊BC上任意一點(diǎn)”改為“D是底邊BC的延長線

上任意一點(diǎn)”，此時(shí)圖形如何?DE、DF和CG會(huì)有如何的關(guān)系?畫出圖形，寫出

你的猜想并加以證明

舉一反三:A【變式1】三角形底邊上的任意一點(diǎn)到兩個(gè)腰上的距離和等

于腰上的高。

【答案】證明的過程使用三種證明方法，涉及：（1）截長法（2）補(bǔ)短法（3）

面積法

軸對(duì)稱

考點(diǎn)一、關(guān)于“軸對(duì)稱圖形”與"軸對(duì)稱"的結(jié)識(shí)

典例1,下列幾何圖形中,錯(cuò)誤!線段錯(cuò)誤!角錯(cuò)誤!直角三角形錯(cuò)誤!半圓，其中一定

是軸對(duì)稱圖形的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.正n邊形有條對(duì)稱軸,圓有_________________條對(duì)稱軸

考點(diǎn)二、軸對(duì)稱變換及用坐標(biāo)表達(dá)軸對(duì)稱

典例：1、如圖,Rt^ABC,ZC=9O°,NB=30°,BC=8,D為AB中點(diǎn)，

P為BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、DP,則AP+DP的最小值是

2、已知等邊ABC,E在BC的延長線上，CF平分NDCE,P

為射線BC上一點(diǎn)，Q為

圖（2）

CF上一點(diǎn),連接AP、PQ.若AP=PQ,求證NAPQ是多少度

考點(diǎn)四、線段垂直平分線的性質(zhì)

⑴線段是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是_____________________

（2）線段的垂直平分線上的點(diǎn)到____________________________相等歸類回

憶角平分線的性質(zhì)

⑴角是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是__________________⑵角平分線上的點(diǎn)到________

_________________________相等

典例1、如圖，“BC中,NA=9（r,BD為/ABC平分線，DE±BC,E是BC的中點(diǎn)，求

NC的度數(shù)。

2、如圖，△ABC中,AB=AC,PB=PC,連AP并延長交BC于D,求證：AD垂直平分

BC

3、如圖,DE是因ABC中AC邊的垂直平分線,若BC=8厘米AB=10厘米則因EBC

的周長為（）

A.16厘米B.18厘米C.26厘米D.28厘米

4、如圖,NBAC=30°,P是NBAC平分線上一點(diǎn)，PMIIAC,PD±AC,PD=28,則AM=

5、如圖，在RtaABC中，NACB=90°,NBAC的平分線交BC于D.過C點(diǎn)作C

G，AB于G,交AD于E.過D點(diǎn)作DFJ_AB于F.下列結(jié)

①/CED=NCDE；②|SMEC|：|S「EG=AC|：同；③〃DF=2/ECD;。

④SACQ=SMFB；⑤CE=DF.其中對(duì)的結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①③④B.①②⑤C.③④⑤D.①③⑤

考點(diǎn)五、等腰三角形的特性和辨認(rèn)

典例1、如圖,AABC中，AB=AC=8,D在BC上，過D作DE〃AB交AC于E,DF〃AC

交AB于F,則四邊形AFDE的周長為

A

2、如圖，△ABC中，BD、CD分別平分NABC與Z

且EFIIBC,若AB=7,BC=8,AC=6,則^AEF周長為（）

A.15B.14C.13D.18

3、如圖，點(diǎn)B、D、F在AN上，C、E在AM上，且

AB=BC=CD=ED=EF,NA=20。，貝！|/FEB=__________度.

4、已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40。，則它的一個(gè)底角的度數(shù)是一

5、MBC中，DF是AB的垂直平分線,交BC于D,EG是AC的垂直平分線,交BC于E,

若NDAE=20°，則NBAC等于°

6、從一個(gè)等腰三角形紙片的底角頂點(diǎn)出發(fā)，能將其剪成兩個(gè)等腰三角形紙片，則原等

腰三角形紙片的底角等于

7、已知，在"BC中,NACB=90°,點(diǎn)D、E在直線AB上，且AD=AC,BE=BC,則NDCE

=________________度.

DE±AB于點(diǎn)E,DF±AC于點(diǎn)F。試

9、如圖，E在MBC的AC邊的延長線上，D點(diǎn)在AB邊上，DE交BC于點(diǎn)F,

DF=EF,BD=CE.

求證:"BC是等腰三角形.C

E

考點(diǎn)六、等邊三角形的特性和辨認(rèn)

⑴等邊三角形的各____相等，各—相等并且每一個(gè)角都等于

（2）三個(gè)角相等的三角形是三角形⑶有一個(gè)角是60。的

三角形是等邊三角形

特別的：等邊三角形的中線、高線、角平分線______________________________

典例1、下列推理中，錯(cuò)誤的是（）

A.,.?NAn/BuNC,.'△ABC是等邊三角形B.：AB=AC,且NB=/C,.'△ABC是

等邊三角形

C.VZA=60°,ZB=60°,.,.△ABC是等邊三角形D.VAB=AC,ZB=60°,AAABC

是等邊三角形

2、如圖，等邊三角形ABC中，D是AC的中點(diǎn),E為BC延長線上一點(diǎn)且CE=CD,DM±

8（：,垂足為\1。

求證:M是BE的中點(diǎn)。

考點(diǎn)七、30。所對(duì)的直角邊是斜邊的一半

曲例

2、如圖:"DC中，ZA=15°,zD=90°,BAC

垂直平分線上,AB=34,則CD=()

A.15B.17

C.16D.以上全不對(duì)

3、一張折疊型方桌如圖甲，其主視圖如圖乙，已知A0=B0=40cm,C0=D0=30

cm,現(xiàn)將桌子放平，兩條桌腿叉開的角度NAOB剛

好為120。,求桌面到地面的距離是多少？

第4題圖

甲

4、DF，AC于F,NBAC=12(r,BC4

E

二6,則DE+DF二