2023學(xué)年完整公開課版不等式問題

第2講不等式問題高考定位

1.利用不等式性質(zhì)比較大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值、線性規(guī)劃、絕對(duì)值不等式的應(yīng)用問題是高考的熱點(diǎn)，主要以選擇題、填空題為主；2.在解答題中，特別是在解析幾何中求最值、范圍問題或在解決導(dǎo)數(shù)問題時(shí)常利用不等式進(jìn)行求解，難度較大.1.(2019·浙江卷)若a>0，b>0，則“a＋b≤4”是“ab≤4”的(

) A.充分不必要條件

B.必要不充分條件 C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

真

題

感

悟當(dāng)a>0，b>0，ab≤4時(shí)，令a＝4，b＝1，則a＋b＝5>4，這與a＋b≤4矛盾，因此必要性不成立.綜上所述，當(dāng)a>0，b>0時(shí)，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要條件.故選A.答案

A答案

C答案

4考

點(diǎn)

整

合5.|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法： (1)利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想； (2)利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想； (3)通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.6.不等式的證明

不等式的證明要注意和不等式的性質(zhì)結(jié)合起來，常用的方法有：比較法、作差法、作商法(要注意討論分母)、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法，還要結(jié)合放縮和換元的技巧.因此2a＋b的最小值為8.(2)由條件知f(2x)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2＝(f(x))2－2.∵f(2x)≥mf(x)－6對(duì)于x∈R恒成立，且f(x)>0，

∴m≤4，故實(shí)數(shù)m的最大值為4.答案(1)8

(2)4探究提高

1.利用基本不等式求最值，要注意“拆、拼、湊”等變形，變形的原則是在已知條件下通過變形湊出基本不等式應(yīng)用的條件，即“和”或“積”為定值，等號(hào)能夠取得.2.特別注意：(1)應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，若遇等號(hào)取不到的情況，則應(yīng)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解.(2)若兩次連用基本不等式，要注意等號(hào)的取得條件的一致性，否則會(huì)出錯(cuò).(2)∵4x2＋y2＋xy＝1，∴(2x＋y)2－3xy＝1，探究提高

在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，或?qū)s束條件中的一部分利用基本不等式，構(gòu)造不等式進(jìn)行求解.探究提高

對(duì)于含參數(shù)的不等式恒成立問題，常通過分離參數(shù)，把求參數(shù)的范圍化歸為求函數(shù)的最值問題，a＞f(x)恒成立?a＞f(x)max；a＜f(x)恒成立?a＜f(x)min.角度2函數(shù)法解決恒成立問題

【例2－2】(1)已知f(x)＝x2－2ax＋2，當(dāng)x∈[－1，＋∞)時(shí)，f(x)≥a恒成立，則a的取值范圍為________. (2)已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋x＋1對(duì)x∈[0，2]恒有f(x)＞0.則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.解析(1)法一f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x＝a，①當(dāng)a∈(－∞，－1)時(shí)，結(jié)合圖象知，f(x)在[－1，＋∞)上單調(diào)遞增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，即2a＋3≥a，解得－3≤a＜－1；②當(dāng)a∈[－1，＋∞)時(shí)，f(x)min＝f(a)＝2－a2，由2－a2≥a，解得－2≤a≤1.∴－1≤a≤1.綜上所述，所求a的取值范圍為－3≤a≤1.法二設(shè)g(x)＝f(x)－a，則g(x)＝x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，解得－3≤a≤1.(2)法一函數(shù)法.故f(x)在[0，2]上為增函數(shù)，且f(0)＝1，因此在x∈[0，2]上恒有f(x)＞0成立.若a＜0，則應(yīng)有f(2)＞0，即4a＋3＞0，

法二分離參數(shù)法.當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)＝1＞0成立.探究提高

參數(shù)不易分離的恒成立問題，特別是與二次函數(shù)有關(guān)的恒成立問題的求解，常用的方法是借助函數(shù)圖象根的分布，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間上的最值或值域問題.解析(1)因?yàn)閍∈[－2，2]，可把原式看作關(guān)于a的函數(shù)，即g(a)＝－xa＋x2＋1≥0，

解之得x∈R.解得－1≤a≤2，故a的取值范圍是[－1，2].答案(1)R

(2)[－1，2]解析

(1)由題可得，該約束條件表示的平面區(qū)域是以(2，2)，(1，1)，(4，－2)為頂點(diǎn)的三角形及其內(nèi)部區(qū)域(圖略).由線性規(guī)劃的知識(shí)可知，目標(biāo)函數(shù)z＝x＋3y在點(diǎn)(2，2)處取得最大值，在點(diǎn)(4，－2)處取得最小值，則最小值z(mì)min＝4－6＝－2，最大值z(mì)max＝2＋6＝8.(2)由約束條件畫出可行域(如圖所示的△ABC及其內(nèi)部)，

當(dāng)直線2x＋y－z＝0過點(diǎn)A時(shí)，z＝2x＋y取得最小值，所以1＝2×1－2a，

答案

(1)－2

8

(2)B探究提高對(duì)于線性規(guī)劃中的參數(shù)問題，需注意：(1)當(dāng)最值是已知時(shí)，目標(biāo)函數(shù)中的參數(shù)往往與直線斜率有關(guān)，解題時(shí)應(yīng)充分利用斜率這一特征加以轉(zhuǎn)化.(2)當(dāng)目標(biāo)函數(shù)與最值都是已知，且約束條件中含有參數(shù)時(shí)，因?yàn)槠矫鎱^(qū)域是變動(dòng)的，所以要抓住目標(biāo)函數(shù)及最值已知這一突破口，先確定最優(yōu)解，然后變動(dòng)參數(shù)范圍，使得這樣的最優(yōu)解在該區(qū)域內(nèi)即可.解析

(1)法一x＋1≤y≤2x表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，令z＝2y－x，易知z＝2y－x在點(diǎn)A(1，2)處取得最小值，最小值為3.(2)作出可行域，如圖陰影部分所示.設(shè)z＝y(tǒng)－x，則y＝x＋z.z的幾何意義是直線y＝x＋z的縱截距，通過圖象可知，當(dāng)直線y＝x＋z經(jīng)過點(diǎn)A(2，3)時(shí)，z取得最大值，此時(shí)zmax＝3－2＝1.當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)B(2，－1)時(shí)，z取得最小值，此時(shí)zmin＝－1－2＝－3.答案

(1)3

(2)－3

1解(1)由于a≥3，故當(dāng)x≤1時(shí)，(x2－2ax＋4a－2)－2|x－1|＝x2＋2(a－1)(2－x)＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，(x2－2ax＋4a－2)－2|x－1|＝(x－2)(x－2a).所以使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范圍是[2，2a].(2)①設(shè)函數(shù)f(x)＝2|x－1|，g(x)＝x2－2ax＋4a－2，則f(x)min＝f(1)＝0，g(x)min＝g(a)＝－a2＋4a－2，

探究提高

1.處理函數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合和分類討論是最常見的思想方法，準(zhǔn)確地畫出圖象可以回避許多冗長(zhǎng)的計(jì)算，從而直指問題的核心.最值函數(shù)是浙江省高考的特色.2.高考對(duì)函數(shù)的考查主要集中在兩個(gè)方面，在知識(shí)方面一般考查求函數(shù)的最值，研究函數(shù)的零點(diǎn)、單調(diào)性等問題；在思想方法上一般考查分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想.【訓(xùn)練4】

已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)，記M(a，b)是|f(x)|在區(qū)間[－1，1]上的最大值. (1)證明：當(dāng)|a|≥2時(shí)，M(a，b)≥2； (2)當(dāng)a，b滿足M(a，b)≤2時(shí)，求|a|＋|b|的最大值.所以M(a，b)＝max{|f(1)|，|f(－1)|}.當(dāng)a≥2時(shí)，由f(1)－f(－1)＝2a≥4，得max{f(1)，－f(－1)}≥2，即M(a，b)≥2.當(dāng)a＝2，b＝－1時(shí)，|a|＋|b|＝3，且|x2＋2x－1|在[－1，1]上的最大值為2，即M(2，－1)＝2.所以|a|＋|b|的最大值為3.當(dāng)a≤－2時(shí)，由f(－1)－f(1)＝－2a≥4，得max{f(－1)，－f(1)}≥2，即M(a，b)≥2.綜上，當(dāng)|a|≥2時(shí)，M(a，b)≥2.(2)解由M(a，b)≤2得|1＋a＋b|＝|f(1)|≤2，|1－a＋b|＝|f(－1)|≤2，故|a＋b|≤3，|a－b|≤3.1.多次使用基本不等式的注意事項(xiàng)

當(dāng)多次使用基本不等式時(shí)，一定要注意每次是否能保證等號(hào)成立，并且要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)，因此在利用基本不等式處理問題時(shí)，列出等號(hào)成立的條件不僅是解題的必要步驟，也是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法.2.基本不等式除了在客觀題考查外，在解答題的關(guān)鍵步驟中也往往起到“巧解”的作用，但往往需先變換形式才能應(yīng)用.3.解決線性規(guī)