正弦定理 省賽獲獎(jiǎng)

第2課時(shí)正弦定理課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.掌握正弦定理及其變形.(數(shù)學(xué)抽象)2.了解正弦定理的證明方法.(邏輯推理)3.掌握三角形正弦面積公式及其應(yīng)用.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)4.能應(yīng)用正弦定理解決相關(guān)問(wèn)題,并能綜合運(yùn)用正弦定理和余弦定理解決問(wèn)題.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥從金字塔的建造到尼羅河兩岸的土地丈量,從大禹治水到都江堰的修建,從天文觀測(cè)到精密儀器的制造,都離不開(kāi)對(duì)幾何圖形的測(cè)量、設(shè)計(jì)和計(jì)算.測(cè)量河流兩岸碼頭之間的距離,確定待建隧道的長(zhǎng)度,確定衛(wèi)星的角度與高度等問(wèn)題,都可以轉(zhuǎn)化為求三角形的邊與角的問(wèn)題,這就需要我們進(jìn)一步探索三角形的邊角關(guān)系,通常我們是通過(guò)正弦定理與余弦定理來(lái)研究三角形中的邊角關(guān)系的,這一節(jié)我們來(lái)學(xué)習(xí)——正弦定理.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)一、正弦定理

1.名師點(diǎn)析

正弦定理解三角形的常見(jiàn)類型(1)已知三角形的兩邊及一邊所對(duì)的角,求剩余的邊和角.(2)已知兩角和任一邊,求另外兩邊和一角.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥答案:(1)4

(2)45°激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥

答案:45°或135°激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)三、三角形的面積公式

名師點(diǎn)析

三角形面積公式的其他形式

激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)(1)在△ABC中,若AB=3,BC=4,B=120°,則△ABC的面積等于

.

(2)在△ABC中,若a=2,b=8,S△ABC=4,則C=

.

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)已知兩角和一邊解三角形例1在△ABC中,已知B=30°,C=105°,b=4,解三角形.分析由三角形的內(nèi)角和定理可求A的度數(shù).根據(jù)正弦定理可求a,c.解:因?yàn)锽=30°,C=105°,所以A=180°-(B+C)=180°-(30°+105°)=45°.反思感悟

已知兩角及一邊解三角形的解題方法(1)若所給邊是已知角的對(duì)邊,可先由正弦定理求另一邊,再由三角形的內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角,最后由正弦定理求第三邊.(2)若所給邊不是已知角的對(duì)邊,則先由三角形內(nèi)角和定理求第三個(gè)角,再由正弦定理求另外兩邊.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形例2在△ABC中,已知a=2,b=,A=45°,解三角形.分析先利用正弦定理求角B,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求角C,最后利用正弦定理求邊c.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角時(shí)解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一邊所對(duì)的角的正弦值.(2)當(dāng)已知的角為大邊所對(duì)的角時(shí),由三角形中“大邊對(duì)大角,大角對(duì)大邊”的法則能判斷另一邊所對(duì)的角是銳角還是鈍角.(3)當(dāng)已知的角為小邊所對(duì)的角時(shí),不能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角,這時(shí)由正弦值可求得兩個(gè)角,要分類討論.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)延伸探究

本例中,將條件改為“a=5,b=2,B=120°”,解三角形.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)判斷三角形的形狀例3在△ABC中,若(a-ccosB)sinB=(b-ccosA)sinA,判斷△ABC的形狀.分析探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)解:(方法一)∵(a-ccos

B)sin

B=(b-ccos

A)sin

A,∴由正弦定理、余弦定理,得整理,得(a2+b2-c2)b2=(a2+b2-c2)a2,即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,∴a2+b2-c2=0或a2=b2.∴a2+b2=c2或a=b.故△ABC為直角三角形或等腰三角形.(方法二)根據(jù)正弦定理,原等式可化為(sin

A-sin

Ccos

B)sin

B=(sin

B-sin

Ccos

A)sin

A,即sin

Ccos

Bsin

B=sin

Ccos

Asin

A.∵sin

C≠0,∴sin

Bcos

B=sin

Acos

A.∴sin

2B=sin

2A.∴2B=2A或2B+2A=π,即A=B或A+B=.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

三角形形狀的判斷方法判斷三角形的形狀,就是根據(jù)題目條件,分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等邊三角形、等腰直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形等.利用正弦定理判斷三角形形狀的方法如下:探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)延伸探究

本例中,將條件改為“在△ABC中,若(a-acosB)sinB=(b-ccosC)sinA”,判斷△ABC的形狀.解:因?yàn)?a-acos

B)sin

B=(b-ccos

C)sin

A,所以asin

B-acos

Bsin

B=bsin

A-ccos

Csin

A,而由正弦定理可知asin

B=bsin

A,所以acos

Bsin

B=ccos

Csin

A,即sin

Acos

Bsin

B=sin

Ccos

Csin

A,所以cos

Bsin

B=sin

Ccos

C,即sin

2B=sin

2C,所以2B=2C或2B+2C=180°,即B=C或B+C=90°,故△ABC是等腰三角形或直角三角形.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)三角形面積公式的應(yīng)用例4計(jì)算下列各三角形的面積.(1)在△ABC中,a=5,c=3,B=150°;(2)在△ABC中,a=8,b=8,A=30°;(3)在△ABC中,a=2,b=3,c=4.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

三角形面積的求解思路求三角形面積時(shí),由于三角形面積公式有不同形式,因此實(shí)際使用時(shí)要結(jié)合題目的條件靈活運(yùn)用公式求解.當(dāng)三角形的兩邊及其夾角都已知或能求出時(shí),常利用探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練2(1)在△ABC中,若A=60°,b=16,S△ABC=64,則c=

;

(2)在△ABC中,已知C=120°,AB=2AC=2,則△ABC的面積等于

.

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)對(duì)三角形解的個(gè)數(shù)的探究已知三角形的兩角和任意一邊,求其他的邊和角,此時(shí)有唯一解,即當(dāng)三角形的兩角和任意一邊確定時(shí),三角形被唯一確定.已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角,求其他的邊和角,此時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解或無(wú)解的情況,三角形不能被唯一確定.因此“已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,求另一邊的對(duì)角”時(shí),需要分析三角形解的情況,下面以已知a,b和角A解三角形為例進(jìn)行說(shuō)明.由正弦定理、正弦函數(shù)的有界性及三角形的性質(zhì)可得,在△ABC中,已知a,b和角A時(shí),解的情況如下:探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)方法點(diǎn)睛三角形解的個(gè)數(shù)也可由三角形中“大邊對(duì)大角”來(lái)判定.設(shè)A為銳角,若a≥b,則A≥B,從而B(niǎo)為銳角,有一解.若a<b,則A<B,由正弦定理得sin

B=:①sin

B>1,即a<bsin

A,無(wú)解;②sin

B=1,有一解;③sin

B<1,即bsin

A<a<b,有兩解.事實(shí)上,判斷三角形解的個(gè)數(shù),就是根據(jù)“大邊對(duì)大角”、三角形內(nèi)角和定理、正弦函數(shù)的有界性等進(jìn)行判斷.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成