中國礦業(yè)大學(xué)周圣武概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章隨機(jī)變量及其分布

第二章隨機(jī)變量及其分布

一、隨機(jī)變量

二、離散型隨機(jī)變量及其分布三、隨機(jī)變量的分布函數(shù)

四、連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布五、隨機(jī)變量的函數(shù)的分布當(dāng)前第1頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)為了更方便地從數(shù)量方面研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)實(shí)數(shù)對應(yīng)起來，將隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化。律，引入隨機(jī)變量的概念，即將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與當(dāng)前第2頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)第一節(jié)隨機(jī)變量隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生引入隨機(jī)變量的意義隨機(jī)變量的分類當(dāng)前第3頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)一、隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生在實(shí)際問題中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用數(shù)量來表示，由此就產(chǎn)生了隨機(jī)變量的概念.當(dāng)前第4頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)1.有些試驗(yàn)結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一個(gè)數(shù)）.例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；四月份哈爾濱的最高溫度；每天進(jìn)入一號樓的人數(shù)；昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)；當(dāng)前第5頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)2.在有些試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果看來與數(shù)值無關(guān)，但我們可以引進(jìn)一個(gè)變量來表示它的各種結(jié)果.也就是說，把試驗(yàn)結(jié)果數(shù)值化.正如裁判員在運(yùn)動場上不叫運(yùn)動員的名字而叫號碼一樣，二者建立了一種對應(yīng)關(guān)系.

當(dāng)前第6頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)這種對應(yīng)關(guān)系數(shù)學(xué)上理解為定義了一種實(shí)值單值函數(shù).e.X(e)R定義1設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間在Ω上的實(shí)值單值函數(shù)，稱是定義為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量的定義(簡記為r.v.)

把樣本點(diǎn)發(fā)生的概率轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量取得某個(gè)數(shù)字的概率，一般事件發(fā)生的概率轉(zhuǎn)化為數(shù)字集合的概率。樣本點(diǎn)←→數(shù)字當(dāng)前第7頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)隨機(jī)變量定義在樣本空間Ω上,定義域可以是數(shù)也可以不是數(shù)；而普通函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)域上的。2.隨機(jī)變量函數(shù)的取值在試驗(yàn)之前無法確定,有一定的概率；而普通函數(shù)卻沒有。隨機(jī)變量函數(shù)和普通函數(shù)的區(qū)別1.定義域不同這種實(shí)值函數(shù)與在高等數(shù)學(xué)中大家接觸到的函數(shù)不一樣！當(dāng)前第8頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)

而表示隨機(jī)變量所取的值時(shí),一般采用小寫字母

x,y,z,u,v,w等.隨機(jī)變量通常用大寫字母X,Y,Z,U,V,W等表示當(dāng)前第9頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)

有了隨機(jī)變量,隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件，就可以通過隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來.二、引入隨機(jī)變量的意義如：單位時(shí)間內(nèi)某電話交換臺收到的呼叫次數(shù)用X表示，它是一個(gè)隨機(jī)變量.

事件{收到不少于1次呼叫}{沒有收到呼叫}{X1}{X=0}

當(dāng)前第10頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)隨機(jī)變量非離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量其它三、隨機(jī)變量的分類我們將研究兩類隨機(jī)變量：如“取到次品的個(gè)數(shù)”，“收到的呼叫數(shù)”等.隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量例如，“電視機(jī)的壽命”，實(shí)際中常遇到的“測量誤差”等.當(dāng)前第11頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)這兩種類型的隨機(jī)變量因?yàn)槎际请S機(jī)變量，自然有很多相同或相似之處；但因其取值方式不同，又有其各自的特點(diǎn).學(xué)習(xí)時(shí)請注意它們各自的特點(diǎn)和描述方法.當(dāng)前第12頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)例1對一均勻硬幣拋一次，觀察正反面情況。設(shè)為隨機(jī)變量。即事件A：結(jié)果出現(xiàn)正面，樣本空間同理當(dāng)前第13頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)例2測量某工廠一天生產(chǎn)燈泡的壽命。樣本空間設(shè)，其中，則X為隨機(jī)變量。壽命表示一事件A，例如例3某戰(zhàn)士射擊命中率為

,設(shè)首次擊中目標(biāo)所需射擊

次數(shù)為,則隨機(jī)變量當(dāng)前第14頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)解例4一報(bào)童賣報(bào)，每份0.15元，其成本為0.10元.報(bào)館每天給報(bào)童1000份報(bào)，并規(guī)定他不得把賣不出的報(bào)紙退回.設(shè)X為報(bào)童每天賣出的報(bào)紙份數(shù)，試將報(bào)童賠錢這一事件用隨機(jī)變量的表達(dá)式表示.當(dāng)0.15X<1000×0.1時(shí)，報(bào)童賠錢故{報(bào)童賠錢}{X666}{報(bào)童賠錢}{賣出的報(bào)紙錢不夠成本}當(dāng)前第15頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件.引入隨機(jī)變量后，對隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究，就由對事件及事件概率的研究擴(kuò)大為對隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究.事件及事件概率隨機(jī)變量及其取值規(guī)律當(dāng)前第16頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)第二節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布一、離散型隨機(jī)變量的定義二、常用的離散型隨機(jī)變量當(dāng)前第17頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)

從中任取3個(gè)球取到的白球數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量.(1)X可能取的值是0,1,2;

(2)取每個(gè)值的概率分別為看一個(gè)例子：一、離散型隨機(jī)變量分布律的定義定義1若隨機(jī)變量X的所有可能取值是有限多個(gè)或可列無限多個(gè),則稱X為離散型隨機(jī)變量.當(dāng)前第18頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)其中(k=1,2,…)滿足：

k=1,2,…（1）（2）定義2設(shè)

xk(k=1,2,…)是離散型隨機(jī)變量X所取的一切可能值，稱為離散型隨機(jī)變量X

的分布律.用這兩條性質(zhì)判斷一個(gè)函數(shù)是否是分布律當(dāng)前第19頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)解依據(jù)分布律的性質(zhì)P{X=k}≥0,

a≥0,從中解得即例2設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：k=0,1,2,…,試確定常數(shù)a.當(dāng)前第20頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)離散型隨機(jī)變量表示方法（1）公式法（2）列表法X當(dāng)前第21頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)例1某籃球運(yùn)動員投中籃圈概率是0.9，求他兩次獨(dú)立投籃投中次數(shù)X的概率分布.解X的可取值為0,1,2;

P{X=0}=(0.1)(0.1)=0.01

P{X=1}=2(0.9)(0.1)=0.18

P{X=2}=(0.9)(0.9)=0.81常常表示為：

X這就是X的分布律.當(dāng)前第22頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)例2

設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過三盞信號燈，每盞信號燈以概率允許汽車通過,變量表示汽車停車次數(shù)(設(shè)各信號燈的工作是相互獨(dú)立的）,求的分布律。解由題意可知的分布律為，則當(dāng)前第23頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)將帶入可得的分布律為當(dāng)前第24頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)例3設(shè)一均勻的硬幣拋三次為一次試驗(yàn)，為正面出現(xiàn)的次數(shù)，求隨機(jī)變量的分布律。解Ω={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}則當(dāng)前第25頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)例4設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，其分布律為：Xp-1011/21-2qq2解

當(dāng)前第26頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到命中為止，解顯然，X可能取的值是1,2,…，

P{X=1}=P(A1)=p,為計(jì)算

P{X=k}，

k=1,2,…，Ak={第k次命中}，k=1,2,…，設(shè)于是已知他每發(fā)命中的概率是p，求射擊次數(shù)X的分布列.例5

當(dāng)前第27頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)可見這就是所求射擊次數(shù)X的分布律.若隨機(jī)變量X的分布律如上式，不難驗(yàn)證:幾何分布.則稱X服從當(dāng)前第28頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)Ⅰ.(0—1)分布定義1.如果隨機(jī)變量的分布律為則稱服從參數(shù)為的(0—1)分布。即或二、常用的離散型隨機(jī)變量及其分布（0—1）分布的分布律也可寫成當(dāng)前第29頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)

注

服從（0—1）分布的隨機(jī)變量很多，如果涉及的試驗(yàn)只有兩個(gè)互斥的結(jié)果：，都可在樣本空間上定義一個(gè)服從（0—1）分布的隨機(jī)變量：當(dāng)前第30頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)下面我們將介紹一個(gè)重要的離散型隨機(jī)變量的分布---------二項(xiàng)分布當(dāng)前第31頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)1.伯努利概型（概率論中最早研究的模型之一，也是研究最多的模型之一，在理論上一些重要的結(jié)果也由它推導(dǎo)）①n重獨(dú)立試驗(yàn)在相同的條件下對試驗(yàn)E重復(fù)做n次，若n次試驗(yàn)中各結(jié)果是相互獨(dú)立的，則稱這n次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的。Ⅱ.二項(xiàng)分布“重復(fù)”是指這n次試驗(yàn)中P(A)=p保持不變.“獨(dú)立”是指各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響.當(dāng)前第32頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)②伯努利概型設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E只有兩種可能結(jié)果，且將試驗(yàn)E獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次，則稱這n次試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn)，或稱n重伯努利概型。擲骰子：“擲出4點(diǎn)”，“未擲出4點(diǎn)”抽驗(yàn)產(chǎn)品：“是正品”，“是次品”一般地，設(shè)在一次試驗(yàn)E中我們只考慮兩個(gè)互逆的結(jié)果：A

或.這樣的試驗(yàn)E稱為伯努利試驗(yàn)

.當(dāng)前第33頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)2.二項(xiàng)分布引例：某人打靶單發(fā)命中率為現(xiàn)獨(dú)立重復(fù)射擊3次，求恰好命中2發(fā)的概率。解表示“第i次命中”表示“恰好命中兩次”由此可得：n重伯努利試驗(yàn)中,“事件恰好發(fā)生k次”,即的概率為當(dāng)前第34頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)定義2如果隨機(jī)變量的分布律為則稱服從參數(shù)為的二項(xiàng)分其中布，記為容易驗(yàn)證二項(xiàng)式定理特別,當(dāng)時(shí),二項(xiàng)分布為這就是（0-1）分布，常記為當(dāng)前第35頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)3.二項(xiàng)分布的分布形態(tài)若，則由此可知，二項(xiàng)分布的分布律(右圖)先是隨著到其最大值后再隨著的增大而減小.這個(gè)使得達(dá)到其最大值的稱為該二項(xiàng)分布的最可能次數(shù)。的增大而增大,達(dá)當(dāng)前第36頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)當(dāng)(n+1)p不為整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)概率P{X=k}在k=[(n+1)p]達(dá)到最大值；n=10,p=0.7kpk當(dāng)(n+1)p為整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)概率P{X=k}在

k=(n+1)p和

k=(n+1)p-1處達(dá)到最大值.n=13,p=0.5pkk0當(dāng)前第37頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)二項(xiàng)分布的取值情況設(shè).039.156.273.273.179.068.017.0024.00000123456780.273?由圖表可見,當(dāng)

時(shí)，分布取得最大值此時(shí)的稱為最可能成功次數(shù)xP?0?1?2?3?4?5?6?7?8當(dāng)前第38頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)設(shè).01.06.14.21.22.18.11.06.02.01.002<.00101234567891011~20??xP?????1?3?5?7?9????0?2?4?6?8?10?20由圖表可見,當(dāng)時(shí)，分布取得最大值0.22?當(dāng)前第39頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)當(dāng)前第40頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)表示所取的3個(gè)中的次品數(shù)，，于是所求概率為解設(shè)注若將本例中的“有放回”改為“無放回”，那么各次試驗(yàn)條件就不同了，不是伯努利概型，此時(shí)只能用古典概型求解.例4已知100個(gè)產(chǎn)品中有5個(gè)次品，現(xiàn)從中有放回地取3次，每次任取1個(gè)，求所取3個(gè)中恰有2個(gè)次品的概率。當(dāng)前第41頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)古典概型與伯努利概型不同，有何區(qū)別？請思考：伯努利概型對試驗(yàn)結(jié)果沒有等可能的要求，（1）每次試驗(yàn)條件相同；（2）每次試驗(yàn)只考慮兩個(gè)互逆結(jié)果且（3）各次試驗(yàn)相互獨(dú)立.但有下述要求：當(dāng)前第42頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)例5一大批產(chǎn)品中一級品率為0.2，現(xiàn)隨機(jī)抽查20只，問20只元件中恰好有為一級品的概率為多少？解設(shè)表示20只元件中為一級品的只數(shù)，這個(gè)試驗(yàn)可以看作伯努利試驗(yàn)。當(dāng)前第43頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)例6某人射擊命中率為0.02，獨(dú)立射擊400次，試求至少擊中2次的概率？解設(shè)表示擊中的次數(shù)，則所以分布律則所求概率本例題的實(shí)際意義：當(dāng)前第44頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)①

不可忽視小概率事件，小概率事件雖不易發(fā)生，但重復(fù)次數(shù)多了，就成大概率事件.②反過來看，如果一個(gè)人射擊400次，擊中竟不到兩次，由于很小，故懷疑“命中率0.02”是否為真，即他的命中率不到0.02。當(dāng)前第45頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)例如：設(shè)發(fā)行的彩票中獎率是0.001，假定發(fā)行的彩票數(shù)量巨大，以至于不論別人是否中獎均不會改變你抽獎時(shí)的中獎率。求買n張彩票能中獎的概率pn。此外由于中獎率是千分之一，問買1000張彩票中獎概率是否接近于1？彩票中獎問題解

設(shè)表示n張彩票中中獎的票數(shù)，則即當(dāng)前第46頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)則n張彩票能中獎的概率為n10002000300040005000pn0.6320.8650.9500.9820.993買3000張彩票中獎率已達(dá)到95%，再多買2000張中獎的概率僅增加了4.3%！當(dāng)前第47頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)例如：保險(xiǎn)公司有10000人參加人身意外保險(xiǎn)。該公司規(guī)定：每人每年付公司120元，若意外死亡，公司將賠償10000元。若每人每年意外死亡率為0.006，試討論該公司是否會虧本，其利潤狀況如何。人身保險(xiǎn)問題分析：公司收入為120×10000=120萬元解設(shè)表示10000人中意外死亡的人數(shù)，則即公司虧本意味著：死亡人數(shù)超過了120人。當(dāng)前第48頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)則公司虧本的概率為解設(shè)表示10000人中意外死亡的人數(shù)，則即公司幾乎不會虧本!！當(dāng)前第49頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)該公司利潤不少于40萬元的概率為公司的利潤狀況解設(shè)表示10000人中意外死亡的人數(shù)，則即公司盈利幾乎是必然的!！當(dāng)前第50頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)由此可見日常生活中“提高警惕,防火防盜”的重要性.由于時(shí)間無限,自然界發(fā)生地震、海嘯、空難、泥石流等都是必然的，早晚的事，不用奇怪，不用驚慌.同樣,人生中發(fā)生車禍、失戀、患絕癥、考試不及格、炒股大虧損等都是正常現(xiàn)象,大可不必怨天尤人,更不要想不開。當(dāng)前第51頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)例780臺同類型設(shè)備，各臺工作相互獨(dú)立，發(fā)生故障的概率，有兩種配備維修工人的方法：①4個(gè)人每人負(fù)責(zé)20臺；②3個(gè)人共同負(fù)責(zé)80臺。問那種方案好?(比較發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率)解

設(shè)表示“第一個(gè)人維護(hù)的20臺中同時(shí)發(fā)生故障的臺數(shù)”，表示“第i個(gè)人維護(hù)的20臺中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修”，由題意可得當(dāng)前第52頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)①第一個(gè)人維護(hù)的20臺中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率為4個(gè)人維護(hù)的80臺中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率當(dāng)前第53頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)②設(shè)表示“80臺同時(shí)發(fā)生故障的臺數(shù)”則3人維護(hù)的80臺中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率總之即第②種方案的工作效率高。當(dāng)前第54頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)定理1（泊松Poisson定理)設(shè)是一常數(shù)，n是正整數(shù)，若，則對任一固定的非負(fù)整數(shù)證

由得當(dāng)前第55頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)對于任意固定的故有當(dāng)前第56頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)注：①②麥克勞林級數(shù)當(dāng)前第57頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)定義1

設(shè)隨機(jī)變量所有可能取的值為0,1,2,…,而且概率分布為：Ⅲ.泊松分布其中，則稱服從參數(shù)為的泊松分布，記注

二項(xiàng)分布是最重要的離散型概率分布之一，當(dāng)時(shí)，即為（0—1）分布；當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)分布近似于泊松分布。當(dāng)前第58頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)泊松分布的圖形特點(diǎn)：當(dāng)前第59頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)當(dāng)n

很大，p很小時(shí)，泊松定理表明

泊松分布是二項(xiàng)分布的極限分布，參數(shù)=np的泊松分布二項(xiàng)分布就可近似看成是當(dāng)前第60頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)在實(shí)際計(jì)算中,當(dāng)n

20,p0.05時(shí),可用上述公式近似計(jì)算;而當(dāng)n

100,np10時(shí),精度更好

00.3490.3580.3690.366

0.368

10.3050.3770.3720.3700.368

20.1940.1890.1860.1850.184

30.0570.0600.0600.0610.061

40.0110.0130.0140.0150.015按二項(xiàng)分布Possion

公式

k

n=10

p=0.1n=20p=0.05n=40p=0.025n=100p=0.01=np=1

當(dāng)前第61頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)設(shè)某國每對夫婦的子女?dāng)?shù)X服從參數(shù)為的泊解由題意,求任選一對夫婦,至少有3個(gè)孩子的概率。松分布,且知一對夫婦有不超過1個(gè)孩子的概率為3e-2.例1當(dāng)前第62頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)例2某城市有1%色盲者，問從這個(gè)城市里選出多少人才能使里面至少有一位色盲患者的概率不少于0.95？解設(shè)選出n個(gè)人，n人中色盲患者為則兩邊取對數(shù)所以得當(dāng)前第63頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)有產(chǎn)品15000件，其中次品150件，今抽取100件，求有2件是次品的概率。解法1

超幾何分布解法2

二項(xiàng)分布為次品率，X~b(100,0.01)解法3

泊松分布例3當(dāng)前第64頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)近數(shù)十年來，泊松分布日益顯示其重要性,成為概率論中最重要的幾個(gè)分布之一。泊松分布在管理科學(xué)、運(yùn)籌學(xué)以及自然科學(xué)的某些問題中都占有重要的地位。泊松分布的應(yīng)用當(dāng)前第65頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)在某個(gè)時(shí)段內(nèi)：大賣場的顧客數(shù)；某地區(qū)撥錯(cuò)號的電話呼喚次數(shù)；市級醫(yī)院急診病人數(shù)；某地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數(shù).①②③④⑤一個(gè)容器中的細(xì)菌數(shù)；一本書一頁中的印刷錯(cuò)誤數(shù)；一匹布上的疵點(diǎn)個(gè)數(shù)；⑥⑦⑧應(yīng)用場合放射性物質(zhì)發(fā)出的粒子數(shù)；當(dāng)前第66頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)解

(1)設(shè)需要配備N個(gè)維修工人,設(shè)X為90臺設(shè)備中發(fā)生故障的臺數(shù)，則X~b(90,0.01)

設(shè)同類型設(shè)備90臺，每臺工作相互獨(dú)立，每臺設(shè)備發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下，一臺設(shè)備發(fā)生故障可由一個(gè)人獨(dú)立維修，每人同時(shí)也只能維修一臺設(shè)備.問至少要配備多少維修工人，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率小于0.01?(2)問3個(gè)人共同負(fù)責(zé)90臺還是3個(gè)人各自獨(dú)立負(fù)責(zé)30臺設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí)維修的概率低？附例當(dāng)前第67頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)令則查附表3得N=4當(dāng)前第68頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)三個(gè)人共同負(fù)責(zé)90臺設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí)維修的概率為當(dāng)前第69頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)設(shè)30臺設(shè)備中發(fā)生故障的臺數(shù)為

Y

~b(30,0.01)設(shè)每個(gè)人獨(dú)立負(fù)責(zé)30臺設(shè)備，第i個(gè)人負(fù)責(zé)的30臺設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí)維修為事件Ai

則三個(gè)人各獨(dú)立負(fù)責(zé)30臺設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí)維修為事件故

三個(gè)人共同負(fù)責(zé)90臺設(shè)備比各自負(fù)責(zé)好！當(dāng)前第70頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)作業(yè)P57：4,5，6當(dāng)前第71頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)一、分布函數(shù)的概念二、分布函數(shù)的性質(zhì)第三節(jié)隨機(jī)變量的分布函數(shù)

當(dāng)前第72頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)為X的分布函數(shù)。記作設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，定義1是任意實(shí)數(shù)，稱函數(shù)的值就表示X落在區(qū)間上的概率.分布函數(shù)一、分布函數(shù)的概念當(dāng)前第73頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)

由定義，對任意實(shí)數(shù)上的概率，用F(x)刻畫隨機(jī)點(diǎn)落在功能式區(qū)間由于得同理，還可以寫出當(dāng)前第74頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)因此，只要知道了隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，它的統(tǒng)計(jì)特性就可以得到全面的描述.當(dāng)前第75頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)分布函數(shù)是一個(gè)普通的函數(shù)，正是通過它，我們可以用高等數(shù)學(xué)的工具來研究隨機(jī)變量.當(dāng)前第76頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)當(dāng)

x<0時(shí)，{X

x}=，故

F(x)=0例1設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為當(dāng)0x<1時(shí)，

F(x)=P{X

x}=P{X=0}=F(x)=P{X

x}解X求X的分布函數(shù)F(x).當(dāng)前第77頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)當(dāng)1x<2時(shí)，

F(x)=P{X=0}+P{X=1}=+=當(dāng)

x2時(shí)，

F(x)=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1當(dāng)前第78頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)故注意右連續(xù)下面我們從圖形上來看一下.當(dāng)前第79頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)的分布函數(shù)圖當(dāng)前第80頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)解

(1)①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，則例2設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為求(1)X

的分布函數(shù)；(2)當(dāng)前第81頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)③當(dāng)時(shí)，則④當(dāng)時(shí)，為必然事件，則所以離散型的分布函數(shù)為階梯函數(shù)；xk為間斷點(diǎn)；當(dāng)前第82頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)(2)當(dāng)前第83頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布律為由概率的可列可加性得的分布函數(shù)為當(dāng)前第84頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)二、分布函數(shù)的性質(zhì)⑴單調(diào)不減性：⑶右連續(xù)性：對任意實(shí)數(shù)⑵歸一性：對任意實(shí)數(shù)，且，則具有上述三個(gè)性質(zhì)的實(shí)函數(shù)，必是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。故該三個(gè)性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)。當(dāng)前第85頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)試說明F(x)能否是某個(gè)r.v

的分布函數(shù).例2

設(shè)有函數(shù)

F(x)

解

注意到函數(shù)

F(x)在

上下降，不滿足性質(zhì)(1)，故F(x)不能是分布函數(shù).不滿足性質(zhì)(2)，可見F(x)也不能是r.v

的分布函數(shù).或者當(dāng)前第86頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)解例3已知，求A、B。所以當(dāng)前第87頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)例4

已知離散型隨機(jī)變量X

的分布函數(shù)為求X的分布律。解

X的可能取值為3，4，5。當(dāng)前第88頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)所以X的分布律為當(dāng)前第89頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)例5已知X

表示彈著點(diǎn)與靶心的距離，⑴擊中靶上任一同心圓盤上點(diǎn)的概率與該圓盤面積成正比；⑵靶子半徑是2米；⑶每次射擊都中靶。求X的分布函數(shù)F(x)。解因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不可能發(fā)生，當(dāng)時(shí)，X當(dāng)前第90頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)由當(dāng)時(shí)，總之X的分布函數(shù)為當(dāng)前第91頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)引出連續(xù)型隨機(jī)變量的特點(diǎn)：⑴F(x)是連續(xù)函數(shù)；⑵存在非負(fù)函數(shù)，對任意實(shí)數(shù)x點(diǎn)有例如在上例中當(dāng)前第92頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)對任意實(shí)數(shù)x有顯然當(dāng)前第93頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)作業(yè)P58：8,10當(dāng)前第94頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)第四節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布

一、連續(xù)型隨機(jī)變量的定義二、常用的連續(xù)型隨機(jī)變量當(dāng)前第95頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)例：測試燈泡的壽命，用X表示燈泡的壽命；引例例：測試上課遲到情況,用X表示你到達(dá)教室的時(shí)間.特點(diǎn)：X的取值充滿一個(gè)區(qū)間[a,b]或[a,+∞)X的取值無法一一列出；這類問題，人們關(guān)心的重點(diǎn)是什么？？當(dāng)前第96頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)

例題人們對產(chǎn)品的了解是，壽命不超過500小時(shí)的概率為0.71，壽命在500到800小時(shí)之間的概率是0.22，在800到1000小時(shí)之間的概率為0.07.可畫圖示意，用矩形的面積表示相應(yīng)的概率。o0.710.220.075008001000O2004006008001000為了更精確，無限細(xì)分下去，…，得到一條曲線當(dāng)前第97頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)f(x)x圖中“曲邊梯形”（陰影區(qū)域）的面積即為X落在區(qū)間[a,b]上的概率.該曲線稱為隨機(jī)變量X的分布密度曲線.曲線對應(yīng)的函數(shù)稱為隨機(jī)變量X的分布密度函數(shù)，記為f(x).分布密度函數(shù)f(x)完全描述了隨機(jī)變量X的規(guī)律.當(dāng)前第98頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)一、連續(xù)型隨機(jī)變量的定義定義1.

設(shè)F(x)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，若存在非負(fù)，使對任意實(shí)數(shù)x,有則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，稱為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度函數(shù)。常記為函數(shù)1.概率密度當(dāng)前第99頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)2.概率密度的性質(zhì)⑴非負(fù)性⑵歸一性由于可由下圖表示f(x)x面積為1這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)函是否為某隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)的充要條件。數(shù)當(dāng)前第100頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)⑶對于任意實(shí)數(shù)，有這是因?yàn)檫@里事件并非不可能事件，但可見由，不一定能推出由，不一定能推出稱A為幾乎不可能事件，B為幾乎必然事件.當(dāng)前第101頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)⑷對于任意的數(shù)有f(x)x連續(xù)型隨機(jī)變量X落在某區(qū)間上的概率在該區(qū)間上的改變量在該區(qū)間上的積分(與端點(diǎn)是否在內(nèi)無關(guān))圖中陰影部分當(dāng)前第102頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)⑸分布函數(shù)上連續(xù)，且密度函數(shù)不唯一（在個(gè)別點(diǎn)的值可不同）。⑹概率密度在點(diǎn)處連續(xù)，則有即當(dāng)前第103頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)如果把概率理解為質(zhì)量，故X

的密度上的概率與區(qū)間長度之比的極限。這里，相當(dāng)于線密度。區(qū)間在這一點(diǎn)的值，恰好是X落在這表示X落在小區(qū)間上的概率近似地等于若不計(jì)高階無窮小，有：在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類似。當(dāng)前第104頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)的高度反映了隨機(jī)點(diǎn)集中在該點(diǎn)附近的密集程度.要注意的是:密度函數(shù)并不是的概率.但是這個(gè)高度越大，則X取附近的值的概率就越大.也可以說，在某點(diǎn)密度曲線f(x)0x1在某點(diǎn)處

的高度當(dāng)前第105頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)解例1求下列函數(shù)是否為概率密度函數(shù)是顯然的；故f(x)可以作為密度函數(shù)。當(dāng)前第106頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)解例2當(dāng)前第107頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)例3設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為求⑴常數(shù)A；⑵；⑶X的分布函數(shù)。解

⑴由得則當(dāng)前第108頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)⑵⑶當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)前第109頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)得當(dāng)時(shí)，所以由于f(x)是分段表達(dá)的，求F(x)時(shí)注意分段求.當(dāng)前第110頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)例5設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為：求隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。解根據(jù)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)的積分表示得當(dāng)前第111頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)當(dāng)前第112頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)綜上得分布函數(shù)為：當(dāng)前第113頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)概率密度函數(shù)圖形：稱為山形函數(shù)當(dāng)前第114頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)分布函數(shù)的圖形當(dāng)前第115頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)練習(xí)

已知某型號電子管的使用壽命X為連續(xù)r.v.,其密度函數(shù)為(1)求常數(shù)c(2)計(jì)算解(1)令c=1000當(dāng)前第116頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)(2)

當(dāng)前第117頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)作業(yè)P58：12,14當(dāng)前第118頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)二、幾種常用的連續(xù)型隨機(jī)變量1.均勻分布定義

若隨機(jī)變量X的概率密度為：則稱X

服從區(qū)間[a,b]上的均勻分布，記作當(dāng)前第119頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)均勻分布的密度函數(shù)的驗(yàn)證設(shè)，其中是其概率密度，則有由此可知確是概率密度。當(dāng)前第120頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)均勻分布的分布函數(shù)當(dāng)時(shí)，由于當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則分布函數(shù)為當(dāng)前第121頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)xf(x)abxF(x)ba當(dāng)前第122頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)因?yàn)榫鶆蚍植嫉母怕时尘罢f明：X取值在（a，b）中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè)小區(qū)間的長度成正比。與小區(qū)間的位置無關(guān)。這正是幾何概型的情形當(dāng)前第123頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)解依題意，

X～U[0,30]

以7:00為起點(diǎn)0，以分為單位隨機(jī)變量，例1

某公共汽車站從上午7時(shí)起，每15分鐘來一班車，即

7:00，7:15，7:30,7:45

等時(shí)刻有汽車到達(dá)此站，如果乘客到達(dá)此站時(shí)間X

是7:00到7:30之間的均勻試求他候車時(shí)間少于5分鐘的概率.當(dāng)前第124頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)所求概率為：即乘客候車時(shí)間少于5分鐘的概率是1/3。當(dāng)前第125頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)⒉指數(shù)分布若隨機(jī)變量X的概率密度為：指數(shù)分布。為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為其中的概率密度的圖形指數(shù)分布的分布函數(shù)為當(dāng)前第126頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)1xF(x)0xf(x)0當(dāng)前第127頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)密度函數(shù)的驗(yàn)證當(dāng)前第128頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)對于任意的0<a<b,應(yīng)用場合用指數(shù)分布描述的實(shí)例有：隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間電話問題中的通話時(shí)間無線電元件的壽命動物的壽命指數(shù)分布常作為各種“壽命”分布的近似當(dāng)前第129頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)解(2)已知該電子元件已使用了1.5年，求它還能使用兩.電子元件的壽命X(年）服從λ＝3的指數(shù)分布例2(1)求該電子元件壽命超過2年的概率。年的概率為多少？由已知得X的概率密度為當(dāng)前第130頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)由⑴、⑵結(jié)果得：指數(shù)分布具有無記憶性，即當(dāng)前第131頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)若X~Ｅ(),則故又把指數(shù)分布稱為“永遠(yuǎn)年輕”的分布指數(shù)分布的“無記憶性”事實(shí)上命題當(dāng)前第132頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)解(1)例3

假定一大型設(shè)備在任何長為t的時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù),求相繼兩次故障的時(shí)間間隔T的概率分布;設(shè)備已正常運(yùn)行８小時(shí)的情況下，再正常運(yùn)行10小時(shí)的概率.當(dāng)前第133頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)即(2)由指數(shù)分布的“無記憶性”當(dāng)前第134頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)解由題意知，其中現(xiàn)在X的概率密度為例4假設(shè)顧客在某銀行窗口等待服務(wù)的時(shí)間(單位:分鐘)X服從指數(shù)為的指數(shù)分布。若等待時(shí)間超過10分鐘，則他離開，假設(shè)他一個(gè)月內(nèi)要來銀行5次。以Y表示一個(gè)月內(nèi)他沒有等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，求Y的分布律及至少有一次沒有等到服務(wù)的概率當(dāng)前第135頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)因此所以Y的分布律為于是當(dāng)前第136頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)例5

設(shè)隨機(jī)變量X服從[1，6]上的均勻分布，求一元二次方程有實(shí)根的概率。解因?yàn)楫?dāng)時(shí)，方程有實(shí)根，故所求概率為而X的概率密度為從而當(dāng)前第137頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)⒊正態(tài)分布例：在大量重復(fù)試驗(yàn)中，得到一組數(shù)據(jù)，這組數(shù)據(jù)雖然有波動，但總是以某個(gè)常數(shù)為中心。偏離中心越近的數(shù)據(jù)越多；偏離中心越遠(yuǎn)的數(shù)據(jù)越少。取值呈“中間大、兩頭小”的格局，即取值具有對稱性。此隨機(jī)變量是一個(gè)服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。當(dāng)前第138頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)正態(tài)分布的重要性⑶正態(tài)分布可以作為許多分布的近似分布．⑴大量的隨機(jī)現(xiàn)象都是服從或近似服從正態(tài)分布。⑵正態(tài)分布有許多良好的性質(zhì).正態(tài)分布在十九世紀(jì)前葉由高首次露面。德莫佛最早發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)分布概率的一個(gè)近似公式，這一公式被認(rèn)為是正態(tài)分布的斯加以推廣和應(yīng)用，所以通常稱為高斯分布。德莫佛高斯當(dāng)前第139頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)德國1993年10馬克高斯在他于1809年發(fā)表的“最小二乘法”的基礎(chǔ)上建立的正態(tài)分布方程，是概率統(tǒng)計(jì)中一個(gè)非常重要的工具，廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域。當(dāng)前第140頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)Ⅰ.正態(tài)分布的定義定義1設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為其中為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的正態(tài)分布或高斯(Gauss)分布，記為定義2當(dāng)時(shí)，X的概率密度為當(dāng)前第141頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)則稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為的圖形如下圖所示以上鐘形曲線叫做正態(tài)曲線，故滿足以下特性。x0當(dāng)前第142頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)Ⅱ.正態(tài)分布概率密度的幾何形態(tài)（性質(zhì)）⑴證？當(dāng)前第143頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)計(jì)算（利用高數(shù)知識）令，則設(shè)，故，故代入得可以直接引用當(dāng)前第144頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)⑵曲線關(guān)于對稱，，有（如下圖）這表明對于任意⑶

當(dāng)時(shí)，f(x)取得最大值x離μ越遠(yuǎn)，f(x)的值就越小。當(dāng)前第145頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)⑷曲線在處有拐點(diǎn)；曲線以軸為漸近線，⑸

若σ固定，而改變μ的值，則f(x)的圖形沿x軸平行移動，但不改變其形狀，因此定。（如右圖）的圖形的位置完全由參數(shù)μ所決當(dāng)前第146頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)決定了圖形中峰的陡峭程度，正態(tài)分布由它的兩個(gè)參數(shù)μ和σ唯一確定，當(dāng)μ和σ不同時(shí)，是不同的正態(tài)分布。稱σ為形狀參數(shù)。當(dāng)前第147頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)Ⅲ.正態(tài)分布的分布函數(shù)設(shè)，X的分布函數(shù)是當(dāng)前第148頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)而，即X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布的分布函數(shù)為當(dāng)前第149頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)x0x-x當(dāng)x≥０時(shí),可直接查表求當(dāng)x<０時(shí),如右圖可得

227頁當(dāng)前第150頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)例1解設(shè)隨機(jī)變量，試求⑵.⑶.⑴.當(dāng)前第151頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)Ⅳ.正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化一般地，若，我們只要通過一個(gè)線性變換就能將它化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。定理1若隨機(jī)變量，則證要求的分布函數(shù)當(dāng)前第152頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)所以當(dāng)前第153頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)結(jié)論①若，則它的分布函數(shù)可以寫成②若當(dāng)前第154頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)解例2設(shè)隨機(jī)變量，試求：⑴，⑵⑴當(dāng)前第155頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)例2設(shè)隨機(jī)變量，試求：⑴，⑵解當(dāng)前第156頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)已知，求解例3查表得查表得當(dāng)前第157頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機(jī)會在0.01以下來設(shè)計(jì)的.設(shè)男子身高X～N(170,62),問車門高度應(yīng)如何確定?解設(shè)車門高度為hcm,按設(shè)計(jì)要求即因?yàn)閄～N(170,62)，0.99故查表得例4即設(shè)計(jì)車門高度為184厘米時(shí)，可使男子與車門碰頭機(jī)會不超過0.01。當(dāng)前第158頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)3σ準(zhǔn)則時(shí)，可以認(rèn)為，Y的取值幾乎全部集中在的區(qū)間內(nèi)。這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱為準(zhǔn)則”當(dāng)由3準(zhǔn)則知，當(dāng)當(dāng)前第159頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)例5

設(shè)解

由圖形可得當(dāng)前第160頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)例6.在電壓不超過200伏,在200-240伏和超過240伏三種情況下,某種元件損壞的概率分別為0.1,0.001和0.2.假設(shè)電壓求:1)該元件損壞的概率2)該元件損壞時(shí),電壓在200-240伏的概率解:設(shè)分別表示電壓不超過200伏,在200-240伏,超過240伏＝“元件損壞”當(dāng)前第161頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)由題意由全概公式當(dāng)前第162頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)由題意由全概公式2)由貝葉斯公式例6.當(dāng)前第163頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)0因?yàn)橛蓤D可知所以查表可得故則稱點(diǎn)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上α分位點(diǎn)。定義設(shè)，若滿足條件當(dāng)前第164頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位數(shù)z設(shè)X~N(0,1),0<<1,稱滿足的點(diǎn)z

為X的上分位數(shù)

z常用數(shù)據(jù)0當(dāng)前第165頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)作業(yè)P59：15,16,17當(dāng)前第166頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)第七節(jié)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布

一、離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布當(dāng)前第167頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)本節(jié)的任務(wù)：已知隨機(jī)變量X的分布，并且已知Y=g(X),要求隨機(jī)變量Y的分布(分布律或分布密度)一、離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布當(dāng)X為離散型隨機(jī)變量時(shí)，Y=g(X)也是離散型隨機(jī)變量，并且在X分布律已知的情況下，求Y的分布律是很容易的。當(dāng)前第168頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)例1已知X

的分布律為求Y=2X－1，Z=X2＋1的分布律。解⑴故Y的分布律為當(dāng)前第169頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)⑵故Z的分布律為當(dāng)前第170頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)注意⒈設(shè)互不相等時(shí)，則由可得⒉當(dāng)，則把那些相等的值合并，并根據(jù)概率的可加性把對應(yīng)的概率相加得到Y(jié)的分布律。當(dāng)前第171頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)例2設(shè)某工程隊(duì)完成某項(xiàng)工程所需時(shí)間為X(天)近似服從參數(shù)為的正態(tài)分布，獎金方法規(guī)定，若在100天內(nèi)完成，則得超產(chǎn)獎10000元；若在若在100天至115天內(nèi)完成，則得超產(chǎn)獎1000元；若完成時(shí)間超過115天，則罰款5000元。求該工程隊(duì)在完成這項(xiàng)工程時(shí)，獎金額Y的分布律。解依題意當(dāng)前第172頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)可見Y是X的函數(shù)，且是離散型隨機(jī)變量。則Y的分布律為當(dāng)前第173頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)Ⅰ.分布函數(shù)法（一般的函數(shù)都適用）⑴先求的分布函數(shù)⑵再利用的分布函數(shù)與概率密度之間的關(guān)系求的概率密度為三、連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布當(dāng)前第174頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)例3已知X的密度函數(shù)為為常數(shù)，且a0,求fY(y)解當(dāng)a>0時(shí)，當(dāng)前第175頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)當(dāng)a<0時(shí)，故當(dāng)前第176頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)解⑴先求Y=2X+8的分布函數(shù)設(shè)隨機(jī)變量X

具有概率密度：例4試求Y=2X+8

的概率密度當(dāng)前第177頁\共有197頁\編于星期四\17點(diǎn)