福建省福州市霞拔中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

福建省福州市霞拔中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，且a11=S13=13，則a9=（）A．9 B．8 C．7 D．6參考答案：C【考點】等差數(shù)列的前n項和．【分析】利用等差數(shù)列的通項公式與求和公式即可得出．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a11=S13=13，∴a1+10d=13a1+d=13，解得a1=﹣17，d=3．則a9=﹣17+8×3=7．故選：C．2.觀察下列各式:則的末四位數(shù)字為(

)

A.3125

B.5625

C.0625

D.8125

參考答案：D本題考查了數(shù)學(xué)猜想及數(shù)學(xué)歸納法，同時體現(xiàn)了函數(shù)思想與函數(shù)周期性的知識，難度較大，容易誤判。選D。3.如圖，已知球是棱長為1的正方體的內(nèi)切球，則平面截球的截面面積為A．

B．

C．

D．

參考答案：C略4.已知點A，B分別是雙曲線的左、右頂點，點P是雙曲線C上異于A，B的另外一點，且△ABP是頂角為120°的等腰三角形，則該雙曲線的漸近線方程為（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±y=0 D．x±y=0參考答案：C【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】設(shè)M在雙曲線的左支上，由題意可得M的坐標(biāo)為（﹣2a，a），代入雙曲線方程可得a=b，再由雙曲線的漸近線方程即可得到所求值．【解答】解：設(shè)P在雙曲線線的左支上，且PA=PB=2a，∠PAB=120°，則P的坐標(biāo)為（﹣2a，a），代入雙曲線方程可得，﹣=1，可得a=b，∴該雙曲線的漸近線方程為x±y=0．故選：C．5.設(shè)f（x）在定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象可能是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】由f（x）的圖象可得在y軸的左側(cè)，圖象下降，f（x）遞減，y軸的右側(cè)，圖象先下降再上升，最后下降，即有y軸左側(cè)導(dǎo)數(shù)小于0，右側(cè)導(dǎo)數(shù)先小于0，再大于0，最后小于0，對照選項，即可判斷．【解答】解：由f（x）的圖象可得，在y軸的左側(cè)，圖象下降，f（x）遞減，即有導(dǎo)數(shù)小于0，可排除C，D；再由y軸的右側(cè)，圖象先下降再上升，最后下降，函數(shù)f（x）遞減，再遞增，后遞減，即有導(dǎo)數(shù)先小于0，再大于0，最后小于0，可排除A；則B正確．故選：B．6.已知冪函數(shù)f(x)＝(t3－t＋1)·(t∈N)是偶函數(shù)，則實數(shù)t的值為()A．0

B．－1或1C．1

D．0或1參考答案：B略7.若直線同時平分一個三角形的周長和面積，則稱直線為該三角形的“平分線”，已知△ABC三邊之長分別為3，4，5，則△ABC的“平分線”的條數(shù)為A．1

B．0

C．3

D．2參考答案：A8.四棱錐的五個頂點都在一個球面上，該四棱錐三視圖如右圖所示，、分別是棱、的中點，直線被球面所截得的線段長為，則該球表面積為

A．

B．C．

D．參考答案：D略9.《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，書中有一問題：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，問積幾何？”該著作中提出了一種解決此問題的方法：“重置二位，左位減八，余加右位，至盡虛減一，即得.”通過對該題的研究發(fā)現(xiàn)，若一束方物外周一匝的枚數(shù)是8的整數(shù)倍時，均可采用此方法求解，如圖是解決這類問題的程序框圖，若輸入，則輸出的結(jié)果為（

）A．23

B．47

C．24

D．48參考答案：A10.若一個函數(shù)存在定義域和值域相同的區(qū)間，則稱這個函數(shù)為這個區(qū)間上的一個“保城函數(shù)”，給出下列四個函數(shù)：①f（x）=﹣x3；②f（x）=3x；③f（x）=sin；④f（x）=2ln3x﹣3．其中可以找到一個區(qū)間使其為保城函數(shù)的有(

) A．①② B．①③ C．②③ D．②④參考答案：B考點：函數(shù)的值．專題：新定義．分析：根據(jù)“等值區(qū)間”的定義，要想說明函數(shù)存在“等值區(qū)間”，只要舉出一個符合定義的區(qū)間M即可，但要說明函數(shù)沒有“等值區(qū)間”，可以用反證明法來說明．由此對四個函數(shù)逐一進(jìn)行判斷，即可得到答案．解答： 解：①對于函數(shù)f（x）=﹣x3存在“等值區(qū)間”，如x∈時，f（x）=﹣x3∈．②對于函數(shù)f（x）=3x，若存在“等值區(qū)間”，由于函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)，故有3a=a，3b=b，即方程3x=x有兩個解，即y=3x和y=x的圖象有兩個交點，這與y=3x和y=x的圖象沒有公共點相矛盾，故不存在“等值區(qū)間”．③對于函數(shù)f（x）=sin，存在“等值區(qū)間”，如x∈時，f（x）=sin∈；④對于f（x）=2ln3x﹣3，由于函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)，故有2ln3x﹣3=x有兩個解，不成立，所以不存在“等值區(qū)間”．故選：B．點評：本題考查的知識點是函數(shù)的概念及其構(gòu)造要求，考查了函數(shù)的值域，在說明一個函數(shù)沒有“等值區(qū)間”時，利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象結(jié)合反證法證明是解答本題的關(guān)鍵，屬于創(chuàng)新題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的側(cè)面積為．參考答案：2【考點】由三視圖求面積、體積．【專題】計算題；空間位置關(guān)系與距離．【分析】根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體是底面為菱形的四棱錐，畫出幾何體的直觀圖，求出它的側(cè)面積即可．【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖，得；該幾何體是底面為菱形的四棱錐，且菱形的邊長為=2，三棱錐的高為3，且側(cè)面四個三角形的面積相等，如圖所示；∴該四棱錐的側(cè)面積為4S△PAB=4×AB?PE=4××2×=2．故答案為：2．【點評】本題考查了利用空間幾何體的三視圖求幾何體的側(cè)面積的應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖得出幾何體的直觀圖，是基礎(chǔ)題目．12.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則______.參考答案：－2.【分析】對函數(shù)的解析式求導(dǎo)，得到其導(dǎo)函數(shù)，把代入導(dǎo)函數(shù)中，列出關(guān)于的方程，進(jìn)而得到的值，確定出函數(shù)的解析式，把代入解析式，即可求出的值【詳解】解：求導(dǎo)得：，令，得，解得：∴，，故答案為-2．【點睛】此題考查了導(dǎo)數(shù)的運算，以及函數(shù)的值．運用求導(dǎo)法則得出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求出常數(shù)的值，從而確定出函數(shù)的解析式是解本題的關(guān)鍵．13.對于定義在R上的函數(shù)圖象連續(xù)不斷，若存在常數(shù)，使得對任意的實數(shù)x成立，則稱f(x)是階數(shù)為a的回旋函數(shù)，現(xiàn)有下列4個命題：①必定不是回旋函數(shù)；②若為回旋函數(shù)，則其最小正周期必不大于2；③若指數(shù)函數(shù)為回旋函數(shù)，則其階數(shù)必大于1；④若對任意一個階數(shù)為的回旋函數(shù)f(x)，方程均有實數(shù)根，其中為真命題的是________.參考答案：①②④14.已知雙曲線左、右焦點分別為、，過點作與軸垂直的直線與雙曲線一個交點為，且，則雙曲線的漸近線方程為

.參考答案：把代入可得中，所以漸近線方程為，故答案為.考點：1、雙曲線的幾何性質(zhì)；2、雙曲線的漸近線方程.【方法點晴】本題主要考查利用雙曲線的簡單性質(zhì)求雙曲線的漸近線方程，屬于中檔題.求解與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點、焦點、實軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，求雙曲線漸近線方程，最關(guān)鍵是根據(jù)題意找出之間的等量關(guān)系，進(jìn)而求出漸近線的斜率.15.的展開式中的系數(shù)是

參考答案：16.已知關(guān)于的不等式＜0的解集是，則____________。參考答案：-2略17.等比數(shù)列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且中的任何兩個數(shù)不在下表中的同一列，則數(shù)列的通項公式______________.

第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=x3+x2﹣ax（a∈R）．（1）當(dāng)a=0時，求與直線x﹣y﹣10=0平行，且與曲線y=f（x）相切的直線的方程；（2）求函數(shù)g（x）=﹣alnx（x＞1）的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）如果存在a∈[3，9]，使函數(shù)h（x）=f（x）+f′（x）（x∈[﹣3，b]）在x=﹣3處取得最大值，試求b的最大值．參考答案：考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)切線斜率的關(guān)系，求得斜率，由點斜式寫出切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即可；（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值的方法，通過分類討論得出b的最大值．解答：解：（1）設(shè)切點為T（x0，x03+x02），由f′（x）=3x2+2x及題意得3x02+2x0=1．

…（2分）解得x0=﹣1，或x0=．所以T（﹣1，0）或T（，）．所以切線方程為x﹣y+1=0或27x﹣27y﹣5=0．

…（4分）（2）因為g（x）=x2+x﹣a﹣alnx（x＞1），所以由g′（x）=2x+1﹣＞0，得2x2+x﹣a＞0．

…（6分）令φ（x）=2x2+x﹣a（x＞1），因為φ（x）在（1，+∞）遞增，所以φ（x）＞φ（1）=3﹣a．當(dāng)3﹣a≥0即a≤3時，g（x）的增區(qū)間為（1，+∞）；

…（8分）當(dāng)3﹣a＜0即a＞3時，因為φ（1）=3﹣a＜0，所以φ（x）的一個零點小于1、另一個零點大于1．由φ（x）=0得零點x1=＜1，x2=＞1，從而φ（x）＞0（x＞1）的解集為（，+∞），即g（x）的增區(qū)間為（，+∞）．

…（10分）（3）方法一：h（x）=x3+4x2+（2﹣a）x﹣a，h′（x）=3x2+8x+（2﹣a）．因為存在a∈[3，9]，令h′（x）=0，得x1=，x2=．當(dāng)x＜x1或x＞x2時，h′（x）＞0；當(dāng)x1＜x＜x2時，h′（x）＜0．所以要使h（x）（x∈[﹣3，b]）在x=﹣3處取得最大值，必有解得a≥5，即a∈[5，9]．

…（13分）所以存在a∈[5，9]使h（x）（x∈[﹣3，b]）在x=﹣3處取得最大值的充要條件為h（﹣3）≥h（b），即存在a∈[5，9]使（b+3）a﹣（b3+4b2+2b﹣3）≥0成立．因為b+3＞0，所以9（b+3）﹣（b3+4b2+2b﹣3）≥0，即（b+3）（b2+b﹣10）≤0．解得≤b≤，所以b的最大值為．…（16分）方法二：h（x）=x3+4x2+（2﹣a）x﹣a，據(jù)題意知，h（x）≤h（﹣3）在區(qū)間[﹣3，b]上恒成立．即（x3+27）+4（x2﹣9）+（2﹣a）（x+3）≤0，（x+3）（x2+x﹣1﹣a）≤0

①．若x=﹣3時，不等式①成立；若﹣3＜x≤b時，不等式①可化為x2+x﹣1﹣a≤0，即x2+x≤1+a

②．…（13分）令ψ（x）=x2+x．當(dāng)﹣3＜b≤2時，ψ（x）在區(qū)間[﹣3，b]上的最大值為ψ（﹣3）=6，不等式②恒成立等價于6≤1+a，a≥5，符合題意；當(dāng)b≥2時，ψ（x）的最大值為ψ（b）=b2+b，不等式②恒成立等價于b2+b≤1+a．由題意知這個關(guān)于a的不等式在區(qū)間[3，9]上有解．故b2+b≤（1+a）max，即b2+b≤10，b2+b﹣10≤0，解得2＜b≤．綜上所述，b的最大值為，此時唯有a=9符合題意．…（16分）點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線方程、判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)最值等知識，考查分類討論思想的運用能力，綜合性強(qiáng)，屬難題．19.（本小題滿分12分）已知向量，（1）若，求;（2）設(shè)的三邊滿足，且邊所對應(yīng)的角為，若關(guān)于的方程有且僅有一個實數(shù)根，求的值.參考答案：（Ⅰ）

……………2分由于，，

……………6分（Ⅱ）由余弦定理：,

…………8分

當(dāng)或時，直線和有一個交點。則

……………12分20.(本小題滿分l3分)清明節(jié)小長假期間，某公園推出擲飛鏢和摸球兩種游戲，甲參加擲飛鏢游戲，已知甲投擲中紅色靶區(qū)的概率為，投中藍(lán)色靶區(qū)的概率為，不能中靶概率為；該游戲規(guī)定，投中紅色靶區(qū)記2分，投中藍(lán)色靶區(qū)記1分，未投中標(biāo)靶記0分；乙參加摸球游戲，該游戲規(guī)定，在一個盒中裝有大小相同的10個球，其中6個紅球和4個黃球，從中一次摸出3個球，一個紅球記1分，黃球不記分．

(I)求乙恰得1分的概率；

(II)求甲在4次投擲飛鏢中恰有三次投中紅色靶區(qū)的概率；(III)求甲兩次投擲后得分的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考答案：21.交警隨機(jī)抽取了途經(jīng)某服務(wù)站的40輛小型轎車在經(jīng)過某區(qū)間路段的車速（單位：km/h），現(xiàn)將其分成六組為[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90]后得到如圖所示的頻率分布直方圖．（Ⅰ）某小型轎車途經(jīng)該路段，其速度在70km/h以上的概率是多少？（Ⅱ）若對車速在[60，65），[65，70）兩組內(nèi)進(jìn)一步抽測兩輛小型轎車，求至少有一輛小型轎車速度在[60，65）內(nèi)的概率．參考答案：【考點】頻率分布直方圖．【分析】（Ⅰ）根據(jù)頻率和為1，求出速度在70km/h以上的頻率即可；（Ⅱ）求出40輛車中車速在[60，65）以及[65，70）內(nèi)的車輛，利用列舉法計算基本事件數(shù)，求出對應(yīng)的概率值．【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖，計算速