湖南省株洲市朱亭鎮(zhèn)黃龍中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

湖南省株洲市朱亭鎮(zhèn)黃龍中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限

B．第二象限C．第三象限

D．第四象限參考答案：A2.函數(shù)f（x）=x3+x，x∈R，當(dāng)時(shí)，f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．（0，1） B．（﹣∞，0） C． D．（﹣∞，1）參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；奇偶性與單調(diào)性的綜合．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】由f（x）=x3+x，可知f（x）為奇函數(shù)，增函數(shù)，得出msinθ＞m﹣1，根據(jù)sinθ∈[0，1]，即可求解．【解答】解：由f（x）=x3+x，∴f（x）為奇函數(shù)，增函數(shù)，∴f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，即f（msinθ）＞f（m﹣1），∴msinθ＞m﹣1，當(dāng)時(shí)，sinθ∈[0，1]，∴，解得m＜1，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是（﹣∞，1），故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)恒成立的問題及函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，難度較大，關(guān)鍵是先判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性．3.復(fù)數(shù)z=2+ai（a∈R）的共軛復(fù)數(shù)為，若z?=5，則a=（）A.±1 B.±3 C.1或3 D.－1或－3參考答案：A【分析】由已知結(jié)合列式求解．【詳解】∵z=2+ai，即a=±1．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．4.已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則的最小值是（

）A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：C5.某同學(xué)用計(jì)算器產(chǎn)生了兩個(gè)[0，1]之間的均勻隨機(jī)數(shù)，分別記作x，y，當(dāng)y<x2時(shí)，的概率是A．

B．

C．

D．參考答案：D解：由題意可得右圖：令則∴6.已知集合，，則=（

）

(A)}

(B)

(C)

(D)參考答案：D7.設(shè)為向量，則“”是“”(

)

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C8.函數(shù)，的值域是

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A9.已知函數(shù)若直線l過點(diǎn)(0,－1),且與曲線相切,則直線l的方程為A.

B.

C.

D.參考答案：C設(shè)切點(diǎn)為則斜率解得所以l的方程為即

10.若直線ax+by+1=0與圓x2+y2=1相離，則點(diǎn)P（a，b）的位置是（）A．在圓上 B．在圓外 C．在圓內(nèi) D．以上都有可能參考答案：C【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，得到圓心到直線的距離大于半徑，得到關(guān)于a，b的關(guān)系式，這個(gè)關(guān)系式正好是點(diǎn)到圓心的距離，得到圓心與點(diǎn)到距離小于半徑，得到點(diǎn)在圓的內(nèi)部．【解答】解：∵直線ax+by+1=0與圓x2+y2=1相離，∴，∴，∴點(diǎn)P（a，b）到圓心的距離小于半徑，∴點(diǎn)在圓內(nèi)，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系和點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，本題解題的關(guān)鍵是正確利用點(diǎn)到直線的距離公式，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)，若直線與軸相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，且坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，則面積的最小值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C12.數(shù)列{an}滿足a1=1，對(duì)任意的n∈N*都有an+1=a1+an+n，則++…+=

．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】由an+1﹣an=a1+n，即an+1﹣an=1+n，采用累加法求得an=（n∈N*），則==2（﹣），采用裂項(xiàng)法即可求得++…+的值．【解答】解：an+1﹣an=a1+n，即an+1﹣an=1+n，∴a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，…，an﹣an﹣1=n（n≥2），上述n﹣1個(gè)式子相加得an﹣a1=2+3+…+n，∴an=1+2+3+…+n=，當(dāng)n=1時(shí)，a1=1滿足上式，∴an=（n∈N*），因此==2（﹣），∴++…+==2（1﹣+﹣+…+﹣）=2（1﹣）=故答案為：．13.已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓內(nèi)一點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-6），P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是

參考答案：3014.點(diǎn)（－2，1）到直線3x－4y－2=0的距離等于_________.參考答案：略15.已知函數(shù)在處有極值10,則________.

參考答案：1816.如圖，已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中，，點(diǎn)E為CC1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面與棱AA1交于點(diǎn)F，給出下列命題：①四棱錐的體積為20；②存在唯一的點(diǎn)E，使截面四邊形的周長取得最小值；③當(dāng)E點(diǎn)不與C，C1重合時(shí)，在棱AD上均存在點(diǎn)G，使得平面④存在唯一一點(diǎn)E，使得平面，且其中正確的命題是_____________（填寫所有正確的序號(hào)）參考答案：①②④【分析】①根據(jù)，再根據(jù)等體積轉(zhuǎn)化，求出和，得到答案；②判斷出截面四邊形為平行四邊形，將正方體側(cè)面展開，面和面在同一平面內(nèi)，得到最小為內(nèi)的長度，從而得到截面四邊形的周長的最小值；③取為中點(diǎn)時(shí)，在平面中，延長，交于，可得；④以點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面垂直，得到點(diǎn)坐標(biāo)，并求出.【詳解】長方體中，命題①，易知平面到平面的距離，等于到平面的距離，為，同理到平面的距離，等于到平面的距離，為所以，故正確.命題②，易知平面平面，平面平面，平面平面所以，同理，即四邊形為平行四邊形將正方體側(cè)面展開，面和面在同一平面內(nèi)，可得在內(nèi)，最小為的長度，此時(shí)點(diǎn)為與的交點(diǎn)，所以四邊形的周長取得最小值，故正確.命題③，取為中點(diǎn)時(shí)，易知為中點(diǎn)在平面中，延長，交于，通過，得到，所以，即此時(shí)平面，而此時(shí)點(diǎn)在延長線上，不在棱上，故錯(cuò)誤.命題④，以點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，，所以，即，要使平面，則需，即所以，得，即，故正確.故答案為：①②④【點(diǎn)睛】本題考查等體積轉(zhuǎn)化求四棱錐的體積，棱柱展開圖中最短距離問題，線面平行的判定，已知線面垂直利用空間向量求線段的長，屬于中檔題.17.集合A={x｜ax﹣3=0，a∈Z}，若A?N*，則a形成的集合為

．參考答案：{0，1，3}【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合．【分析】化簡A，利用A?N*，可得a形成的集合．【解答】解：a=0，A=?，滿足題意；a≠0，A={x｜ax﹣3=0，a∈Z}={}，x=1時(shí)，a=3；x=3時(shí)，a=1，故答案為：{0，1，3}．【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知定義在上的函數(shù)，其中為常數(shù).⑴若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，求的值；⑵若時(shí)，函數(shù)在處取得最大值，求正數(shù)的取值范圍.參考答案：當(dāng)時(shí)，在[0，2]上單調(diào)遞減，最大值為，所以在[0，2]上的最大值只能為或；又已知在x=0處取得最大值，所以即解得，∴.19.(本小題滿分16分)如圖，橢圓(a>b>0)的上、下兩個(gè)頂點(diǎn)為A、B，直線l：，點(diǎn)P是橢圓上異于點(diǎn)A、B的任意一點(diǎn)，連接AP并延長交直線l于點(diǎn)N，連接PB并延長交直線l于點(diǎn)M，設(shè)AP所在的直線的斜率為，BP所在的直線的斜率為．若橢圓的離心率為，且過點(diǎn)．（1）求的值；（2）求MN的最小值；（3）隨著點(diǎn)P的變化，以MN為直徑的圓是否恒過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)，如不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．參考答案：（1）因?yàn)椋?，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．……………2分設(shè)橢圓上點(diǎn)，有，所以．…………4分（2）因?yàn)樵谥本€l：上，所以設(shè)，，由方程知，，所以，……………………6分又由（1）知，所以，…………8分不妨設(shè)，則，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值．…………10分（3）設(shè)，，則以為直徑的圓的方程為……12分即，圓過定點(diǎn)，必與無關(guān)，所以有，解得定點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，無論點(diǎn)P如何變化，以MN為直徑的圓恒過定點(diǎn)．………16分20.（本小題滿分13分）如圖，AE⊥平面ABCD，，.（Ⅰ）求證：BF∥平面ADE；（Ⅱ）求直線CE與平面BDE所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角的余弦值為，求線段CF的長.參考答案：本小題主要考查直線與平面平行、二面角、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí).考查用空間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力.滿分13分.依題意，可以建立以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向的空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得，.設(shè)，則.（Ⅰ）證明：依題意，是平面的法向量，又，可得，又因?yàn)橹本€平面，所以平面.（Ⅱ）解：依題意，.設(shè)為平面的法向量，則即不妨令，可得.因此有.所以，直線與平面所成角的正弦值為.（Ⅲ）解：設(shè)為平面的法向量，則即不妨令，可得.由題意，有，解得.經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.所以，線段CF的長為.

21.已知函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)當(dāng)時(shí)，求證:對(duì)任意的.參考答案：(1);∴在上單調(diào)遞減(2)要證對(duì)恒成立即證;對(duì)恒成立令,即證當(dāng)時(shí)，恒成立即證;成立∵∴①式成立現(xiàn)證明②式成立:令設(shè)在,使得,則在単調(diào)遞增,在単調(diào)遞減∴,=∵，∴

∴綜上所述.在,恒成立22.某設(shè)計(jì)部門承接一產(chǎn)品包裝盒的設(shè)計(jì)（如圖所示），客戶除了要求、

邊的長分別為和外，還特別要求包裝盒必需滿足：①平面平面；②平面與平面所成的二面角不小于；③包裝盒的體積盡可能大。若設(shè)計(jì)出的樣品滿足：與均為直角且長，矩形的一邊長為，請(qǐng)你判斷該包裝盒的設(shè)計(jì)是否符合客戶的要求？說明理由。參考答案：解：該包裝盒的樣品設(shè)計(jì)符合客戶的要求。

法一：（1）以下證明滿足條件①的要求.∵四邊形為矩形，與均為直角，∴且∴面，在矩形中，∥

∴面

∴面面

（2）以下證明滿足條件②、③的要求.∵矩形的一邊長為，而直角三角形的斜邊長為，∴

設(shè)，則，

以為原點(diǎn)，分別為軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，

設(shè)面的一個(gè)法向量為，