2023年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)訓(xùn)練：閱讀理解

2023年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練:閱讀理解

1.一元二次方程中，根的判別式/=從-4加通常用來判斷方程實(shí)根個(gè)數(shù)，在實(shí)際應(yīng)用當(dāng)

中，我們亦可用來解決部分函數(shù)的最值問題，例如：已知函數(shù)y=V-6x+6,當(dāng)x為何

值時(shí)，），取最小值，最小值是多少？

解答：已知函數(shù)y=x?-6x+6,

.?.d-6x+（6-y）=0,（把y當(dāng)作參數(shù)，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程）

b2-4ac>0,ER36-4（6-y）>0,y>-3,

（當(dāng)y為何值時(shí)，存在相應(yīng)的x與之對(duì)應(yīng)，即方程有根）

因此y的最小值為-3,此時(shí)X2-6X+6=-3,解得石=芻=3,符合題意，

所以當(dāng)x=3時(shí)，ymin=-3.

應(yīng)用：

⑴已知I函數(shù)y=-4/+6x-3,當(dāng)》=時(shí)，》的最大值是.

（2）已知函數(shù)》=0^口，當(dāng)x為何值時(shí)，y取最小值，最小值是多少？

X--4x+4

2.數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國(guó)訪問途中，看到飛機(jī)上的乘客閱讀的雜志上有道智力題：

求59319的立方根，華羅庚脫口而出“39”，鄰座的乘客十分驚奇，忙問其中的奧妙.你

知道怎樣迅速地求出計(jì)算結(jié)果嗎？請(qǐng)你按下面的步驟試一試.

第一步：vV1000=10.V1000000=100,且1000<59319<l000000

A10<。9319<100.即59319的立方根是一個(gè)兩位數(shù).

第二步：???59319的個(gè)位數(shù)字是9,而9、=729.

能確定。59319的個(gè)位數(shù)字是9.

第三步：如果劃除59319后面的三位數(shù)，得到數(shù)59,而27<59<64.

.?.病〈病〈病，可得30<。59319<40.

???59319的立方根的十位數(shù)字是3.

.?.59319的立方根是39.

根據(jù)上面的材料解答下面的問題：

(1)填空：1728的立方根是一個(gè)______位數(shù)，其個(gè)位數(shù)字是；

(2)仿照上面的方法求157464的立方根a,并驗(yàn)證a是157464的立方根.

3.十八世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡(jiǎn)單多面體中頂點(diǎn)數(shù)(v),面數(shù)(/),棱數(shù)(e)

之間存在一個(gè)有趣的數(shù)量關(guān)系：i，+/-e=2,這就是著名的歐拉定理.而正多面體，是

指多面體的各個(gè)面都是形狀大小完全相同的的正多邊形，雖然多面體的家族很龐大，可

是正多面體的成員卻僅有五種，它們是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和

正二十面體，那今天就讓我們來了解下這幾個(gè)立體圖形中的“天之驕子”：

(1)如圖1,正四面體共有個(gè)頂點(diǎn)，條棱.

(2)如圖2,正六面體共有個(gè)頂點(diǎn)，條棱.

(3)如圖3是某個(gè)方向看到的正八面體的部分形狀(虛線被隱藏)，正八面體每個(gè)面都是

正三角形，每個(gè)頂點(diǎn)處有四條棱，那么它共有個(gè)頂點(diǎn)，條棱.

(4)當(dāng)我們沒有正12面體的圖形時(shí)，我們可以根據(jù)計(jì)算了解它的形狀：我們?cè)O(shè)正12面體

每個(gè)面都是正〃(〃23)邊形，每個(gè)頂點(diǎn)處有加(m23)條棱，則共有12〃+2=6〃條梭，有

12/712〃

12""?=——個(gè)頂點(diǎn).歐拉定理得到方程：——+12-6〃=2,且加，〃均為正整數(shù)，

mm

去掉分母后：12〃+12/x-6/?加=26，

將〃看作常數(shù)移項(xiàng)：12/一6/7〃?-2加=一12〃，

合并同類項(xiàng)：(10-6〃)相

-12?12〃

化系數(shù)為1：m=------=------

10—6〃6n-10

12/?12/7-20+2012〃—20202(6〃-⑼20_20

變形:m=------=------=----1---2|

6/2-106/7—106H—106〃—106/7-106/z-lO6〃-10

on

分析：碩心)，〃(在3)均為正整數(shù)，所以,是正整數(shù)，所以〃=5,畛3,即

試卷第2頁，共10頁

因此正12面體每個(gè)面都是正五邊形，共有30條棱，20個(gè)頂點(diǎn).

請(qǐng)依據(jù)上面的方法或者根據(jù)自己的思考得出：正20面體共有條棱；個(gè)頂

點(diǎn).

4.(1)閱讀材料：從代數(shù)角度上看，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離等于這兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)的差

的絕對(duì)值；從幾何角度上看，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離等于以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)組成的線段的長(zhǎng)

度.例如：點(diǎn)4、8在數(shù)軸上分別對(duì)應(yīng)的數(shù)為久b,則4、8兩點(diǎn)間的距離可表示為

\a-l^=AB.(完成下面填空)

I,數(shù)軸上有三點(diǎn)A、B、P,分別對(duì)應(yīng)的數(shù)為-3、2、X,

如圖①，當(dāng)xV-3時(shí)，|x+3|+k—2|=24+P3=E4+H4+AB=2PA+AB=2P4+5；

如圖②，當(dāng)—34x42時(shí)，k+3|+卜_2|=必+25==5；

如圖③，當(dāng)XN2時(shí)，\x+3\+\x-2\^PA+PB^PB+AB+PB^+AB=2PB+5；

PABAPBABP

-44/_II■-L4—I-*-L4-.L.J__I_I.j?>iLi_I_I_l-4-4-A

-4-3-2-10123-4-3-2-10123-4-3-2-10123

圖①圖②圖③

II.由I可得：VPA>0,PB20,

：.2PA+5>5,2PB+5>5,

|x+3|+|x—2|i4i—3<x<2時(shí)有最小值為.

(2)直接應(yīng)用：求|x—4|+|x+5|的最小值.

(3)應(yīng)用拓展：若S=|x—l|+|x+2|+k—6|,當(dāng)—24x46時(shí)，直接寫出S的取值范圍

5.閱讀理解：在解形如3|x-2|=|x-2|M這類含有絕對(duì)值的方程時(shí)，

解法一：我們可以運(yùn)用整體思想來解.移項(xiàng)得3|x-2|-|x-2|=4,2|x-2|=4,

|x-2|=2,x-2=±2,x=4或x=0.

解法二：運(yùn)用分類討論的思想，根據(jù)絕對(duì)值的意義分x<2和XN2兩種情況討論：

①當(dāng)x<2時(shí)，原方程可化為-3(x-2)=-(x-2)+4,解得x=0,符合x<2；

②當(dāng)XN2時(shí)，原方程可化為3(x-2)=(x-2)+4,解得x=4,符合x22.

原方程的解為x=0或*=4.

解題回顧：本解法中2為x-2的零點(diǎn)，它把數(shù)軸上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)分成了x<2和xN2

兩部分，所以分x<2和xN2兩種情況討論.

問題：結(jié)合上面閱讀材料，解下列方程：

(1)解方程：Ix-3|+8=3|x-3|

⑵解方程：|2-X|-3|X+1|=X-9

6.閱讀下面材料，完成(1)--(2)題.

數(shù)學(xué)課上，老師出示了這樣一道題：

ABC中，AB^AC,。是C4延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，E是BO的中點(diǎn)，G為BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)

E作砂，AE,E尸交OG的延長(zhǎng)線于F,連接CF,且FD=FC.求證OR，.

同學(xué)們經(jīng)過思考后，交流了自己的想法：

小明：“延長(zhǎng)AE到點(diǎn)”，使EH=AE,連接可以得到兩個(gè)陰影三角形全等.”

小偉：“繼續(xù)連接E4,FH,經(jīng)過進(jìn)一步推理，可以得到尸與ZACE的數(shù)量關(guān)系.”

小強(qiáng)：“根據(jù)等腰三角形的兩個(gè)底角相等，繼續(xù)添加適當(dāng)?shù)妮o助線，可以得出結(jié)論……”

圖1圖2

(1)求證：7DEH0BEA；

(2)探究/"E/與NACF的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(3)求證：DF工BC.

試卷第4頁，共10頁

7.閱讀材料：把形如o^+bx+c的二次三項(xiàng)式(或其一部分)配成完全平方式的方法

叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆寫，即4J±2必+/=(.±6)2,例

如：(*-1)2+3是*2一2了+4的一種形式的配方，(x-2『+2x是d-2x+4的另一種形式

的配方.

請(qǐng)根據(jù)閱讀材料解決下列問題：

(1)比照上面的例子，寫出f-4x+l的兩種不同形式的配方；

(2)已知x2+)，2-4x+6y+13=0,求2x-y的值；

(3)已知/+b2+C2-ab-3b-2c+4=0,求a+b+c的值.

8.選取二次三項(xiàng)式以2+區(qū)+,/(〃工0)中的兩項(xiàng)，配成完全平方式的過程叫配方.

例如：①選取二次項(xiàng)和一次項(xiàng)配方：X2-4X+9=(X-2)2+5；

②選取二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)配方：V-4x+9=(x—3y+2x或/一4x+9=(x+3)2-1Ox；

25

③選取一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)配方：X2-4%+9=(-X-3)2+-X2

根據(jù)上述材料，解決下面問題：

(1)若V+〃+1是完全平方式，請(qǐng)寫出所有滿足條件的不同單項(xiàng)式n,

⑵求代數(shù)式x2-4x+9最小值；

⑶寫出代數(shù)式/-8x+4的兩種不同形式的配方；

(4)已知*2+y2+_3y+3=0,求/的值.

9.閱讀下列材料?：

一般地，沒有公因式的多項(xiàng)式，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為四項(xiàng)或四項(xiàng)以上時(shí)，經(jīng)常把這些項(xiàng)分成若干組，

然后各組運(yùn)用提取公因式法或公式法分別進(jìn)行分解，之后各組之間再運(yùn)用提取公因式法

或公式法進(jìn)行分解，這種因式分解的方法叫做分組分解法.如：

因式分解：am+bm+an+bn

=(am+bm)+(an+bn)

=m(〃+0)+〃(a+b)

=Ca+b)(/%+〃)?

(1)利用分組分解法分解因式：

①3m-3y+am-ay；

@a2x+a2y+b2x+b2y.

(2)因式分解：a2+2ab+b2-1=(直接寫出結(jié)果).

10.在求1+2+22+23+24+???+2"的值時(shí)，張紅發(fā)現(xiàn)：從第二個(gè)加數(shù)起，每一個(gè)加數(shù)

都是前一個(gè)加數(shù)的兩倍，于是她假設(shè)：

S=1+2+22+23+24+-+210?,然后在①式的兩邊都乘以2,得：

2S=2+22+23+24+-+211@,

②-①得：2S-S=2"-1,所以S=2"-l

(1)請(qǐng)根據(jù)張紅的方法求1+3+32+33+34+…+31。的值.

(2)如果把2換成字母〃？(w#0),能否求出1+m+m2+m3+nft-{—卜源陽的值?如果

能，用含機(jī)的式子表示該值.

11.I問題提出］:如圖1，由〃X〃X〃(長(zhǎng)X寬X高)個(gè)小立方塊組成的正方體中，到底有

多少個(gè)長(zhǎng)方體(包括正方體)呢？

［問題探究］:我們先從較為簡(jiǎn)單的情形入手.

2,3

(1)如圖2,由2x1x1個(gè)小立方塊組成的長(zhǎng)方體中，長(zhǎng)共有1+2=”=3條線段，寬

和高分別只有1條線段，所以圖中共有3xlxl=3個(gè)長(zhǎng)方體.

試卷第6頁，共10頁

（2）如圖3,由2x2x1個(gè)小立方塊組成的長(zhǎng)方體中，長(zhǎng)和寬分別有1+2=三2'3=3條線

段，高有1條線段，所以圖中共有3x3x1=9個(gè)長(zhǎng)方體.

2,3

（3）如圖4,由2x2x2個(gè)小立方體組成的正方體中，長(zhǎng)、寬、高分別有1+2=孑=3

條線段，所以圖中共有個(gè)長(zhǎng)方體.

（4）由2x3x6個(gè)小立方塊組成的長(zhǎng)方體中，長(zhǎng)共有1+2=一3'2=3條線段，寬共有

條線段，高共有條線段，所以圖中共有個(gè)長(zhǎng)方體.

［問題解決］

（5）由〃個(gè)小立方塊組成的正方體中，長(zhǎng)、寬、高各有線段，所以圖中共

有個(gè)長(zhǎng)方體.

［結(jié)論應(yīng)用］

（6）如果由若干個(gè)小立方塊組成的正方體中共有3375個(gè)長(zhǎng)方體，那么組成這個(gè)正方體

的小立方塊的個(gè)數(shù)是多少？請(qǐng)通過計(jì)算說明你的結(jié)論.

12.閱讀下列材料?：求函數(shù)y=,3『+2X的最大值.

d+x+o.25

解：將原函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的一元二次方程，得y（N+x+0.25）=3/+2x.

整理，得（y-3*-（y_2）x+：y=0.

4

①當(dāng)月3時(shí)，???x為實(shí)數(shù)，.?.△=（y-2）2-4（y-3）x；y=-y+4N0,且）￥3；

13

②當(dāng)y=3時(shí)，（y-3）x2-（y-2）x+：y=0.即為x+：=0,方程有解（x的值存在）;

44

A><4.因此，y的最大值為4.

3r2J-Y4-?

根據(jù)材料給你的啟示，求函數(shù)y=：的最小值.

x2+2x+l

13.數(shù)學(xué)教科書中這樣寫道:“我們把多項(xiàng)式4+2而+〃及a2-2加+爐叫做完全平方式”，

如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：

先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，

這種方法叫做配方法.配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個(gè)看似

不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值，最

小值等.

例如：分解因式N+2X-3=(X2+2X+\)-4=(JC+1)2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)

(x-1)；例如求代數(shù)式2x2+4x-6的最小值，2x2+4x-6=2(x2+2x-3)=2(x+1)2

-8,可知當(dāng)x=-1時(shí)，2/+4x-6有最小值，最小值是-8.

根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：

(1)分解因式：m2-4m-5=.

(2)求代數(shù)式x2+〃+4的最小值.

(3)已知a、b、c是△ABC的三邊長(zhǎng)，且滿足“2+c2+26(6-〃-c)=0,試判斷A/WC

的形狀.

14.閱讀下面信息：

①數(shù)軸上兩點(diǎn)M、N表示數(shù)分別為外,j,那么點(diǎn)M與點(diǎn)N之間的距離記為|MN|,且

|W|=|x,-^|.

②當(dāng)數(shù)軸上三點(diǎn)A、8、C滿足IC4bzlc0(%>0)時(shí),則稱點(diǎn)C是“A對(duì)8的左相關(guān)點(diǎn)”.例

如，當(dāng)點(diǎn)4、B、C表示的數(shù)分別為0,1,2時(shí)，|C4|=2|CB|,所以C是“A對(duì)8的2

相關(guān)點(diǎn)

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

已知點(diǎn)A、B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為5和-4,動(dòng)點(diǎn)P在數(shù)軸上表示的數(shù)為上

(1)若點(diǎn)尸是“A對(duì)8的2相關(guān)點(diǎn)"，則x=_；

(2)若x滿足|x+3|+|x-2|=5,且點(diǎn)P是“A對(duì)8的k相關(guān)點(diǎn)”，則火的最大值是「最

小值是「

(3)若動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)。從B點(diǎn)出發(fā)以

每秒1個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)/秒時(shí)，點(diǎn)Q恰好是“P對(duì)A的2相關(guān)點(diǎn)”，求，的

值.

試卷第8頁，共10頁

15.先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題：例題：對(duì)于(x-2)(x-4)>0,

這類不等式我們可以進(jìn)行下面的解題思路分析：由有理數(shù)的乘法法則”兩數(shù)相乘，同號(hào)

x-2>0卜-2<0

得正“，可得(1)(2)

x-4>0[x-4<0

從而將陌生的高次不等式化成了學(xué)過的一元一次不等式組，分別解兩個(gè)不等式組即可求

得原不等式組的解集，即：解不等式組(1)得x>4,

解不等式組(2)得x<2,

所以(x-2)(x—4)>0的解集為x>4或x<2.

請(qǐng)利用上述解題思想解決下面的問題：

(1)請(qǐng)直接寫出(x—2乂X—4)<0的解集.

(2)對(duì)于'>0,請(qǐng)根據(jù)有理數(shù)的除法法則化為我們學(xué)過的不等式(組).

n

(3)求不等式■X+勺3>0的解集.

x-i

16.閱讀材料，完成下列問題：

材料一：若一個(gè)四位正整數(shù)(各個(gè)數(shù)位均不為0),千位和十位數(shù)字相同，百位和個(gè)位

數(shù)字相同，則稱該數(shù)為成對(duì)數(shù),，例如5353、3535都是成對(duì)數(shù)

材料二：將一位四位正整數(shù)機(jī)的百位和十位交換位置后得到四位數(shù)〃，

(1)F(1234)=_：尸(3232)=_

(2)試證明任意成對(duì)數(shù)能被101整除；

(3)若f為一個(gè)成對(duì)數(shù)，另一個(gè)成對(duì)數(shù)s=1000a+100(a+4)+10a+(a+4).(l%S8).若

F(s)+F(Z)為一個(gè)完全平方數(shù)，請(qǐng)求出所有滿足條件的F⑺的值.

17.【閱讀理解】如圖1,在四邊形4BC。中，^AB//DC,AD//BC,則四邊形ABC。

為平行四邊形，又知平行四邊形的對(duì)邊相等，對(duì)角相等，即：若四邊形ABC。是平行四

邊形，則A8=C￡>,AD=BC,/A=NC,NB=ND.

【問題解決】如圖2,力是等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)，過。作BC的平行線交AC于E,

延長(zhǎng)ED到G使GO=BD,連接AG、DC,過G作G/〃DC交BC于凡連接4凡

(1)求證：AG=￡>C；

(2)求證：AAGF是等邊三角形；

(3)若把上題中“。是AB上一點(diǎn)”改為“￡>是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)”把“延長(zhǎng)即”改為“延長(zhǎng)

其余條件不變，(1)、(2)的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)畫出圖形并證明

18.(1)閱讀下面的材料并把解答過程補(bǔ)充完整.

(x-y=2

問題：在關(guān)于X,y的二元一次方程組中，X>1,y<0,求。的取值范圍.

[x+y=a

分析：在關(guān)于4、y的二元一次方程組中，用。的代數(shù)式表示x,y,然后根據(jù)X>1,y

<0列出關(guān)于。的不等式組即可求得。的取值范圍.

a+2[a+2.

x=------------>1

x-y=227

解：由解得O又因?yàn)閤>l,y<0所以<解得。的取值范圍

x+y=aa-2a-2八

y=------------<0

122

是.

因?yàn)閤+y=a,所以a的取值范圍就是x+y的取值范圍.

(2)請(qǐng)你按照上述方法，完成下列問題：

①已知x-y=4,且x>3,y<l,求x+y的取值范圍；

②已知a-6=小，在關(guān)于x,y的二元一次方程組<'。中，xVO,y>0,請(qǐng)直

[x+2y=5a-8

接寫出的取值范圍.

試卷第10頁，共