考研數(shù)學(xué)二模擬題及答案

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4.微分方程y

2y

xe2x的特解y形式為（）.

*

2x

*

2x

(A)y

(axb)e(B)yaxe

(C)y

*

ax2e

2x

(D)y

*

(ax

2

bx)e

2x

2022年考研數(shù)學(xué)模擬試題（數(shù)學(xué)二）

參考答案

一、挑選題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分，每小題給出的四個選項中，惟獨一項符合題目要求，把所選項的字母填在題后的括號內(nèi)）1.設(shè)x是多項式0P(x)

x

4

ax

3

bx

2

cxd的最小實根，則（）.

（A）P(x0)0（B）P(x0)0（C）P(x0)0（

D）P(x0)0解挑選A.因為limP(x)

x

x0

，又x0是多項式P(x)的最小實根，故P(x0)

0.

2.設(shè)lim

xa

f(x)3

xf(a)

a

1則函數(shù)f(x)在點xa（）.

（A）取極大值（B）取微小值（C）可導(dǎo)（D）不行導(dǎo)

o

o

解挑選D.由極限的保號性知，存在U(a)，當xU(a)時，

f(x)3

xf(a)

a

0，當xa

時，f(x)

f(a)，當xa時，f(x)f(a)，故f(x)在點xa不取極值.

lim

f(x)f(a)a

lim

f(x)f(a)

a

1

xa

xxa

3

x3

(xa)

2

，所以f(x)在點xa不行導(dǎo).

3.設(shè)f(x,y)延續(xù)，且滿足f(x,y)f(x,y)，則

f(x,y)dxdy（）

.x2y21

（A）211x2

11y

2

0dx

f(x,y)dy（B）20

dy1y2

f(x,y)dx11x211y

2

（C）2

dx

1x

2

f(x,y)dy

（D）2

dy

f(x,y)dx

解挑選B.由題設(shè)知

f(x,y)dxdy2

f(x,y)dxdy210dy

1y

21y2

f(x,y)dx.

x2y21x2y21,y0

解挑選D.

A與

B相像可以推出它們的多項式相像，它們的特征多項式相等，故A，

C正

確，又A和B為實對稱矩陣，且A與B相像，可以推出A與B合同，故B正確.

8.A

Amn，R(A)r，b為m維列向量，則有（）.

(A)當rm時，方程組Axb有解

(B)當rn時，方程組Axb有唯一解

(C)當mn時，方程組Axb有唯一解(D)當rn時，方程組

Axb有無窮多解

解挑選D.特征方程r

2

2r

0，特征根r0,r2，

2是特征根，特解y*

形式為

y

*

x(axb)e2x

.

5.設(shè)函數(shù)f(x)延續(xù)，則下列函數(shù)中，必為偶函數(shù)的是（）

.

xx

（A）

f(t2

)dt

（B）

f2

(t)dt

x

x

（C）

t[f(t)f(t)]dt

（D）

t[f(t)f(t)]dt

解挑選C.因為t[f(t)f(t)]為奇函數(shù)，故

x0

t[f(t)f(t)]dt為偶函數(shù).

6.設(shè)在全平面上有f(x,y)x

0，

f(x,y)y

0，則保證不等式f(x1,y1)

f(x2,y2)成立的

條件是（）（A）x1x2，y1y2.（C）x1

x2，y1

y2.

（B）x1x2，y1y2.（D）x1

x2，y1

y2.

解挑選A.

f(x,y)x

f(x,y)關(guān)于x單調(diào)削減，

f(x,y)y

f(x,y)關(guān)于y單調(diào)增強，

當x1

x2，y1

y2時，f(x1,y1)f(x2,y1)f(x2,y2).

7.設(shè)A和B為實對稱矩陣，且A與B相像，則下列結(jié)論中不正確的是（）

.

(A)A

E與BE相像(B)

A與

B合同(C)

A

E

B

E

(D)

A

EB

E

32

33

解挑選A.當

rm時，rA,br(A)，方程組Axb有解.

二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分，把答案填在題中橫線上）

19.lim(1

x)

x

e

.

x0

x

解答案為

e.

2

11

1

(1x)

x

e

ex

ln(1x)ln(1e

ex

x)11

lim

lim

elim

x0

x

x0

xx0

x

elim1ln(1xx)1elimln(1x)x11elim

1x

e

x0xx0x2

x02x

2

2

u

10設(shè)f有二階延續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，u

f(x,xy,xyz)，則

.

zy

2

2

解答案為xf3xyfxyzf.

uxyf

z

3

2

u

xf

xy(f

xf

xz)xf

x2

yf

x2

yzf

3

32

33

3

32

33

zy

11.設(shè)微分方程

y

yx()的通解為yx

y

xlnCx

，則(x)

.

解答案為

12.將y

x

xlnCx

代入微分方程，得

(lnCx)

1ln2

Cx

，故

(x)

1.

x

2

12.數(shù)列

n

n中最大的項為

.

3

解答案為3.

【將數(shù)列的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問題，以方便用導(dǎo)數(shù)解決問題】

1

1

lnx1lnx

1lnx

設(shè)f(x)

xxx

e

x

，f(x)

ex

0xe，

x

2

xe時，f(x)0，f(x)單調(diào)增強，故ne時，f(n)

n

n遞增，2最大，

xe時，f(x)0，f(x)單調(diào)削減，故ne時，f(n)

n

n遞減，3

3最大，

x

366

又3982，數(shù)列n3

n的最大項為3.

13.方程5x2xdt

80在區(qū)間(0,1)內(nèi)的實根個數(shù)為.

01t

解答案為1.令f(x)5x2xdt，f(0)20,f(1)31dt0，

01t801t8

由零點定理知，此方程在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個實根，又調(diào)增強，故此方程在區(qū)間(0,1)內(nèi)有且僅有一個實根.f(x)5

1

1x8

0，f(x)單

14.設(shè)n階矩陣A的秩為n2，1,2,3是非齊次線性方程組Axb的三個線性無關(guān)的解，則Axb的通解為.

解答案為

1

k1(21)k2(31)，k1,k2為隨意常數(shù).

1

,2,3是非齊次線性方程組Axb的三個線性無關(guān)的解，則21,31是Ax0

的兩個解，且它們線性無關(guān)，又nr(A)2，故21,31是Ax0的基礎(chǔ)解系，

所以Axb的通解為

1

k1(21)k2(31).

三、解答題（本題共9小題，滿分94分。解答應(yīng)寫出文字說明、證實過程或演算步驟）

1

[(1x)xe]sinln(1x)

15.（本題滿分9分）求極限lim.

x01xsinx1

解

111

ln(1x)1

ln(1x)1

[(1x)xe]sinln(1x)(1x)xeexeex1lim2lim2lim2elim

x01xsinx1x0xx0xx0x

elim1

ln(1

x

x)1

2elimln(1x)x

1

1

2elim1xe

x0xx0x2x02x

16.（本題滿分9分）設(shè)f(x)單調(diào)且具有一階延續(xù)導(dǎo)數(shù)，zf(x(y))滿足(y)

zz

xy

0，求可導(dǎo)函數(shù)(y).

解z

f，

z

f

xy

(y)，代入方程(y)

zz

xy

0，得(y)ff(y)0，

即(y)(y)，解得(y)Cex，其中C為隨意常數(shù).

17.（本題滿分1計算積分9分）

2y

21dy11y2

(x2y2

sin3y)dx解畫出二重積分區(qū)域D，D1是D的第一象限部分，由對稱性，得1

21dy11y2

y2

(x2y2sin3y)dx

(x2y2sin3y)dxdyD

2(x2y2)dxdy22cos

r2drD

1

4d02

230

4(8cos3

22)d20292

318.（本題滿分11分）

求微分方程y2

a(y)0(a0)滿足初始條件yx

00，yx0

1的特解.

解令yp,ydp

，代入原方程，得

dx

dpdx

ap2

0，dpp2adx，dpp2adx，1paxC，

1由x0,y0,yp1，得C11，1p

ax1，p1ax1，即y1ax1，故y1ax1

dx1

ln(axa1)C，2由x

0,y0得C20，所以y

1

ln(ax1).

a

19.（本題滿分11分）

設(shè)f(x)和g(x)在區(qū)間(a,b)可導(dǎo)，并設(shè)在(a,b)內(nèi)f(x)g(x)f(x)

0，證實在(a,b)內(nèi)

至多存在一點

，使得f()0.

證設(shè)(x)

f(x)e

g(x)

，則

(x)e

g(x)

(f(x)

f(x)

g(x)).

若在(a,b)內(nèi)存在兩個不同的點

1

,2，使得f(1)

f(2)0，

則由羅爾定理知，至少存在一點

介于1,

2之間，使

()0，

22

即e

g()

(f()f()g())0，于是有

f

()f()g()0，與題設(shè)沖突，

故在(a,b)內(nèi)至多存在一點，使得f()

0.

20.（本題滿分11分）設(shè)有拋物線：y

abx2

，試確定常數(shù)

a,b的值，使得

⑴

與直線yx1相切；

⑵

與x軸所圍圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積最大.

解設(shè)切點為(x0,y0)，y

2bx，

切線斜率k

2bx

1x

1,y

a

1

，

2b4b111

代入切線方程，得a

4b

1

4(12b

b

a).⑴

又旋轉(zhuǎn)體體積Va

x2

dya

ay

dya

aydy2(a2a3)，

00b

b

V2(2a3a2

)0，解得a0或者a2，V32(26a)，V(0)40,V2

()

40，故a32時，體積V最大，3

2將a代入⑴得b3

323，所以a，b.

434

21.（本題滿分11分）

一質(zhì)量為m的物體以速度

v0從原點沿y軸正方向升高，假設(shè)空氣阻力與物體的運動速度平方成正比（比例系數(shù)k體升高的最大高度.

0），試求物體升高的高度所滿足的微分方程及初始條件，并求物

解按照牛頓其次定律，物體升高的高度

yy(t)所滿足的微分方程為

d2

y

dy2

m2

mgk

，

dt

dt

初始條件為y(0)

0,y(0)v0.

dy

dv

2

dvkv

2

v

代入方程，得dtmmgkv，

dt

g

，

dtm

記a

2

g,b

2

k

，

dv

a

2

mdt

bv，

dv

2

22

dt，

abv

積分得1arctanbv

tC，taba

0時，vv0，故C

1arctanbv0

，aba

22.（本題滿分11分）

T

設(shè)

1

1,2,3,1,

2

T

1,1,2,1,

3

T

1,3,a,3

,

4

3,5,7,1T

T

,

0,1,1,b.

⑴當a,b滿足什么條件時，

可由1

,2,3,4線性表示，且表示式唯一？

⑵當a,b滿足什么條件時，

可由

1

,2

,3,4線性表示，且表示式不唯一？并求出

的

表示式.

解設(shè)x1

1

x2

2

x3

3

x4

4

⑴，其增廣矩陣

(1,

2

,3,

1

113011130

21

35101

1

114

,)

~

32

a

7

100a41

1

131b00

2b2

⑴當a

4時，r(1,2,3,4,)r(1,2,3,4)4，方程組⑴有唯一解，即

可由

1,

2,3,

4線性表示，且表示式唯一

.

⑵當a

4時，(1,2,3,

4,)~

111300111

1，

10

b2

故當a4,

b2時，r(1,2

,3,4,)r(1,2

,3,4

)3，方程組⑴有無窮多解，即

可由1,