高中數(shù)學-二元一次不等式（組）與平面區(qū)域教學設計學情分析教材分析課后反思

一、教材分析本節(jié)課是新教材必修5第三章3.3.1節(jié)的內(nèi)容，教學大綱對這部分內(nèi)容的要求是了解二元一次不等式表示平面區(qū)域，并會簡單的應用。這是《新大綱》中增加的新內(nèi)容，不僅為傳統(tǒng)的高中數(shù)學注入新鮮的血液，而且給學生提供了學數(shù)學、用數(shù)學的機會，體現(xiàn)了新課程理念。在此之前，學生已經(jīng)學習了直線的方程，已掌握二元一次方程與平面直線的對應關(guān)系，同時也學習了數(shù)形結(jié)合的思想方法。為研究二元一次不等式與平面區(qū)域的對應關(guān)系做了準備。這節(jié)內(nèi)容，是介紹直線方程的簡單應用（即簡單的線性規(guī)劃）的基礎，起到承前啟后的作用。二元一次不等式（組）與平面區(qū)域教學設計一、教材分析本節(jié)課是新教材必修5第三章3.3.1節(jié)的內(nèi)容，教學大綱對這部分內(nèi)容的要求是了解二元一次不等式表示平面區(qū)域，并會簡單的應用。這是《新大綱》中增加的新內(nèi)容，不僅為傳統(tǒng)的高中數(shù)學注入新鮮的血液，而且給學生提供了學數(shù)學、用數(shù)學的機會，體現(xiàn)了新課程理念。在此之前，學生已經(jīng)學習了直線的方程，已掌握二元一次方程與平面直線的對應關(guān)系，同時也學習了數(shù)形結(jié)合的思想方法。為研究二元一次不等式與平面區(qū)域的對應關(guān)系做了準備。這節(jié)內(nèi)容，是介紹直線方程的簡單應用（即簡單的線性規(guī)劃）的基礎，起到承前啟后的作用。二、教學目標分析1、知識目標：準確畫出二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域；2、能力目標：學生在學會知識的過程中，培養(yǎng)學生運用數(shù)學方法解決問題的能力，會準確地闡述自己的思路和觀點，著重培養(yǎng)學生的認知和元認知能力；3、情感目標：通過對新知識的構(gòu)建，優(yōu)化學生的思維品質(zhì)，通過自主探索、合作交流，增強數(shù)學的情感體驗，提高創(chuàng)新意識。三﹑教學的重點、難點1、教學重點：理解二元一次不等式的幾何意義。2、教學難點：能正確畫出給定的二元一次不等式（組）表示平面的區(qū)域。四、教法與學法指導及教學手段1、教學方法：引導發(fā)現(xiàn)法、探索討論法、題組教學法等；2、學法指導：這是一節(jié)抽象的概念作圖課，教師應注重創(chuàng)設認知情境，引導學生進行嘗試、猜想、證明、歸納，幫助學生在原有經(jīng)驗上對新知識主動建構(gòu)，在交流合作中學習。３、教學手段：采用坐標紙讓學生動手操作，利用多媒體技術(shù)優(yōu)化課堂教學。五、教學過程設計教學環(huán)節(jié)教學內(nèi)容師生互動說明一、創(chuàng)導設入情新境課1.建立二元一次不等式模型1）回憶、思考回憶：一元一次不等式（組）的解集所表示的圖形（2）回憶x2+y2<4以及x2+y2>4所表示的區(qū)域。思考：在直角坐標系內(nèi)，二元一次不等式（組）的解集表示什么圖形？師：大家回憶一下一元一次不等式所表示的圖形，以及x2+y2<4以及x2+y2>4所表示的區(qū)域。生：一元一次不等式可以在數(shù)軸上表示，x2+y2<4表示圓x2+y2=4內(nèi)的區(qū)域，x2+y2>4表示圓外的區(qū)域。創(chuàng)設情景，構(gòu)造問題懸念，激發(fā)興趣，明確學習目標，引出概念二，引入概念2.二元一次不等式和二元一次不等式組的定義（1）二元一次不等式：含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的不等式叫做二元一次不等式。（2）二元一次不等式組：有幾個二元一次不等式組成的不等式組稱為二元一次不等式組。（3）二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式（組）的x和y的取值構(gòu)成有序?qū)崝?shù)對（x,y），所有這樣的有序?qū)崝?shù)對（x,y）構(gòu)成的集合稱為二元一次不等式（組）的解集。師：剛才列出的不等式有什么特點？生：兩個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1.師:我們把這個不等式稱為什么?生:二元一次不等式師:這里有兩個二元一次不等式,所以這個式子稱為二元一次不等式組.師：二元一次不等式的解集具備什么條件？可以用什么來表示？生：用序?qū)崝?shù)對（x,y）明確概念,為探究實驗做準備三、猜構(gòu)想建探新索知三、猜構(gòu)想建探新索知3.探究二元一次不等式（組）的解集表示的圖形【共同探究】從特殊到一般：先研究具體的直線x+y-1=0將平面分成幾部分呢？如圖：在平面直角坐標系內(nèi)，x+y-1=0表示一條直線（學生在坐標紙上作圖）。平面內(nèi)所有的點被直線分成三類：直線上的點,直線右上方,直線左下方【學生嘗試】把剛才列出的點描在坐標系內(nèi)，觀察。直線上的點的坐標滿足x+y-1=0，那么直線兩側(cè)的點的坐標代入x+y-1中，也等于0嗎?先完成下表，再觀察有何規(guī)律呢？（-1,1）（2,1）（2,0）（-1,1）（2,1）（2,0）（2,2）（2,2）（-1,-1）（-1,-1）代入點的坐標（0,0）（1,1）代入點的坐標（0,0）（1,1）（-1,0（-1,0）x+y-1值的正負x+y-1值的正負【展示成果】坐標滿足x+y-1>0的點在直線的右上方坐標滿足x+y-1<0的點在直線的左下方【提問1】0xy0xy11x+y-1=0直線左下方的點坐標是否滿足x+y-1<0【探究實驗】利用幾何畫板【總結(jié)】x+y-1>0表示直線右上方的平面區(qū)域。x+y-1<0表示直線左下方的平面區(qū)域。x+y-1=0表示直線是兩區(qū)域的邊界?！疽话憬Y(jié)論】一般地，二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐標系中表示直線Ax+By+C＝0某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域。我們把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包含邊界直線；不等式Ax+By+C≥0所表示的平面區(qū)域，包括邊界直線，應把邊界直線畫成實線。【結(jié)論】直線同側(cè)點同號.師:x+y-1=0表示什么圖形?生:直線師:請同學們在坐標紙上作出這條直線.這條直線把直角坐標系上的點分成了幾類?如何描述生:三類,在直線上,直線的右上方,直線的左下方師:直線上x+y-1=0的點坐標一定滿足。請舉幾個例子。生:（1,0），（0，1），（2,-1），師：坐標滿足x+y-1>0的點有哪些呢？生：（1,1）,(2,0),(2,1),（2,2）師：坐標滿足x+y-1<0的點(0,0),(-1,0),(-1,1),（-1,-1）師：他們落在坐標平面內(nèi)的哪些區(qū)域呢？請你們把這些點描在你們所作出的坐標系內(nèi)。學生展示成果師：你們發(fā)現(xiàn)了點與直線的位置關(guān)系式怎樣的？生：（1,1）,(2,0),(2,1),（2,2）在直線的右上方；(0,0),(-1,0),(-1,1),（-1,-1）在直線的左下方師：直線右上方的點坐標是否滿足x+y-1>0？用幾何畫板做實驗生：直線的右上方的點坐標滿足x+y-1>0。師：x+y-1>0表示直線右上方的平面區(qū)域。x+y-1<0表示直線左下方的平面區(qū)域。x+y-1=0表示直線是兩區(qū)域的邊界。師：二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐標系中表示直線Ax+By+C＝0上方的區(qū)域嗎？生1:是；生2:不是。師：說不是的那位同學請你舉個例子。生：比如直線x-y-6＝0直線上方的點(0,0)，(1,0)使x-y-6<0直線下方的點(6,-1)使得x-y-6>0師：由此說明二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐標系中表示直線Ax+By+C＝0某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域。通過數(shù)學實驗，為感性認識上升為理性認識打好基礎。四﹑練習反饋4.練習反饋強調(diào)：直線Ax+By+C=0同一側(cè)的所有點(x，y)把它的坐標代入Ax+By+C所得到的實數(shù)符號相同，所以在直線某一側(cè)取一個特殊點(x0,y0)代入，從Ax0+By0+C的正負可以判斷出Ax+By+C>0表示哪一側(cè)的區(qū)域。例1畫出x+4y<4表示的平面區(qū)域解：先畫直線（畫成虛線）.取原點（0，0），代入+4y-4,∵0+4×0-4=-4＜0,∴原點在表示的平面區(qū)域內(nèi)，不等式表示的區(qū)域如圖：歸納：畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域常采用“直線定界，特殊點定域”的方法。特殊地，當時，常把原點作為此特殊點。變式1、畫出不等式表示的平面區(qū)域。變式2、畫出不等式所表示的平面區(qū)域。概括：“直線定界，取點定域”，特別地，當C≠0時，常把原點作為特殊點。師：直線Ax+By+C=0同一側(cè)的所有點(x，y)把它的坐標代入Ax+By+C所得到的實數(shù)符號相同，所以在直線某一側(cè)取一個特殊點(x0,y0)代入，從Ax0+By0+C的正負可以判斷出Ax+By+C>0表示哪一側(cè)的區(qū)域。生：畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域常采用“直線定界，特殊點定域”的方法。特殊地，當時，常把原點作為此特殊點。通過練習，加強學生的認知結(jié)構(gòu)，得到規(guī)律，概括為口訣，便于操作。五，探索新知五，探索新知5.探索新知【例題示范１】（利用口訣“直線定界，取點定域”）畫出不等式2x+y－6<0表示的平面區(qū)域。（強調(diào)畫圖規(guī)范和注意點）變式一：指出不等式-2x+y－6<0表示的平面區(qū)域；變式二：指出不等式2x－y－6≥0表示的平面區(qū)域；變式三：指出不等式-2x－y－6≥0表示的平面區(qū)域?！?guī)律：一般地，二元一次不等式Ax+By+C>0(A不等于0）當A>0時，Ax+By+C>0表示平面區(qū)域在直線Ax+By+C=0的右方，Ax+By+C<0表示平面在直線Ax+By+C=0的左方。概括：“系數(shù)化正、左小右大”，系數(shù)指x前系數(shù)A，“左（右）”指平面區(qū)域的左（右）方，“?。ù螅敝覆坏仁降男∮冢ù笥冢┨枴！纠}示范２】畫出不等式組表示的平面區(qū)域。變式一：用二元一次不等式組表示下列平面區(qū)域；變式二：能畫出不等式表示的平面區(qū)域嗎？引申：能畫出不等式表示的平面區(qū)域嗎？師：從上面判斷過程中能得到什么新規(guī)律，使區(qū)域的判斷更方便呢？生：從不等號方向和A的正負考慮生：一般地，二元一次不等式Ax+By+C>0(A不等于0）當A>0時，Ax+By+C>0表示平面區(qū)域在直線Ax+By+C=0的右方，Ax+By+C<0表示平面在直線Ax+By+C=0的左方。給學生提供活動的時（思維時間）空（思維空間），通過問題變式，重組學生的認知結(jié)構(gòu)，從而得到規(guī)律，概括為口訣，便于操作。六、小作結(jié)業(yè)提布煉置一，（思考、討論得出小結(jié)，教師作適當?shù)难a充）1、這節(jié)課學習的主要內(nèi)容是什么？2、如何理解口訣“直線定界，取點定域”和“系數(shù)化正，左小右大”。3、請同學們認真總結(jié)在探索和交流中的體會。二，1、課本P93習題3.3第1,2題。2、選做題：求不等式表示的平面區(qū)域的面積。3、預習第二課時。培養(yǎng)學生自主學，合作交流的學習方式，培養(yǎng)探究能力板書課題：§3.3.11﹑定義2、用二元一次不等式表示平面區(qū)域3、判斷方法：注意事項…講解示范例一…例二…練習1練習二…學生板演反映教材的重點、難點知識，體現(xiàn)教學意圖。教學反思二元一次不等式（組）與平面區(qū)域，它是對二元一次不等式的深化和再認識、再理解。它是用數(shù)學知識解決實際問題，屬于數(shù)學建模，是初等數(shù)學中較抽象的，對學生要求較高，又是必須予以掌握的內(nèi)容。本節(jié)課是以二元一次不等式(組)所表示的平面區(qū)域和線性規(guī)劃的圖解法等知識為基礎，體現(xiàn)了數(shù)學的工具性、應用性，同時也滲透了轉(zhuǎn)化、歸納、數(shù)形結(jié)合數(shù)學思想。2．學生解數(shù)學應用題的最常見困難是不會將實際問題提煉成數(shù)學問題，即不會建模，故本設計把“實際問題抽象轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題”作為本堂課的重難點，并緊緊圍繞如何引導學生根據(jù)實際問題的已知條件，找出約束條件和目標函數(shù)，然后利用圖解法求得最優(yōu)解作為突破難點的關(guān)鍵．在探究如何求目標函數(shù)的最值時，讓學生領悟數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想在數(shù)學中的應用。在學習二元一次不等式（組）之前，學生已經(jīng)學習了一元一次不等式和一元二次不等式，以及圓上、圓內(nèi)、圓外等。對函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系以及數(shù)形結(jié)合的思想方法的運用有了一定的體會。而且學生已經(jīng)對直線的方程、一元一次不等式組的解集掌握的比較好。這些都為研究二元一次不等式（組）的解集與平面區(qū)域的對應關(guān)系做了準備。但是，學生的認知困難我認為有以下三個方面：(1).學生對二元一次不等式（組）初次接觸，很難想到平面區(qū)域這種幾何表示。(2).對于具體的二元一次不等式，學生很難設計出探究層次(3).對一般的二元一次不等式的平面區(qū)域這種表示，學生缺乏直觀感知?！岸淮尾坏仁剑ńM）與平面區(qū)域”在不等式、直線方程后學習，它既是這兩部分內(nèi)容的延伸和交匯，又是圖解法解決線性規(guī)劃的基礎；同時，在探求問題的過程中可以培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法。本課從實際情境引入，通過對實際情境分析，引發(fā)出所要研究的問題；進而通過師生互動，特別是在教師有計劃引導下，學生主動探究，歸納得出結(jié)論；之后，通過例題、練習進行運用、理解，最后師生共同反思，對所學習內(nèi)容進行概括、升華。這個設計既體現(xiàn)本課數(shù)學內(nèi)容的生成過程，又與學生的認知過程相吻合，充分體現(xiàn)課改的基本理念。本課教學過程充分關(guān)注在教師引導下，學生的主動學習、主動探究、主動反思。在教學過程中，注意設計恰當?shù)奶釂?，引領學生思考。充分進行師生互動，在數(shù)學活動中建立數(shù)學，解決問題。同時，教師講解透徹，對數(shù)學本質(zhì)揭示清楚。教師富于啟發(fā)的語言與學生深入的探究，使課改與傳統(tǒng)教學融于一體。教師能把傳統(tǒng)教學中的“板書、板演、對答、展示等”行之有效的教學方法與現(xiàn)代信息技術(shù)等有機結(jié)合，發(fā)揮兩者的最佳效益，又回避兩者的不足。在使用信息技術(shù)方面尤其恰到好處，使信息技術(shù)成為學生實驗、探究、操作的工具，引導學生通過技術(shù)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學、建立數(shù)學。課堂錄象表明，教學效果是比較好的。在選擇問題情境時，關(guān)鍵是問題情景與所研究的問題能否匹配，不一定要追逐時尚。如何恰當處理歸納與演繹，特殊與一般的關(guān)系，對于學生認識、理解數(shù)學非常關(guān)鍵。課堂教學過程中，問題的設計是十分重要的，但每節(jié)課的問題應成為一個整體的問題串，這樣，學生的思維才具有整體性、系統(tǒng)性?！抖淮尾坏仁剑ńM）與平面區(qū)域》是人教A版必修5第三章不等式的一節(jié)內(nèi)容。本節(jié)內(nèi)容是本章重點研究的第二種數(shù)學模型；是學好線性規(guī)劃問題的基礎；也是培養(yǎng)學生推理能力和滲透數(shù)形結(jié)合思想的重要素材。本節(jié)教材的編寫注重從實際背景中抽象出二元一次不等式（組）這一數(shù)學模型，使學生感受到數(shù)學源于生活，激發(fā)學生的探究欲望，發(fā)展學生的觀察、歸納、概括能力。二元一次不等式（組）與平面區(qū)域，它是對二元一次不等式的深化和再認識、再理解。它是用數(shù)學知識解決實際問題，屬于數(shù)學建模，是初等數(shù)學中較抽象的，對學生要求較高，又是必須予以掌握的內(nèi)容。1．本節(jié)課是以二元一次不等式(組)所表示的平面區(qū)域和線性規(guī)劃的圖解法等知識為基礎，體現(xiàn)了數(shù)學的工具性、應用性，同時也滲透了轉(zhuǎn)化、歸納、數(shù)形結(jié)合數(shù)學思想。2．學生解數(shù)學應用題的最常見困難是不會將實際問題提煉成數(shù)學問題，即不會建模，故本設計把“實際問題抽象轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題”作為本堂課的重難點，并緊緊圍繞如何引導學生根據(jù)實際問題的已知條件，找出約束條件和目標函數(shù)，然后利用圖解法求得最優(yōu)解作為突破難點的關(guān)鍵．在探究如何求目標函數(shù)的最值時，讓學生領悟數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想在數(shù)學中的應用。一、基礎題目1．不在3x＋2y＜6表示的平面區(qū)域內(nèi)的點是()A．(0,0) B．(1,1)C．(0,2) D．(2,0)2．不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0,x＋y≥0,2≤x≤3))表示的平面區(qū)域是一個()A．三角形 B．直角梯形C．梯形 D．矩形3．原點O(0,0)與點集A＝{(x，y)|x＋2y－1≥0，y≤x＋2,2x＋y－5≤0}的關(guān)系是________，點M(1,1)與集合A的關(guān)系是________．4．畫出下列不等式組表示的平面區(qū)域：(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－2y－2＞0，,x－2y－5≤0；))Xkb1.com(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y≥0，,x＋3y－3＜0.))二、提高題目一、選擇題1．圖中表示的區(qū)域滿足不等式()A．2x＋2y－1＞0 B．2x＋2y－1≥0C．2x＋2y－1≤0 D．2x＋2y－1＜02．不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥2,x－y＋3≤0))表示的平面區(qū)域是下列圖中的()3．如圖陰影部分用二元一次不等式組表示為()A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤2，,2x－y＋4≥0))B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤y≤2,x≤0,2x－y＋4≥0))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤2，,x≤0,2x－y＋4≥0))D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤y≤2,2x－y＋4≤0,x≤0))4．設點P(x，y)，其中x，y∈N，則滿足x＋y≤3的點P的個數(shù)為()A．10B．9C．3D．無數(shù)5．已知點(－3,1)和(0，－2)在直線x－y－a＝0的一側(cè)，則a的取值范圍是()A．(－2,4) B．(－4,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)6．在平面直角坐標系中，若不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0,x－1≤0,ax－y＋1≥0))(a為常數(shù))所表示的平面區(qū)域的面積等于2，則a的值為()A．－5 B．1C．2 D．3 二、填空題7．下面四個點中，位于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1＜