減肥的數(shù)學(xué)模型

減肥的數(shù)學(xué)模型第一頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日

隨著社會(huì)的進(jìn)步和發(fā)展，人們的生活水平不斷提高。由于飲食營(yíng)養(yǎng)攝入量的不斷改善和提高，“肥胖”已經(jīng)成為全社會(huì)關(guān)注的一個(gè)重要問題。無論從健康角度還是從審美角度，人們?cè)絹碓街匾曌约盒误w的健美，從而就導(dǎo)致目前社會(huì)上出現(xiàn)了各種各樣的減肥食品（或營(yíng)養(yǎng)素）、減肥飲料、減肥服裝、減肥藥和名目繁多的健美中心，讓人目不暇接，不知所措，上當(dāng)受騙者也不在少數(shù).問題的提出第二頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日以至各種媒體經(jīng)常提醒人們減肥一定要慎重，如何對(duì)待減肥是我們一定要正確對(duì)待的問題，于是了解減肥的機(jī)理成為減肥的關(guān)鍵。此外，對(duì)于從事某些體育項(xiàng)目的運(yùn)動(dòng)員（例如：舉重、體操、游泳等）來說，在比賽前也有都一個(gè)正確減肥的問題。第三頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日根據(jù)中國(guó)科學(xué)會(huì)修訂并建議的我國(guó)人民的每日膳食指南可知：每日膳食中，營(yíng)養(yǎng)素的供給量是作為保證正常人體健康而提出的膳食質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)。營(yíng)養(yǎng)素的需求量系指維持身體正常的生理功能所需要的營(yíng)養(yǎng)素的數(shù)量。如果人們?cè)陲嬍持袛z入營(yíng)養(yǎng)素的數(shù)量低于這個(gè)數(shù)量，將對(duì)身體產(chǎn)生不利的影響。

背景知識(shí)第四頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日人體的體重是評(píng)定膳食能量攝入適當(dāng)與否的重要標(biāo)志。人們熱能需要量的多少，主要取決于三個(gè)方面：維持人們基本代謝所需的能量、從事勞動(dòng)和其他活動(dòng)所消耗的能量以及食物的特殊動(dòng)力作用（將食物轉(zhuǎn)化為人體所需的能量）所消耗的能量。一般情況下，成年男子每1kg體重每小時(shí)平均消耗熱量為4200J。一般情況下，食用普通的混合膳食，食物的特殊動(dòng)力作用所需要的額外的能量消耗相當(dāng)于基礎(chǔ)代謝的10%。第五頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日人體的脂肪是存儲(chǔ)和提供能量的主要方式，而且也是減肥的主要目標(biāo)。對(duì)于一個(gè)成年人來說體重主要有三部分組成：骨骼、水和脂肪。骨骼和水大體上可以認(rèn)為是不變的，我們不妨以人體脂肪的重量作為體重的標(biāo)志。已知脂肪的能量轉(zhuǎn)換率為100%，每千克脂肪可以轉(zhuǎn)換為J的能量。記D=J/kg，成為脂肪的能量轉(zhuǎn)換系數(shù)。問題分析與模型假設(shè)第六頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日人的體重僅僅看成是時(shí)間t的函數(shù)w(t)，而與其它因素?zé)o關(guān)，這意味著在研究減肥過程中，我們忽略了個(gè)體的差異(年齡、性別、健康狀況等)對(duì)減肥的影響。體重隨時(shí)間是連續(xù)變化的，即w(t)是連續(xù)函數(shù)且充分光滑，因此可以認(rèn)為能量的攝取和消耗是隨時(shí)發(fā)生的。第七頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日不同的活動(dòng)對(duì)能量的消耗是不同的，例如：踢足球和打羽毛球；而且能量的消耗與體重有關(guān)，例如：體重分別為50kg和100kg的人都跑1000m，所耗的能量顯然不同?？梢?，活動(dòng)對(duì)能量的消耗也不是一個(gè)簡(jiǎn)單的問題，但考慮到減肥的人會(huì)為自己制定一個(gè)合理且相對(duì)穩(wěn)定的減肥計(jì)劃，我們可以假設(shè)在單位時(shí)間(1日)內(nèi)人體活動(dòng)所消耗的能量與其體重成正比，記B為每1kg體重每天因活動(dòng)所消耗的能量第八頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日

根據(jù)上述背景知識(shí)和模型的假設(shè)，我們就可以組建減肥的數(shù)學(xué)模型。單位時(shí)間內(nèi)人體用于基礎(chǔ)代謝和食物特殊動(dòng)力作用所消耗的能量成正比于人的體重。記C為1kg體重每天消耗的能量。減肥者一般對(duì)自己的飲食有相對(duì)嚴(yán)格的控制，在本問題中，為簡(jiǎn)單計(jì)，我們可以假設(shè)人體每天攝入的能量是一定的，記為A。第九頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日

建模過程中，我們以“天”為時(shí)間單位。根據(jù)假設(shè)3，我們可以在任何一個(gè)時(shí)間段內(nèi)考慮能量的攝入和消耗所引起的體重的變化。根據(jù)能量的平衡原理，任何時(shí)間段內(nèi)由于體重的改變所引起的人體內(nèi)能量的變化應(yīng)該等于這段時(shí)間內(nèi)攝入的能量與消耗的能量的差。模型的建立

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考慮時(shí)間區(qū)間內(nèi)能量的改變,根據(jù)能量平衡原理,有由積分中值定理有其中第十一頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日于是令取極限得*

這就是在一定化簡(jiǎn)層次上的減肥數(shù)學(xué)模型.我們知道模型的某些假設(shè)不十分合理,但我們希望求解模型*,看看能否說明一些問題.第十二頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日

設(shè)為模型的初始時(shí)刻,這時(shí)人的體重為.模型*的求解方法很多,下面用積分因子法求解.在*的兩邊同時(shí)乘以得即模型的求解第十三頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日從0到t積分，并利用初值得第十四頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日模型的分析與修改推廣

1）a/b是模型中的一個(gè)重要參數(shù)。A=A/D是每天由于能量的攝入而增加的體重。b=(B+C)/D是每天由于能量的消耗而失去的體重。2)假設(shè)a=0,即停止進(jìn)食，無任何能量攝入，體重的變化（減少）完全是脂肪的消耗而產(chǎn)生。此時(shí)，

。第十五頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日（1）不進(jìn)食的節(jié)食減肥法是很危險(xiǎn)的。因?yàn)?，即體重（脂肪）都消耗盡了，如何能活命！實(shí)際上，媒體報(bào)道過很多例子，都是產(chǎn)生厭食癥從而身體抵抗力減弱，導(dǎo)致其它并發(fā)疾病而死亡。

（2）當(dāng)a=0時(shí)，由解式有

，這表明在[0，t]內(nèi)體重減少的百分率為，稱之為[0,t]內(nèi)體重消耗

第十六頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日率。特別的，是單位時(shí)間內(nèi)體重的消耗率，事實(shí)上，所以自然為[0,t]內(nèi)的體重保存率，它表明t時(shí)刻體重占初始體重的百分率。

基于上面的分析，又解式可知，t時(shí)刻的體重由兩部分組成：一部分是初始體重中由于第十七頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日能量消耗而被保存下來的部分，另一部分是攝取能量而獲得的補(bǔ)充量，這一解釋從直觀上理解也是合理的。3)另外對(duì)于此模型，容易證明，當(dāng)且僅當(dāng)<時(shí)有dw/dt<0，這表明只有當(dāng)<才有可能產(chǎn)生減肥的效果。由解式有也就是說此模型的解漸進(jìn)穩(wěn)定與，他給出了減肥的最終結(jié)果，稱為減肥效果指標(biāo)。第十八頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日因?yàn)樗p很快，在有限時(shí)間內(nèi)，就很小，可以忽略；當(dāng)t充分大時(shí)，w(t)=a/b=A/(B+C),這表明任何人都不必為自己的體重?fù)?dān)心（肥胖、瘦?。睦碚撋现v，體重要多重就有多重，只要適當(dāng)調(diào)節(jié)A（進(jìn)食）、B（活動(dòng)）、C（新陳代謝）。同時(shí)也說明了，任何減肥方法都是考慮和調(diào)節(jié)上述三個(gè)要素：節(jié)食是調(diào)節(jié)A、活動(dòng)是調(diào)節(jié)B、減肥藥是調(diào)節(jié)C。由于C是基礎(chǔ)代謝和食物特殊動(dòng)力的消耗，第十九頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日他不可能作為減肥的措施隨著每個(gè)人的意愿進(jìn)行改變，對(duì)于每個(gè)人而言可以認(rèn)為是一個(gè)常數(shù)。有大量事實(shí)表明，通過調(diào)整新陳代謝的方法來減肥是值得推敲的。于是我們有如下結(jié)論，減肥的效果主要由兩個(gè)因素控制：進(jìn)食攝取能量和活動(dòng)消耗能量，從而減肥的兩個(gè)重要措施是控制飲食和增加活動(dòng)量。這也是熟知的常識(shí)。第二十頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日

4)進(jìn)一步討論能量的攝取量A與活動(dòng)消耗量B對(duì)減肥效果的影響。由=A/(B+C)有A=B+C,在A-B坐標(biāo)系內(nèi)表示一條過點(diǎn)（-C,0）斜率為的直線。根據(jù)背景知識(shí)，任何人通過飲食攝取的能量不能低于用于維持正常生理公能所需要的能量。因此作為人體體重極限值的減肥效果指標(biāo)一定存在一個(gè)下限，當(dāng)<時(shí)表明能量攝入過低，無法滿足維持人體正常的生理功能所需要的能量。這時(shí)減肥得到的結(jié)果不能認(rèn)為是有效的，它將危及人體的健康，是非常危險(xiǎn)的，因而稱為減肥臨界指標(biāo)。此外，人們?yōu)闇p肥所采用的各種體力活動(dòng)對(duì)能量的消耗也有一個(gè)人體所能承受第二十一頁，共二十三頁，編輯于2023年，星期日的范圍，即存在使得0<B<,于是在A-B平面上由B=0、B=和A=0所界出的上半帶形區(qū)域被直線：A=B+C和：A=B+C分割成三個(gè)區(qū)域：、和，這表明減肥的效果是控制飲食和增加消耗綜合作用、相互協(xié)調(diào)的結(jié)果。在區(qū)域中，能量的攝取量A大于體重為（初始體重）時(shí)的消耗量（B+C），這時(shí)體重將在基礎(chǔ)上繼續(xù)增加，故稱之為非減肥區(qū)。而在區(qū)域中，能量的攝取量A低于體重為時(shí)的消耗量（B+C)

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