立體幾何教案

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦立體幾何教案.其次十六課時

課題：§9．9

棱柱和棱錐(二)

教學目的：

1.理解平行六面體的概念把握平行六面體、長方體、正方體的概念及性質；,弄清直平行六面體、

長方體、正方體的關系.

2.把握長方體對角線的性質,能利用其計算有關長度與角度的問題.教學重點：平行六面體、長方體的概念及性質教學難點：平行六面體、長方體的概念及性質授課類型：新授課課時支配：1課時

教具：多媒體、實物投影儀教學過程：

一、復習引入：

1多面體的概念：由若干個多邊形圍成的空間圖形叫多面體；每個多邊形叫多面體的面，兩個面的公共邊叫多面體的棱，棱和棱的公共點叫多面體的頂點，連結不在同一面上的兩個頂點的線段叫多面體的對角線．2．凸多面體：把多面體的任一個面展成平面，假如其余的面都位于這個平面的同一側，這樣的多面體叫凸多面體．如圖的多面體則不是凸多面體．

3．凸多面體的分類：多面體至少有四個面，根據它的面數(shù)分離叫四周體、五面體、六面體等

說明：我們今后學習的多面體都是．．

凸多面體4．棱柱的概念：有兩個面相互平行，其余每相鄰兩個面的交線相互平行，這樣的多面體叫棱柱兩個相互平行的面叫棱柱的底面（簡稱底）；其余各面叫棱柱的側面；兩側面的公共邊叫棱柱的側棱；兩底面所在平面的公垂線段叫棱柱的高（公垂線段長也簡稱高）

5．棱柱的分類：側棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱側棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱底面的是正多邊形的直棱柱叫正棱柱棱柱的底面可以是三角形、四邊形、五邊形……這樣的棱柱分離叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……

設集合{}A=棱柱，{}B=斜棱柱，{}C=直棱柱，{}D=正棱柱，則,B

CA

DC=?．

6．棱柱的性質

（1）棱柱的側棱相等，側面都是平行四邊形；直棱柱側面都是矩形；正棱柱側面都是全等的矩形；（2）棱柱的兩個底面與平行于底面的截面是對應邊相互平行的全等的多邊形（3）過棱柱不相鄰的兩條側棱的截面都是平行四邊形．7．直棱柱的直觀圖的畫法

畫棱柱的直觀圖共分四個步驟：①畫軸；②畫底面；③畫側棱；④成圖．

底面一定要畫成水平放置位置的平面圖形的直觀圖二、講解新課：

D'

C'

B'A'

D

C1平行六面體、長方體、正方體

底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體．側棱與底面垂直的平行六面體叫直平行六面體，底面是矩形的直平行六面體長方體，棱長都相等的長方體叫正方體．

2．平行六面體、長方體的性質

定理1：平行六面體的對角線交于一點，求證：對角線,,,ACBDCADB''''相交于一點，且在點O處相互平分．

證實：設O是AC'的中點，則11

()22

AOACABADAA''=

=++，設,,PMN分離是,,BDCADB'''的中點，同理：1

()2

APABADAA'=

++，1

()2AMABADAA'=++，

1

()2

ANABADAA'=++，

所以，,,,OPMN四點重合，定理得證

定理2：長方體的一條對角線長的平方等于一個頂點上的三條棱長的平方和．已知：長方體AC'中，AC'是一條對角線，求證：2

2

2

2

ACABADAA''=++．

證實：∵ACABADAA''=++，

∴2

||()()ACABADAAABADAA'''=++?++，

∵ABAD⊥，ABAA'⊥，AAAD'⊥，

∴2||ACABABADADAAAA'''=?+?+?222

||||||ABADAA'=++，

即2222

ACABADAA''=++．

三、講解范例：例1如圖平行六面體ABCDABCD''''-中，

,3

AA

BAADBADπ

''∠=∠∠=

，

,ABADaAAb'===，求對角面BBDD''的面積

HO

A'

D'C'B'D

C

B

A

解：∵BDADAB=-，∴()AABDAAADAB''?=?-，

∵AABAAD''∠=∠，,ABADaAAb'===，

∴()(coscos)0AABDAAADABabAABAAD''''?=

?-=∠-∠=，∴AABD'⊥，∵//AADD''，∴DDBD'⊥，

所以，對角面BBDD''是矩形，它的面積是BDBBab'?=．

例2．已知：正四棱柱ABCDABCD''''-的底面邊長為2，（1）求二面角BACB'--的大小；（2）求點B到平面ABC'的距離

解：（

1）連結BD，設,ACBD交于O，連結BO

'，

∵ABCD是正方形，∴BOAC⊥，又∵BB'⊥底面ABCD，∴BOAC'⊥，∴BOB'∠是二面角BACB'--的平面角，

在RtBOB'?中，1

2

OBAC==BB'=

∴45BOB'

∠=，∴二面角BACB'--為45．

（2）作BHBO'⊥于H，∵AC⊥平面BOB'，∴BHAC⊥，∴BH⊥平面ABC'，即BH為點B到平面ABC'的距離，在等腰直角三角形BOB'中，∵BBBO'==

∴1BH=，

所以，點B到平面ABC'的距離為1．

例3．棱長為a的正方體OABCOABC''''-中，,EF分離為棱,ABBC上的動點，且

(0)AEBFxxa==≤≤，

（1）求證：AFCE''⊥；

（2）當BEF?的面積取得最大值時，求二面角BEFB'--的大小．

證：（1）以O為原點，直線,,OAOCOO'分離為,,xyz軸建立空間直角坐標系，∴AEBFx==，

則(,0,)Aaa'，(0,,)Caa'，(,,0)Eax，(,,0)Faxa-，∴(,,),(,,)AFxaaCEaxaa''=--=--，

2)(aaxaaxCA+-+-='?'22

0axaxaa=-+-+=，

∴AFCE''⊥．

（2）由,BFxEBax==-，

則2211()()2228

BEF

xaxaSxax?+-=-≤=，當且僅當xax=-，即2

a

x=時等號成立，此時,EF分離為,ABBC的中點，取EF的中點M，連BM，則BMEF⊥，

按照三垂線定理知EFBM'⊥，∴BMB'∠即為二面角BEFB'--的平面角，

在RtBMF?中，22,24

BMBFaBBa'=

==，在RtBBM'?中，tan2224

BB

BMBBM

a''∠=

==，所以，二面角BEFB'--的大小是22arctan．

例4如圖，M、N分離是棱長為1的正方體''''DCBAABCD-的棱'BB、''CB的中點．求異面直線MN與'CD所成的角．解：∵MN＝

)(2

1

CC+，'CD＝CC+，∴·CDMN＝)'(2

1

BCCC+·)(CC+

＝

2

1

(2||CC＋CC·＋·CC＋·)．∵CDCC⊥'，BCCC⊥'，CDBC⊥，

∴0·'=CDCC，0'·=CCBC，0·=CDBC，∴·CDMN＝

212||CC＝2

1．又∵2

2

||=

MN，2||=CD，∴cos＜,CDMN'

·CDMN2

12·2

221=

，∴＜',CDMN＞＝

60，即異面直線MN與'CD所成的角為

60．

評述由以上例題，可以看到利用向量解幾何題的普通辦法：把線段或角度轉化為向量表示式，并用已知向量表示未知向量，然后通過向量的運算去計算或證實．四、課堂練習：

1

正方體1111ABCDABCD-中，11AA=，M為AD中點，N為

1BD上一點，1:1:2DNNB=，MC

BDP=，

（1）求證：NP⊥平面ABCD；

（2）求平面PNC與平面11CCDD所成的角；（3）求點C到平面1DMB的距離2．直平行六面體的兩條對角線分離為9cm33cm，底面周長為18cm，側棱長為4cm，求它的表面積

五、小結：.直平行六面體、長方體、正方體的關系.長方體對角線