正弦定理余弦定理及應用

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考綱解讀正弦定理、余弦定理及應用（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.（2）能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題.考向預測

三角形的內容不僅能考查正、余弦定理的應用，而且能很好地考查三角變換的技巧，還可與立體幾何、解析幾何、向量、實際應用等知識相結合.因此在高考中常常出現，各種題型都有可能考.返回目錄

(2)a=2RsinA,b=2RsinB,

;(3)sinA=sinB=,sinC=等形式,以解決不同的三角形問題.

1.正弦定理:其中R是三角形外接圓的半徑.由正弦定理可以變形為:a:b:c=sinA:sinB:sinC;(1)

2R

c=2RsinC返回目錄

2.余弦定理:a2=

,b2=

,c2=

.余弦定理可以變形為:cosA=

,cosB=

,cosC=

.

3.S△ABC=absinC=

=acsinBb2+c2-2bccosAa2+c2-2accosBa2+b2-2abcosCbcsinA返回目錄

4.在解三角形時，正弦定理可解決兩類問題：（1）已知兩角及任一邊，求其他邊或角；（2）已知兩邊及一邊的對角，求其他邊或角.情況(2)中結果可能有一解、二解、無解三種情況，可以先解三角形，再根據“大邊對大角，小邊對小角”對解進行取舍.余弦定理可解決兩類問題:(1)已知兩邊及夾角;(2)已知三邊.返回目錄

考點1正弦定理的應用【分析】利用正弦定理

,求出sinB，再利用sin2B+cos2B=1求出cosB.

［2010年高考湖北卷］在△ABC中，a=15,b=10,A=60°則cosB=()A.B.C.-D.-返回目錄

【解析】由正弦定理得sinB=∵a>b,∴B<60°,∴cosB=故應選A.返回目錄

本題考查了正弦定理及同角三角函數基本關系式的應用.利用正弦定理可解決的問題是:(1)已知兩角一邊可求第三角,解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.(2)已知兩邊和一邊對角解三角形時,利用正弦定理求另一邊的對角時要注意討論該角,這是解題的難點,應引起注意.返回目錄

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［2010年高考湖南卷］在△ABC中,角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c.若∠C=120°,c=

a,則(

)A.a>b

B.a<bC.a=b

D.a與b的大小關系不能確定

【分析】由余弦定理得出a,b的關系,把邊長c用a表示,再找出a2與b2的大小關系.考點2余弦定理的應用返回目錄

【解析】由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,又C=120°,∴2a2=a2+b2+ab,∴a2=b2+ab>b2,∴a>b.故應選A.本題考查了余弦定理的應用,關鍵是去掉c,找出a與b的關系.返回目錄

在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,且.(1)求B的大小;(2)若b=,a+c=4,求△ABC的面積.返回目錄

【解析】(1)由余弦定理知,cosB=,cosC=.

將上式代入得整理得a2+c2-b2=-ac,∴cosB=∵B為三角形的內角，∴B=π.返回目錄

(2)將b=,a+c=4,B=代入b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac-2accosB，∴b2=16-2ac(1-),∴ac=3.∴S△ABC=acsinB=.返回目錄

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a,b,c,且b2+c2-a2+bc=0.(1)求角A的大小;(2)若a=,求bc的最大值;(3)求的值.考點3正、余弦定理的綜合應用返回目錄

【分析】(1)b2+c2-a2+bc=0的結構形式,可聯想到余弦定理,求出cosA,從而求出A的值.(2)由a=及b2+c2-a2+bc=0,可求出關于b,c的關系式,利用不等式,即可求出bc的最大值.(3)由正弦定理可實現將邊化為角的功能,從而達到化簡求值的目的.返回目錄

【解析】(1)∵cosA=又∵A∈(0,180°),∴A=120°.(2)由a=,得b2+c2=3-bc,

又∵b2+c2≥2bc（當且僅當c=b時取等號），∴3-bc≥2bc(當且僅當c=b時取等號）.

即當且僅當c=b=1時,bc取得最大值為1.返回目錄

(3)由正弦定理得∴返回目錄

(1)在三角形中求角,往往選擇先求該角的余弦值,然后利用余弦函數在(0,π)上的單調性求角.(2)正、余弦定理能實現邊角轉化，在解題時一定要重視.返回目錄

已知△ABC是半徑為R的圓內接三角形,且2R(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB.求角C解返回目錄

已知方程x2-(bcosA)x+acosB=0的兩根之積等于兩根之和，且a,b為△ABC的兩邊，A,B為兩內角，試判定這個三角形的形狀.考點4判斷三角形的形狀【分析】先由已知條件得出三角形的邊角關系.要判定三角形的形狀，只需將邊角關系轉化為邊之間或角之間的關系即可判定.返回目錄

【解析】方法一:設方程的兩根為x1,x2，由韋達定理知x1+x2=bcosA,x1x2=acosB.由題意有bcosA=acosB,根據余弦定理得b·=a·,∴b2+c2-a2=a2+c2-b2,化簡得a=b,∴△ABC為等腰三角形.返回目錄

方法二:同方法一得bcosA=acosB,由正弦定理得2RsinBcosA=2RsinAcosB,∴sinAcosB-cosAsinB=0,即sin(A-B)=0.∵0＜A＜π,0＜B＜π，∴-π＜A-B＜π.∴A-B=0，即A=B.故△ABC為等腰三角形.返回目錄

由三角形的邊角關系判定三角形的形狀，其基本思路是根據正弦定理和余弦定理進行邊角變換，全化為邊的關系或全化為角的關系（一般化為角較方便），然后利用簡單的平面幾何知識即可判定.應注意式子的等價變形和隱含條件的挖掘，以免漏解或增解.返回目錄

［2010年高考上海卷］某人要作一個三角形，要求它的三條高的長度分別是

,

,

，則此人將(

)A.不能作出滿足要求的三角形B.作出一個銳角三角形C.作出一個直角三角形D.作出一個鈍角三角形返回目錄

【解析】設三角形三邊長為a,b,c.根據三角形面積相等得S=a·=c·=b·,∴a=26S,c=10S,b=22S.由大角對大邊得26S對應的角最大，∴

.又A∈(0,π),∴∠A為鈍角.故應選D.返回目錄

1.正、余弦定理和三角形面積公式是本節(jié)課的重點，利用三角形內角和、邊、角之間的關系，三角函數的變形公式去判斷三角形的形狀，求解三角形

2.應熟練掌握和運用內角和定理:A+B+C=π,