第四章8學時43球形聲源輻射

4-3球形聲源的聲輻射r

fi

￥

p(r

)

滿足無窮遠輻射條件un

(r

)

r

=a

=

v022jwtp(r

)

+

k

p(r

)

=

0;

其中,

k

=

w

/

c;

e

略球坐標系下，邊條件與q、j無關；介質是各向同性的；所以，聲場與q、j無關。1、均勻脈動球面的聲輻射（一）方程和邊條件及其解122(rp(r))=

0?r2?

(rp(r))?

(r2

?p(r)

)

+

k

2

p(r)

=

0?r

?rr2

+

k}e

;rBrAjkr

jwt

p(r,

t)

={

e

+

e-

jkr達朗貝爾解為：rp(r)

=

Ae

jkr

+

Be-

jkr1、均勻脈動球面的聲輻射

p(r

)

=

p(r,q,j

)

=

p(r)；球坐標系下的亥姆霍茲方程為：r

u(r,

t)

=

-

1

?p(r,

t)

dt

=

1+

jkr

A

e

j(wt

-kr

)r

?r

jkrrc

r\

p(r,

t)

=

A

ej(wt

-kr

)1、均勻脈動球面的聲輻射由無窮遠邊界條件得：

B

=

0r1

+

(ka)21

+

(ka)2j

krrc

ru(r,

t)

=

rcav0

(ka)

e

j(

ka

+j0

)

1+

jkr

1

e

j(wt

-kr

)\均勻脈動球源的輻射聲壓場和振速場為：p(r,

t)

=

rcav0

(ka)

e

j(

ka

+j0

)

1

e

j(wt

-kr

)1+(ka)2

A

=

rcav0

(ka)

e

j(

ka+j0

)

;ka0tgj

=

1

jwt0arc

jka=

v

eA

1+

jkau(r

=

a,

t)

=

ej(wt

-ka)1、均勻脈動球面的聲輻射代入球面處的邊條件，有：r4

π 1

+

(ka)21、均勻脈動球面的聲輻射（二）聲源強度和點聲源的概念定義：諧合律振動聲源，排開介質的體積速度的幅值為聲源強度，記Q。均勻脈動球源

:

球面振速v

e

jwt

;

振動面面積4

π

a2

;0

Q

=

4

π

a2v0均勻脈動球源的輻射聲壓場可表示為:p(r,

t)=

rckQ

e

j(

ka+j0)

1

e

j(wt

-kr

)1、均勻脈動球面的聲輻射4

π

rQe

j(wt

-kr

)；討論：ka

<<1

時，有：

p(r,

t)

=

j

rck這是點聲源輻射場。點聲源：

1、聲源尺度遠小于介質中的波長；2、輻射的聲場各向均勻。4

π

rQe

j(wt

-kr

)由點聲源聲壓場：p(r,t)=j

rck復雜聲源的輻射聲場可通過點聲源的聲場迭加求解。求點聲源速度勢場：4

π

rF

(r,

t)

=

1

p(r,

t)dt

=

Q

e

j(wt

-kr

)r點聲源輻射聲場1、均勻脈動球面的聲輻射（三）均勻脈動球面聲源的輻射阻抗輻射阻抗：UsS00Za

(r

,

t)

s

v(s)dsZ

(w

)

=

vsr=aS00

1

+

jkrjkrrc

v0

dsZ

(w

)

=1、均勻脈動球面的聲輻射~p(r,

t)

jkr波阻抗：Z

a(r,w

)”u~(r,t)=1

+jkr

rc\均勻脈動球源的輻射阻抗為：jka1

+

jka=

4

π

a2

rc222+

j1

+

(ka)(ka)1

+

(ka)(ka)2=

4

π

a

rc22;ss1

+

(ka)21

+

(ka)=

4

π

a2

rc(ka)

rc(ka)2輻射抗:X輻射阻

:

R

=

4

π

a(1)222fi

0ka

>>1ska

>>1s1

+

(ka)21

+

(ka)=

4

π

a2

rc(ka)

rc(ka)2輻射抗:Xfi

4

π

a

rc

=

Src；輻射阻

:

R

=

4

π

aa

>>l，大球輻射時（

ka

>>1）(高頻）分析：1、均勻脈動球面的聲輻射4343(2)303222π

a

r(同體積介質球質量）;π

a

r)輻射抗:Xrc(ka)2ssM

0

=w

=

3M

wfi

3(1

+

(ka)2=

4

π

a2

rc(ka)

fi

Src(ka)

；1

+

(ka)輻射阻

:

R

=

4

π

aa

<<l，小球輻射時（

ka

<<1）(低頻）ka<<1ka<<1

1、均勻脈動球面的聲輻射分析：輻射器的輻射抗所對應質量元件的質量稱作伴振質量，記Ms小球輻射時的伴振質量為3倍同體積介質球的質量,

M

=

3Ms

0wmmZ

=

R

+

j

mw

-

D

均勻脈動球面聲源的輻射阻和輻射抗隨ka的變化曲線1、均勻脈動球面的聲輻射大球有利于聲輻射。結論：2022212~1v4

π

a1

+

(ka)Wa

=

2

Rs

U0

=rc(ka)2（四）均勻脈動球面聲源的輻射聲功率①用輻射阻抗求輻射聲功率因為，輻射阻的‘消耗’功率全部轉化為聲場功率所以,輻射聲功率為：

1、均勻脈動球面的聲輻射2020212~

21212~

22

2

f

20a

2

Rs

U0

==

1=a

2Rs

U0

==

1Src(ka)

vSrcv4

π

a

rcv輻射聲功率,W2)

a

<<l，小球輻射時（

ka

<<1）(低頻）輻射聲功率,W

1、均勻脈動球面的聲輻射（四）均勻脈動球面聲源的輻射聲功率分析：1)

a

>>l，大球輻射時（

ka

>>1）(高頻）rAr

2rc2~p(r,t)

2

;S0=

r

sinqdqdje

=

11

）2

er；而，ds

=dser\

I

(r

)

=

（2rc

r閉曲面S0，取與聲源同心，半徑為r

>a的球面，有：對于均勻擴散諧合球面波，有：~p(r,t)=A

；又

諧合聲波，I

(r

)

通過包圍聲源閉曲面的聲功率就為聲源的輻射功率\

輻射聲功率,Wa

=

I

(r

)

ds1、均勻脈動球面的聲輻射②用聲場求輻射聲功率AS2rcA

22

π

π0

0

2rc

r0\

Wa

=

I

(r

)

ds

=

（

）r

sin

qdqdj

=

4

π2

2

1

(同前）12(見前）0204

π

a2

v2kaa(1

+

(ka)2

)=

0

e1

+

(ka)2\

W

==

11

+

(ka)2rc(ka)24

π

rcav

(ka)2rctgjj(

ka

+j0

)

A

=

rcav0

(ka)

e

j(

ka

+j0

)

;

1、均勻脈動球面的聲輻射聲偶極子：兩個相距較近，強度相等，振動相位相反的點聲源構成的聲輻射系統(tǒng)。據(jù)迭加原理，有：;-+--++e4

π

r

-

Q

F

(r,

t

)

=4

π

rQ\

F

(r,

t

)

=4

π

rQF

(r,

t

)

=j(w

t

-kr

)e

j(w

t

-kr

)

;e

j(w

t

-kr

)

點聲源速度勢：2、聲偶極子及擺動球的聲輻射聲偶極子的聲輻射聲偶極子的聲輻射據(jù)迭加原理：

(e

jwt略記）{Q

Q{

}d

cosq{

}cosq;+e-

jkr

e-

jkr4

π

r+

-4

π

r-e-

jkre-

jkrF

(r,q,

t)

=

F

+

(r,q,

t)

+F

-

(r,q,

t)=-?

Q=e-

jkr

}(r

-

r

)

=

-+

-?r

4

π

rQ

?4

π

?r

r=

-A

?4

π

?r

r其中,A

”Qd;偶極子矩d

<<

r聲偶極子輻射聲場的特點：{ }cos

qe-

j

krA

?4

π

?r

r?t\

p(r,q

)

=

-

jwr聲壓：

p(r,q,t)=r

?

F

(r,q,t)=jwrF

(r,q,t)結論1:聲偶極子的輻射聲場在與聲傳播方向的垂直方向上聲壓幅值分布不均勻。聲偶極子的聲輻射聲源的指向性：在聲源輻射聲場的遠場，聲源各方向距聲源等距離處聲場幅值的不均勻性稱作聲源的指向性。聲偶極子的聲輻射~p(q

,j

)

;0

0~p(q,j)D(q,j)

”其中：~p(q

,j

)=max{

~p(q,j)}0

0聲偶極子聲源的指向性函數(shù)：~p(q

,j

)

=

cosq0

0~p(q,j)D(q,j)

”向性函數(shù)，記D(q,j

)聲偶極子的聲輻射！定義，指向性函數(shù)：在聲源輻射聲場的遠場，以聲源為球心的球面上，在各方向上聲場幅值的歸一化函數(shù)稱作聲源的指{

}sin

q}

cos

q}}

cos

qe-

jkre-

jkr-

A

?4

π

r

?r

r=u

(r,q

)

=

-

?

F

(r,q

)

=

A

?

{

?

{q

r?q

4

π

r?q

?r

r?2

e-

jkr?

A\

ur(r,q

)

=

- F

(r,q

)

=

{?r

4

π

?r

2

ru

(r,q,

t

)

=

-

F

(r,q,

t

)振速：

er

eq聲偶極子的輻射聲場的質點振速有

和

分量。結論2：聲偶極子的聲輻射2rcosq

Rrcosq

Ree

sinq4

π

r

?r

-

A

?r

rWq

(r,q,

t)

=

Re

4

πcosq

4

π

?r

A?r

rWr

(r,q,

t)

=

Re

4

π?

e

j(wt

-kr

)

jwrA

?

e

j(wt

-kr

)

?2

e

j(wt

-kr

)

jwrA

?

e

j(wt

-kr

)

聲強：

I

(r,q)

=

W

(r,q,

t)聲能流密度矢量：W

(r,q,t)=p(r,q,t)u(r,q,t)

Ir

(r,q)

=

Wr(r,q,

t)

Iq

(r,q)

=

Wq

(r,q,

t)

=

0\

I

(r,q)

=

Ir

(r,q)

=

Wr(r,q)結論3：聲偶極子輻射場的聲能流矢量的時間均值只有

分量。er聲偶極子的聲輻射xe2p-

j

(

x-

)(1)

h(2)(kr)的初等函數(shù)表示：h(2)(x)=0

0dxdh(

2)

(x)

0

dx(

2)1(x)

=l

-1

l

+1取l

=

0；

-

h(2)

j

(kr)、n

(kr)或h(1)(kr)、h(2)(kr)等球函數(shù)的遞推關系：l

l

l

llq

(x)

-

(l

+1)q

(x)

=

(2l

+1)

dql

(x)2120

1

2P

(

x)

=1;

P

(

x)

=

x;

P

(

x)

=

(3x

-1);(3)前3次勒讓德函數(shù)P0

(x)~

P3

(x)的多項式表示：聲偶極子的聲輻射復習：特殊函數(shù)的性質：1

12 (

2)1

12 (

2){

}cosqjk

h

(kr)P

(cosq)-

A4p=4p

?r

r-

A

?F

(r,q)

={

}cosq

=

jk

h

(kr)P

(cosq)?r

r?e-

jkre-

jkr偶極子矩為A的偶極子聲源輻射聲場速度勢函數(shù):由特殊函數(shù)性質，可得:聲偶極子的聲輻射擺動球的聲輻射：-r

fi

￥r

=a?r

r

)

滿足無窮遠輻射條件F

(

?F

(

)r022=

v

cosqF

(r

)

+

k

F

(r

)

=

0;

其中,

k

=

w

/

c;

e

略jwt；

代入邊條件：；所以：￥"

(

2)""

(

2)"

(1)0"

(

2)球坐標系下，亥母霍茲方程的解為：（見前2

-8）l

=0l

l

lll

ll

=0l

l

ll

lln

l￥

ll

=0

n=0n

"

(1)n

l

ln

l由￥

遠邊條件，得：

A

=

0(kr)

+

B

h

(kr)}+

B

h

(kr)}B

h

(kr)P

(cosq)F

(r,q)

=P

(cosq){A

hF

(r,q)

=因為，軸對稱聲場，與j無關；所以：￥(這里，記：

P

(cosq)

=

P

(cosq));cos(nj

+j

)P

(cosq){A

h

(kr)F

(r,q,j)

=cosq

);(2)1

1

1

10"1h

(kr)P

(lr

=ar

=ar

=ar

=a￥l

=0r

=ar

=a?r?h(

2)

(kr)-

v0

1

?r?h(2)

(kr)-

v0\

F

(r,q)

=

h(

2)

(kr)

cosq

=B"

=

0;(l

?

1)

1

?r?h(2)(kr) -

v

\

B1

==

-v0

;?r"

?h(

2)

(kr)

B1Pl

(cosq)

=

v0

cosq

=v0

P1

(cosq)?r"

?h(2)

(kr)?r?F

(r,q)-=

-

Bl

l

\擺動球的輻射聲場速度勢函數(shù)為：jk

hk

2j

1

1

12

(2)(2

-(ka)2

)

+

j2ka?r?h(2)

(kr)A=

0

=

0

r

=a4pv

4pa3v

e

jka(kr)P

(cosq)-

A4pF

(r,q)

=\擺動球的偶子極矩為：偶子極矩為A的偶極子聲源輻射場的速度勢為：（見前）{

}cos

q(2

-

(ka

)2

)

+

j

2kap(r

=

a,q

)

=

rcv0

jka

(1

+

jka

)

cos

qA

?4p

?r

rp(r,q

)

=

-

jwre-

jkrds面元

x方向受力：(ds為球面上圓環(huán)，如圖）df

x

=

-

p(a,q

)ds

cos

q=

-

p(a,q

)

cos

q

2pa

sin

qadq=

2pa

2

p(a,q

)

cos

q