用二分法求方程的近似解

用二分法求方程的近似解當前第1頁\共有20頁\編于星期五\6點（1）通過用“二分法”求方程的近似解,使學生體會函數(shù)的零點與方程根之間的聯(lián)系,初步形成應用函數(shù)觀點處理問題的意識；(重點）（2）體會數(shù)學逼近過程，感受精確與近似的相對統(tǒng)一.

（難點）

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在一個風雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的電話線路發(fā)生了故障．這是一條10km長的線路，如何迅速查出故障所在？

如果沿著線路一小段一小段查找，困難很多．每查一個點要爬一次電線桿，10km長，大約有200多根電線桿呢．想一想，維修線路的工人師傅怎樣工作最合理？BACDE當前第3頁\共有20頁\編于星期五\6點

假設在區(qū)間[-1,5]上，f(x)的圖象是一條連續(xù)的曲線，且f(-1)>0,f(5)<0，即f(-1)f(5)<0，我們怎樣依如上方法求得方程f(x)=0的一個解?-1f(x)yxO12345當前第4頁\共有20頁\編于星期五\6點

像上面這種求方程近似解的方法稱為二分法.二分法的定義：定義：對于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法（bisection）.當前第5頁\共有20頁\編于星期五\6點【思考】(1)所有的函數(shù)都有零點嗎？(2)若函數(shù)有零點，是否都可用二分法求出？xyoxyoxyo當前第6頁\共有20頁\編于星期五\6點例1.求函數(shù)f(x)=x3+2x2-3x-6的正數(shù)零點(精確度為0.1).【解題指南】本題考查函數(shù)零點的概念以及用二分法求函數(shù)零點的具體步驟.求正數(shù)零點，關鍵是確定一個包含此零點的區(qū)間.【解析】確定一個包含正數(shù)零點的區(qū)間(m，n)，且f(m)·f(n)<0.因為f(0)=-6<0，f(1)=-6<0，f(2)=4>0，所以可以取區(qū)間(1,2)作為計算的初始區(qū)間.因為f(1)=-6<0，f(2)=4>0，所以存在x0∈(1,2)，使f(x0)=0.用二分法逐步計算，列表如下：當前第7頁\共有20頁\編于星期五\6點端點(中點)端點或中點的函數(shù)值的符號取值區(qū)間f(1)<0,f(2)>0(1,2)f(1.5)<0(1.5，2)f(1.75)>0(1.5,1.75)當前第8頁\共有20頁\編于星期五\6點由于|1.75-1.6875|=0.0625<0.1.∴函數(shù)的正零點的近似值為1.6875.端點(中點)端點或中點的函數(shù)值的符號取值區(qū)間f(1.625)<0(1.625,1.75)f(1.6875)<0(1.6875,1.75)當前第9頁\共有20頁\編于星期五\6點給定精確度,用二分法求函數(shù)f(x)的零點近似值的步驟如下：1.確定區(qū)間，驗證，給定精確度；2.求區(qū)間（a,b）的中點c；3.計算（1）若，則c就是函數(shù)的零點；（2）若,則令b=c(此時零點x0∈(a,c))；（3）若,則令a=c（此時零點x0∈(c,b)).即若，則得到零點近似值a(或b）；4.判斷是否達到精確度：否則重復步驟2～4．當前第10頁\共有20頁\編于星期五\6點例2.求函數(shù)f(x)=lnx+2x-6在區(qū)間（2，3）內的零點（精確度為0.01）.解：畫出y=lnx及y=6-2x的圖象，觀察圖象得，方程lnx=6-2x有唯一解，記為x1，且這個解在區(qū)間（2，3）內y=－2x+6y=lnx6Ox1234y當前第11頁\共有20頁\編于星期五\6點根所在區(qū)間區(qū)間端點函數(shù)值符號中點值中點函數(shù)值符號（2，3）f(2)<0,f(3)>02.5f(2.5)<0（2.5，3）f(2.5)<0，f(3)>02.75f(2.75)>0（2.5，2.75）f(2.5)<0，f(2.75)>02.625f(2.625)>0（2.5，2.625）f(2.5)<0,f(2.625)>02.5625f(2.5625)>0（2.53125，2.5625）f(2.5)<0f(2.5625)>0（2.5，2.5625）f(2.53125)<0f(2.5625)>0f(2.53125)<02.53906252.546875（2.53125，2.546875）2.53125f(2.5390625)>0f(2.53125)<0f(2.546875)>0（2.53125，2.5390625）f(2.546875)>0f(2.53125)<0,f(2.5390625)>0列出下表：當前第12頁\共有20頁\編于星期五\6點由于所以，可以將作為函數(shù)零點的近似值，也即方程的近似根.注意精確度當前第13頁\共有20頁\編于星期五\6點2.二分法求函數(shù)零點步驟的記憶口訣定區(qū)間，找中點；中值計算兩邊看.同號丟，異號算，零點落在異號間.重復做，何時止，精確度來把關口.當前第14頁\共有20頁\編于星期五\6點

對二分法概念的理解【技法點撥】運用二分法求函數(shù)零點需具備的二個條件(1)函數(shù)圖象在零點附近連續(xù)不斷.(2)在該零點左右函數(shù)值異號.當前第15頁\共有20頁\編于星期五\6點【典例訓練】1.下列圖象與x軸均有交點，其中不能用二分法求函數(shù)零點的是()2.下面關于二分法的敘述，正確的是(

)(A)用二分法可求所有函數(shù)零點的近似值(B)用二分法求方程的近似解時，可以精確到小數(shù)點后的任一位(C)二分法無規(guī)律可循(D)只有在求函數(shù)零點時才用二分法BB當前第16頁\共有20頁\編于星期五\6點

用二分法求函數(shù)的零點【技法點撥】1.用二分法求函數(shù)零點的近似值應遵循的原則(1)需依據(jù)圖象估計零點所在的初始區(qū)間［m,n］(一般采用估計值的方法完成).(2)取區(qū)間端點的平均數(shù)c，計算f(c)，確定有解區(qū)間是［m,c］還是［c,n］，逐步縮小區(qū)間的“長度”，直到區(qū)間的兩個端點符合精確度要求，終止計算，得到函數(shù)零點的近似值.當前第17頁\共有20頁\編于星期五\6點【典例訓練】1.利用計算器，算出自變量和函數(shù)值的對應值如下表：x1.01.41.82.22.63.0…y=2x2.02.6393.4284.5956.0638.0…y=x21.01.963.244.846.769.0…那么方程2x=x2的一個根所在區(qū)間為()(A)(0.6,1.0)(B)(1.4,1.8)(C)(1.8,2.2)(D)(2.6,3.0)2.求方程x2=2x+1的一個近似解(精確度為0.1).C當前第18頁\共有20頁\編于星期五\6點1.二分法求函數(shù)的零點的近似值適合于()(A)零點兩側函數(shù)值符號相反(B)零點兩側函數(shù)值符號相同(C)都適合(D)都不適合A當前第19頁\共有20頁\