二次函數(shù)綜合題

題型八二次函數(shù)綜合題類型一與線段、周長(zhǎng)有關(guān)的問題類型二與面積有關(guān)的問題類型三與特殊三角形有關(guān)的問題類型四與特殊四邊形有關(guān)的問題類型一與線段、周長(zhǎng)有關(guān)的問題典例精講例1如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A、B(1，0)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝

x－2經(jīng)過點(diǎn)A、C.拋物線的頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸為直線l.(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；【思維教練】已知直線y＝

x－2經(jīng)過點(diǎn)A、C，結(jié)合題干，可求得A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合B(1，0)，代入即可求出拋物線解析式，將拋物線解析式配方成頂點(diǎn)式，即可求得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．解：(1)對(duì)于直線

y＝

x－2，令y＝0，得x＝4，令x＝0得y＝－2，∴點(diǎn)A(4，0)，點(diǎn)C(0，－2)，已知點(diǎn)B(1，0)，將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：

解得∴拋物線的解析式為y＝－

x2＋

x－2.又由拋物線y＝－

x2＋

x－2得：y＝－(x2－5x)－2＝－(x－)2＋

，∴拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，)．(2)設(shè)點(diǎn)E為x軸上一點(diǎn)，且AE＝CE，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；【思維教練】已知點(diǎn)E在x軸上，則設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為(e，0)，要求點(diǎn)E的坐標(biāo)，已知AE＝CE，需先分別用含e的式子表示出AE和CE，由于A點(diǎn)坐標(biāo)(1)中已求得，則EA＝4－e，由題圖可知O、E、C三點(diǎn)可構(gòu)成Rt△COE，結(jié)合C點(diǎn)坐標(biāo)，利用勾股定理即可表示出CE的長(zhǎng)，建立方程求解即可．(2)如解圖①，由點(diǎn)E在x軸上，可設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(e，0)，連接CE，則EA＝4－e.在Rt△COE中，根據(jù)勾股定理得CE2＝OC2＋OE2＝22＋e2，∵AE＝CE，∴(4－e)2＝22＋e2，解得e＝

，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(，0)．例1題解圖①

(3)設(shè)點(diǎn)G是y軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)G，使得GD＋GB的值最小，若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；【思維教練】要求GD＋GB的值最小，解決方法為找其中一點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，將兩條線段轉(zhuǎn)化成一條線段求解，即先找點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，再連接B′D，則B′D與y軸的交點(diǎn)即為所求的G點(diǎn)，可先求直線B′D的解析式，再求其與y軸的交點(diǎn)即可．(3)存在．如解圖②，取點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(－1，0)．連接B′D，直線B′D與y軸的交點(diǎn)G即為所求的點(diǎn)．設(shè)直線B′D

的解析式為y＝kx＋d(k≠0)，其中D(，)，

解得例1題解圖②∴直線B′D的解析式為y＝

x＋

，令x＝0，得y＝

，∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為(0，)．(4)在直線l上是否存在一點(diǎn)F，使得△BCF的周長(zhǎng)最小，若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)及△BCF周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由；【思維教練】因?yàn)锽C的長(zhǎng)為定值，要使△BCF的周長(zhǎng)最小，即要使CF＋BF的值最小，由點(diǎn)A，B關(guān)于直線l對(duì)稱，可知AC與l的交點(diǎn)即為點(diǎn)F，即可得CF＋BF最?。?4)存在．要使△BCF的周長(zhǎng)最小，即BC＋BF＋CF最小，在Rt△OBC中，OB＝1，OC＝2，由勾股定理得BC＝為定值，∴當(dāng)BF＋CF最小時(shí)，C△BCF最?。唿c(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于直線l對(duì)稱，∴AC與對(duì)稱軸l的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)F，如解圖③所示．例1題解圖③根據(jù)拋物線解析式可得對(duì)稱軸l為直線

x＝.∴將x＝代入直線

y＝

x－2，得

，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(，－)．在Rt△AOC中，AO＝4，OC＝2，根據(jù)勾股定理得

AC＝2，∴△BCF周長(zhǎng)的最小值為BC＋AC＝.(5)在y軸上是否存在一點(diǎn)S，使得SD－SB的值最大，若存在，求出點(diǎn)S的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；【思維教練】要使SD－SB的值最大，則需分兩種情況討論：①S、B、D三點(diǎn)不共線時(shí)構(gòu)成三角形，由三角形三邊關(guān)系得到SD－SB<BD；②當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有SD－SB＝BD.從而得到當(dāng)點(diǎn)S在DB的延長(zhǎng)線上時(shí)滿足條件，求出直線BD的解析式后，求出直線BD與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．(5)存在．當(dāng)S與D、B不在同一條直線上時(shí)，由三角形三邊關(guān)系得SD－SB<BD，當(dāng)S與D、B在同一條直線上時(shí)，SD－SB＝BD，∴SD－SB≤BD，即當(dāng)S在DB的延長(zhǎng)線上時(shí)，SD－SB最大，最大值為BD.如解圖④，例1題解圖④∵B(1，0)，D(，)，∴易得直線BD的解析式為y＝

x－

，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－

，即當(dāng)點(diǎn)S的坐標(biāo)為(0，－)時(shí)，SD－SB的值最大．(6)若點(diǎn)H是拋物線上位于AC上方的一點(diǎn)，過點(diǎn)H作y軸的平行線，交AC于點(diǎn)K，設(shè)點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為h，線段HK＝d.①求d關(guān)于h的函數(shù)關(guān)系式；②求d的最大值及此時(shí)H點(diǎn)的坐標(biāo)．【思維教練】由題可得點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為h，①分別將h代入拋物線及直線AC的解析式中，即可得到點(diǎn)H、K的縱坐標(biāo)，再由點(diǎn)H在點(diǎn)K的上方，表示出HK，可得到d關(guān)于h的函數(shù)關(guān)系式；②利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，即可得d的最大值．(6)①如解圖⑤，∵點(diǎn)H在拋物線上，∴設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為(h，)，∵HK∥y軸，交AC于K，∴點(diǎn)K的坐標(biāo)為(h，)，∵點(diǎn)H在點(diǎn)K的上方，∴HK=例1題解圖⑤②由可知，當(dāng)h＝2時(shí)，d最大，∵0<2<4，符合題意，∴當(dāng)h＝2時(shí)，d最大，最大值為2，此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)為(2，1)．

線段、周長(zhǎng)最值問題有兩種形式：1．平行于坐標(biāo)軸的線段的最值問題，常常通過線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)差表示線段長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系式，然后運(yùn)用二次函數(shù)性質(zhì)求最值．解決這類問題的關(guān)鍵是：(1)確定線段的函數(shù)關(guān)系式，注意當(dāng)線段平行于y軸時(shí)，用上端點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去下端點(diǎn)的縱坐標(biāo)；當(dāng)線段平行x軸時(shí)，用右端點(diǎn)的橫坐標(biāo)減去左端點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(2)確定函數(shù)最值，注意函數(shù)自變量取值范圍要確定正確；滿分技法2．“將軍飲馬”型問題或其變形問題，這類問題一般是已知兩個(gè)定點(diǎn)和一條定直線，然后在定直線上確定一點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離和最小．其變形問題有三角形周長(zhǎng)最小或四邊形周長(zhǎng)最小等；這類問題的解決方法是：作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于已知直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)定點(diǎn)，它們與已知直線的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，然后通過求直線解析式及直線交點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算最小值或點(diǎn)坐標(biāo)．

滿分技法類型二與面積有關(guān)的問題典例精講例1

如圖①，在直角坐標(biāo)系中，直線y＝x＋3與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，且AB＝4，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)A，B，C.(1)求拋物線的解析式．【思維教練】要求拋物線的解析式，需知過拋物線的三點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，利用直線y＝x＋3求得A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合已知的AB＝4，求得B點(diǎn)坐標(biāo)，代入求解即可．∵AB＝4，∴B(1，0)．∵拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)A，B，C，

，解得∴拋物線的解析式為y＝－x2－2x＋3.解：對(duì)于y＝x＋3，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3；當(dāng)y＝0時(shí)，x＝－3，∴A(－3，0)，C(0，3)，(2)求△ABC的面積．【思維教練】要求△ABC的面積，需知△ABC的一條邊的長(zhǎng)度和這條邊上高的長(zhǎng)度，由于△ABC的邊AB已知，底邊AB上的高為OC，即為點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，代入三角形的面積公式計(jì)算即可．解：∵點(diǎn)C坐標(biāo)為(0，3)，∴OC＝3.∴S△ABC＝|AB|·|OC|＝×4×3＝6.(3)點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，DE是拋物線的對(duì)稱軸，點(diǎn)E在x軸上，在拋物線上存在點(diǎn)Q，使得△QAE的面積與△CBE的面積相等，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【思維教練】△QAE與△CBE的底邊AE＝BE，要使兩三角形面積相等，只要高相等，因?yàn)椤鰿BE底邊BE上的高為3，所以點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為3和－3時(shí)，滿足條件，分別代入拋物線解析式求解即可．

解：Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(－2，3)或(0，3)或(－1＋，－3)或(－1－，－3)．【解法提示】如解圖①，依題意，AE＝BE，∴當(dāng)△QAE的邊AE上的高為3時(shí)，△QAE的面積與△CBE的面積相等．①當(dāng)y＝3時(shí)，－x2－2x＋3＝3，解得x1＝－2，x2＝0，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(－2，3)或(0，3)．例2題解圖①②當(dāng)y＝－3時(shí)，－x2－2x＋3＝－3，解得x＝－1±，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(－1＋，－3)或(－1－，－3)．綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(－2，3)或(0，3)或(－1＋，－3)或(－1－，－3)．(4)在(3)的條件下，連接AD，CD，求四邊形AOCD和△ACD的面積.【思維教練】要求四邊形AOCD和△ACD的面積，由于四邊形AOCD是不規(guī)則圖形，則可利用S四邊形AOCD＝S△AOD＋S△COD計(jì)算．由于△ACD的底與高不容易計(jì)算，所以可利用S△ACD＝S四邊形AOCD－S△AOC計(jì)算．解：如解圖②，連接OD，由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，知點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－1，4)，∴S四邊形AOCD＝S△AOD＋S△COD∴S△ACD＝S四邊形AOCD－S△AOC例2題解圖②(5)在(3)的條件下，在直線AC上方的拋物線上，存在一點(diǎn)P(不與D重合)，使△ACD的面積等于△ACP的面積．請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【思維教練】要求點(diǎn)P的坐標(biāo)，先確定點(diǎn)P的位置，由于△ACD與△ACP的底AC相等，則只要等高，面積即相等，可過點(diǎn)D作AC的平行線與拋物線相交，交點(diǎn)即為所求點(diǎn)，即可求得點(diǎn)P坐標(biāo)．解：如解圖③，過點(diǎn)D作直線DP∥AC，交拋物線于點(diǎn)P，連接AP，PC，BD，則S△ACD＝S△ACP.∵DP∥AC，且直線AC的解析式為y＝x＋3，∴可設(shè)直線DP的解析式為y＝x＋n，把點(diǎn)D(－1，4)代入，得－1＋n＝4，∴n＝5，∴DP的解析式為y＝x＋5.例2題解圖③∴DP的解析式為y＝x＋5.聯(lián)立得

解得∵D(－1，4)，點(diǎn)P不與點(diǎn)D重合，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2，3)．

(6)在直線AC上方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)M，使△MAC的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【思維教練】要使△MAC面積最大，可先把△MAC的面積用含字母的式子表示出來(lái)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)討論其最值，進(jìn)而求得M點(diǎn)坐標(biāo)．解：存在一點(diǎn)M，使△MAC的面積最大．如解圖④，過點(diǎn)M作MN∥y軸，交AC于點(diǎn)N，設(shè)M(x，－x2－2x＋3)，則N(x，x＋3)，例2題解圖④∴MN＝－x2－2x＋3－(x＋3)＝－x2－3x，∴S△MAC＝S△AMN＋S△CMN＝

MN·3＝(－x2－3x)＝－(x＋)2＋

，∵－<0，－3<x<0，∴當(dāng)x＝－時(shí)，S△MAC的最大值為.當(dāng)x＝－

時(shí)，，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－，)．1.解決二次函數(shù)與三角形面積最值綜合題，常見方法有：(1)若三角形有一條邊在坐標(biāo)軸上或平行于坐標(biāo)軸，首先計(jì)算這條邊的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；然后利用坐標(biāo)的差表示這條邊的長(zhǎng)(若平行于x軸，用右邊的點(diǎn)的橫坐標(biāo)減去左邊點(diǎn)的橫坐標(biāo)可得邊長(zhǎng)；若平行于y軸，用上端點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去下端點(diǎn)的縱坐標(biāo)可得邊長(zhǎng))；再確定另一頂點(diǎn)到這條邊的距離，一般是另一點(diǎn)的橫(縱)坐標(biāo)與已知邊的點(diǎn)的橫(縱)坐標(biāo)的差；然后運(yùn)用三角形面積公式計(jì)算．滿分技法(2)若三角形的邊都不與坐標(biāo)軸平行，解決問題的一般步驟為：①根據(jù)三角形兩定點(diǎn)確定這條邊所在直線的解析式；②過動(dòng)點(diǎn)作坐標(biāo)軸的平行線，與這條直線交于一點(diǎn)；③分別用拋物線及直線的解析式表示出這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，并表示它們之間的距離；④以所求距離為底邊，以兩定點(diǎn)的坐標(biāo)差的絕對(duì)值為高，列出三角形面積的函數(shù)關(guān)系式；⑤根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定最值、對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)．2.對(duì)于二次函數(shù)與四邊形面積的綜合題，常常會(huì)將其轉(zhuǎn)化為三角形面積進(jìn)行計(jì)算．滿分技法(7)點(diǎn)H是拋物線第二象限內(nèi)一點(diǎn)，作HG⊥x軸，試確定H點(diǎn)的位置，使△HGA的面積被直線AC分為相等的兩部分．【思維教練】設(shè)HG與AC相交于點(diǎn)I，△HGA要被分成面積相等的兩部分，由于高AG一樣，只需HI與IG相等即可，可設(shè)H點(diǎn)坐標(biāo)，分別表示出線段HI與IG，利用其相等列方程求解即可．

解：如解圖⑤，設(shè)HG與AC相交于點(diǎn)I，H(x，－x2－2x＋3)，則I(x，x＋3)，則HI＝－x2－2x＋3－(x＋3)＝－x2－3x，IG＝x＋3，

當(dāng)HI＝IG時(shí)，△AHI和△AIG等底同高則面積相等，即△HGA的面積被直線AC分為相等的兩部分，∴－x2－3x＝x＋3，整理得x2＋4x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝－3(不合題意，舍去)，∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為(－1，4)．例2題解圖⑤

(8)點(diǎn)H是拋物線第二象限內(nèi)一點(diǎn)，作HG⊥x軸，試確定H點(diǎn)的位置，使△HGA的面積被直線AC分為1∶2的兩部分．【思維教練】同上，利用HI與IG為1∶2或2∶1關(guān)系列方程求解即可．解：如解圖⑥，由(7)可知，可分兩種情況討論：①若H1I1＝2I1G1，則有－x2－3x＝2(x＋3)，

整理得x2＋5x＋6＝0，

解得x1＝－2，x2＝－3(不合題意，舍去)，∴H1(－2，3)．例2題解圖⑥②若2H2I2＝I2G2，則有2(－x2－3x)＝x＋3，整理得2x2＋7x＋3＝0，解得x1＝－

，x2＝－3(不合題意，舍去)，∴H2(－

，)．綜上所述，點(diǎn)H的坐標(biāo)為H1(－2，3)或H2(－

，)．與圖形面積數(shù)量關(guān)系有關(guān)的問題1．如果是面積的倍數(shù)關(guān)系，一般需要用等積變形來(lái)解決，即過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)作它對(duì)邊的平行線或是從圖形中尋找出這樣的直線，利用等底同高來(lái)進(jìn)行等積變形，從而實(shí)現(xiàn)三角形頂點(diǎn)的轉(zhuǎn)移；2．如果過某個(gè)頂點(diǎn)的線段平分三角形的面積，則該線段一定過該頂點(diǎn)對(duì)邊的中點(diǎn)．突破設(shè)問(9)在對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線上，是否存在點(diǎn)R，使得S△RBC＝

？若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【思維教練】先假設(shè)存在點(diǎn)R，使得S△RBC＝.過點(diǎn)R作BC的垂線交BC于點(diǎn)K，可得

BC·RK＝

，此時(shí)點(diǎn)R，K坐標(biāo)不容易計(jì)算．可考慮作RH∥y軸與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，利用△RKF與△BOC相似，得到RF·OB＝BC·RK＝9，設(shè)出R點(diǎn)坐標(biāo)利用此關(guān)系式列方程求解．解：不妨假設(shè)存在點(diǎn)R，使S△RBC＝

，如解圖⑦.過點(diǎn)R作RK⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K，作RH∥y軸，交x軸于點(diǎn)H，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接BR，CR，BC，則∠F＝∠BCO，∠RKF＝∠BOC＝90°，∴△RKF∽△BOC，∴，∴BC·RK＝BO·RF，又∵S△RBC＝

，BO＝1，例2題解圖⑦∴BC·RK＝

BO·RF＝

，∴RF＝9.由B(1，0)，C(0，3)可求出直線BC的解析式為

y＝－3x＋3，設(shè)R(x，－x2－2x＋3)，則F(x，－3x＋3)．∴RF＝－3x＋3－(－x2－2x＋3)＝x2－x.∴x2－x＝9，解得x1＝

，x2＝

(不合題意，舍去)．∴R(，)．∴存在點(diǎn)R，使S△RBC＝

，點(diǎn)R的坐標(biāo)為(，)．類型三與特殊三角形有關(guān)的問題典例精講例3如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A(－1，0)，B(3，0)，與y軸交于點(diǎn)C，直線BC的解析式為y＝kx＋3，拋物線的頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與直線BC交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)F.(1)求拋物線解析式及點(diǎn)D、E的坐標(biāo)；【思維教練】要求拋物線的解析式，根據(jù)題目需知經(jīng)過拋物線上的三點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，由直線BC解析式得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，結(jié)合題干，拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B，故設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x＋1)(x－3)．將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入，即可求解．解：∵直線BC的解析式為y＝kx＋3，令x＝0，得y＝3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)，設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x＋1)(x－3)，將C(0，3)代入，得－3a＝3，解得a＝－1，

∴拋物線的解析式為y＝－x2＋2x＋3，轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式為y＝－(x－1)2＋4，∴拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，4)，對(duì)稱軸為x＝1，將點(diǎn)B(3，0)代入直線y＝kx＋3，得0＝3k＋3，解得：k＝－1，∴直線BC的解析式為y＝－x＋3，令x＝1，得y＝2，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1，2)．(2)判斷△CAF的形狀，并說明理由；【思維教練】先確定點(diǎn)F的坐標(biāo)，得到OF＝OA，再由CO垂直平分AF即可得出結(jié)論．

解：△CAF是等腰三角形．理由如下：∵拋物線的對(duì)稱軸為x＝1，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，0)，∴AO＝OF＝1，即O為AF的中點(diǎn)，∵CO⊥AF，∴CO是線段AF的垂直平分線，∴CA＝CF，∴△CAF是等腰三角形．(3)x軸上是否存在點(diǎn)G，使得△ACG是以AC為底邊的等腰三角形，若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；【思維教練】由△ACG是以AC為底邊的等腰三角形可考慮作AC的垂直平分線，與x軸交點(diǎn)為G，設(shè)出點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后表示出AG、OG、OC和CG.列關(guān)系式即可求解．解：存在．如解圖①，作AC的垂直平分線，交x軸于點(diǎn)G，連接CG，則點(diǎn)G即為所求．設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(g，0)，在Rt△COG中，CO＝3，OG＝g，由勾股定理得CG2＝CO2＋OG2＝9＋g2，又∵AG＝g＋1，AG＝CG，∴9＋g2＝(g＋1)2，解得

g＝4，此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(4，0)．例3題解圖①(4)若點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在拋物線對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P使得△PDQ是等邊三角形，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；例3題圖④【思維教練】由(1)知拋物線解析式，對(duì)稱軸及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，過點(diǎn)P作PH⊥DQ于點(diǎn)H，設(shè)出H點(diǎn)坐標(biāo)，由等邊三角形的性質(zhì)可得PH＝DH，可得H點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，由拋物線的對(duì)稱性可知點(diǎn)P在對(duì)稱軸兩側(cè)各有一點(diǎn)，求得符合條件的另一點(diǎn)P′的坐標(biāo)即可．解：存在．由(1)得拋物線解析式為y＝－x2＋2x＋3，對(duì)稱軸為x＝1，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，4)．∵點(diǎn)P在拋物線上，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t，－t2＋2t＋3)，如解圖②，過點(diǎn)P作PH⊥DQ于點(diǎn)H，則PH∥x軸，點(diǎn)H的坐標(biāo)為(1，－t2＋2t＋3)，∵△DPQ是等邊三角形，∴DH＝HQ，PH＝

DH∴DH＝4－(－t2＋2t＋3)＝t2－2t＋1，當(dāng)點(diǎn)P在DQ的右側(cè)時(shí)，PH＝t－1，∴t－1＝(t2－2t＋1)，即

t2－(2＋1)t＋＋1＝0，例3題解圖②解得：t1＝,t2＝1(舍)，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，).當(dāng)點(diǎn)P′在DQ的左側(cè)時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性可知，此時(shí)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(,).綜上，存在點(diǎn)P使得△PDQ是等邊三角形，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)或(，).探究直角三角形的存在性①先假設(shè)結(jié)論成立，根據(jù)直角頂點(diǎn)的不確定性，分情況討論；②找點(diǎn)：當(dāng)所給定長(zhǎng)未說明是直角三角形的斜邊還是直角邊時(shí)，需分情況討論，具體方法如下：a．當(dāng)定長(zhǎng)為直角三角形的直角邊時(shí)，分別以定長(zhǎng)的某一端點(diǎn)作定長(zhǎng)的垂線，與坐標(biāo)軸或拋物線有交點(diǎn)時(shí)，此交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)；滿分技法b．當(dāng)定長(zhǎng)為直角三角形的斜邊時(shí)，以此定長(zhǎng)為直徑作圓，圓弧與坐標(biāo)軸或拋物線有交點(diǎn)時(shí)，此交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)；③計(jì)算：把圖形中的點(diǎn)坐標(biāo)用含有自變量的代數(shù)式表示出來(lái)，從而表示出三角形的各個(gè)邊(表示線段時(shí)，注意代數(shù)式的符號(hào))．再利用相似三角形的性質(zhì)得出比例式，或者利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，或者利用三角函數(shù)建立方程求點(diǎn)坐標(biāo)．滿分技法(5)若點(diǎn)H在拋物線對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)H，使得△BCH是直角三角形，若存在，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；例3題解圖⑤【思維教練】要使△BCH是直角三角形，需從直角考慮，分∠HCB＝90°，∠HBC＝90°，∠CHB＝90°三種情況討論，借助三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論．

解：存在．設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為(1，h)，要使△BCH為直角三角形，可分以下三種情況討論：(i)∠HCB＝90°，如解圖③，∵C(0，3)，D(1，4)，B(3，0)，∴BC2＝32＋32＝18，BD2＝(3－1)2＋42＝20，CD2＝12＋(4－3)2＝2，∴BC2＋CD2＝BD2，

∴DC⊥BC，∴此時(shí)點(diǎn)H與點(diǎn)D重合，坐標(biāo)為H1(1，4)；例3題解圖③(ii)∠HBC＝90°，如解圖④，易得∠BEH＝∠BHE＝45°，∴BE＝BH，又∵BF⊥EH，∴FH＝EF＝2，∴點(diǎn)H2的坐標(biāo)為(1，－2)；例3題解圖④(iii)∠CHB＝90°，如解圖⑤，過點(diǎn)C作CM⊥DF于點(diǎn)M，則∠CHM＋∠BHE＝90°，∠BHE＋∠FBH＝90°∴∠CHM＝∠FBH，又∵∠CMH＝∠BFH＝90°，∴△CHM∽△HBF，∴,即

解得：h1＝，h2＝例3題解圖⑤∴此時(shí)這樣的點(diǎn)H有兩個(gè)，坐標(biāo)分別為H3(1，），H4(1，）.綜上所述，存在點(diǎn)H使得△BCH是直角三角形，點(diǎn)H的坐標(biāo)為H1(1，4)，H2(1，－2)，H3(1，），H4(1，）.(6)設(shè)點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段BC上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P使得△PCQ是等腰直角三角形，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．例3題圖⑥【思維教練】要使△PCQ是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)：有一個(gè)角為直角，一個(gè)銳角為45°.結(jié)合∠CBO＝∠BCO＝45°，從而考慮分三種情況：①∠PCQ＝90°，PQ∥y軸；②∠CPQ＝90°，CP∥x軸；③∠CQP＝90°，CP∥x軸，分別討論即可得出結(jié)果．解：存在．∵△BOC是等腰直角三角形，且∠BOC＝90°，∴∠CBO＝45°，∵點(diǎn)Q在直線BC上，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(t，－t＋3)，(i)當(dāng)PC⊥BC時(shí)，如解圖⑥，由(5)得此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，坐標(biāo)為(1，4)，∴∠PQC＝∠BCO＝45°，∴PQ∥y軸，∴點(diǎn)Q與點(diǎn)E重合，此時(shí)△PCQ是等腰直角三角形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1，2)；例3題解圖⑥(ii)當(dāng)∠CPQ＝90°，CP∥x軸時(shí)，如解圖⑦，則PQ∥y軸，∠PCQ＝∠CBO＝45°，此時(shí)△CPQ是等腰直角三角形，且點(diǎn)P(2，3)，點(diǎn)Q(2，1)；例3題解圖⑦(iii)當(dāng)∠CQP＝90°，CP∥x軸時(shí)，如解圖⑧，過點(diǎn)Q作QQ′⊥CP，∵△CPQ是等腰直角三角形，∴CQ＝PQ，∴CQ′＝PQ′，∴點(diǎn)Q在拋物線對(duì)稱軸上，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1，2)．綜上所述，這樣的點(diǎn)Q有兩個(gè)，坐標(biāo)分別為(1，2)或(2，1)．例3題解圖⑧類型四與特殊四邊形有關(guān)的問題典例精講例4

如圖，拋物線經(jīng)過A(－5，0)，B(－1，0)，C(0，5)三點(diǎn)，頂點(diǎn)為M，連接AC，BC，拋物線的對(duì)稱軸為l，l與x軸交點(diǎn)為D，與AC交點(diǎn)為E.

(1)求此拋物線的解析式，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，對(duì)稱軸l；例4題圖①【思維教練】由A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)拋物線解析式為y＝ax2＋bx＋c，將三點(diǎn)代入求解即可；將拋物線解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，可得頂點(diǎn)M的坐標(biāo)和對(duì)稱軸l；解：(1)設(shè)拋物線解析式為y＝ax2＋bx＋c，將點(diǎn)A(－5，0)，B(－1，0)，C(0，5)代入，得解得∴拋物線的解析式為

y＝x2＋6x＋5.將解析式化為頂點(diǎn)式得

y＝(x＋3)2－4，∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－3，－4)，對(duì)稱軸l為直線

x＝－3.(2)拋物線沿直線AB平移，使得點(diǎn)A落在點(diǎn)B處，此時(shí)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′，求點(diǎn)C′的坐標(biāo)，試判定四邊形ABC′C的形狀，并說明理由；例4題圖②【思維教練】要判定四邊形ABC′C的形狀，根據(jù)平移的性質(zhì)，點(diǎn)A平移到點(diǎn)B的規(guī)律與點(diǎn)C平移到點(diǎn)C′的規(guī)律一致，即可得到點(diǎn)C′坐標(biāo)，再由AB＝CC′，AB∥CC′判定四邊形的形狀；解：如解圖①，∵A(－5，0)，B(－1，0)，C(0，5)，∴點(diǎn)A向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)B.由平移性質(zhì)可知C平移到C′與A平移到B的規(guī)律一致，∴C′(4，5)．四邊形ABC′C是平行四邊形．理由如下：根據(jù)平移規(guī)律得：AB＝CC′＝4，AB∥CC′，∴四邊形ABC′C是平行四邊形.例4題圖解①(3)設(shè)點(diǎn)C′是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)A，B，C，C′為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)C′的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；例4題圖③【思維教練】以點(diǎn)A、B、C、C′為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，已知線段AB和AC，可分兩種情況討論：(1)當(dāng)線段AB為平行四邊形的邊時(shí)，可利用平移的性質(zhì)：①將線段AB沿AC平移，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，②將線段BC沿BA平移，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合；(2)當(dāng)線段AB為平行四邊形的對(duì)角線，AC為平行四邊形的邊時(shí)，利用平移的性質(zhì)，將線段AC沿著CB邊平移，使點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，此時(shí)點(diǎn)C′即為所求．解：存在，(i)當(dāng)線段AB為平行四邊形的邊時(shí)，如解圖①，將線段AB沿AC平移，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，此時(shí)點(diǎn)C′坐標(biāo)為(4，5)；如解圖②，將線段BC沿BA平移，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，此時(shí)點(diǎn)C′的坐標(biāo)為(－4，5)；例4題圖解①例4題圖解②(ii)當(dāng)線段AB為平行四邊形的對(duì)角線，AC為平行四邊形的邊時(shí)，如解圖③，將線段AC沿CB平移，使點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，此時(shí)點(diǎn)C′的坐標(biāo)為(－6，－5)．綜上所述，滿足條件的點(diǎn)C′的坐標(biāo)為(4，5)，(－4，5)，(－6，－5)．例4題圖解③(4)設(shè)點(diǎn)K是拋物線上一點(diǎn)，過K作KJ∥y軸，交直線AC于點(diǎn)J，是否存在點(diǎn)K，使得以M，E，K，J為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)K的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；例4題圖④【思維教練】根據(jù)點(diǎn)K、J分別為拋物線和直線AC上的點(diǎn)，設(shè)出點(diǎn)K、J坐標(biāo)，由KJ∥ME，從而只需KJ＝ME即可得到平行四邊形，再根據(jù)點(diǎn)K、J坐標(biāo)及其相對(duì)位置，求出點(diǎn)K坐標(biāo)；解：存在，理由如下：如解圖④，設(shè)點(diǎn)K的坐標(biāo)為(e，e2＋6e＋5)，∵KJ∥y軸，交AC于J，直線AC的解析式為y＝x＋5，∴設(shè)點(diǎn)J的坐標(biāo)為(e，e＋5)．∵M(jìn)(－3，－4)，E(－3，2)，∴ME＝6.∵M(jìn)E∥y軸，KJ∥y軸，∴KJ∥ME，要得到平行四邊形，只需KJ＝ME＝6.例4題解圖④(i)當(dāng)點(diǎn)K在點(diǎn)J的下方時(shí)，KJ＝(e＋5)－(e2＋6e＋5)＝－e2－5e，則－e2－5e＝6，解得e1＝－2，e2＝－3，則K1(－2，－3)，K2(－3，－4)(舍去)；(ii)當(dāng)點(diǎn)K在點(diǎn)J的上方時(shí)，KJ＝(e2＋6e＋5)－(e＋5)＝e2＋5e，則e2＋5e＝6，解得e3＝－6，e4＝1，則K3(－6，5)，K4(1，12)；綜上所述，滿足條件的點(diǎn)K有3個(gè)，坐標(biāo)分別為(－2，－3)，(－6，5)，(1，12)．

(5)設(shè)點(diǎn)N是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)S是x軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)N，使得以A，E，N，S為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；例4題圖⑤【思維教練】分NS為平行四邊形的邊和NS為平行四邊形的對(duì)角線兩種情況討論，結(jié)合圖形過N作NT⊥x軸，由平行四邊形性質(zhì)得到△SNT≌△AED，從而得到NT＝ED＝2，即可得到點(diǎn)N的坐標(biāo)；解：存在，理由如下：(i)當(dāng)NS為平行四邊形的一條邊時(shí)，如解圖⑤，過N作NT⊥x軸，交x軸于T，以解圖⑤中N1為例，NS∥AE，且NS＝AE，則∠NST＝∠EAD，∵NT⊥x軸，ED⊥x軸，∴∠NTS＝∠EDA＝90°∴△SNT≌△AED，∴NT＝ED＝2.設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(n，n2＋6n＋5)，例4題解圖⑤a．當(dāng)點(diǎn)N在x軸上方，則NT＝n2＋6n＋5＝2，解得n1＝－－3，n2＝－3，∴N1(－－3，2)，N2(－3，2)；b．當(dāng)點(diǎn)N在x軸下方，則NT＝－n2－6n－5＝2，解得n3＝－3

+

n4＝－3－，∴N3(－3－，－2)，N4(－3＋，－2)；

例4題解圖⑤(ii)如解圖⑥，當(dāng)NS是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，則NE∥x軸，∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為2，代入拋物線得n2＋6n＋5＝2，解得n1＝－－3，n2＝－3(舍去)，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(－－3，2)．綜上所述，滿足條件的點(diǎn)N有4個(gè)，分別為(－－3，2)，(－3，2)，(－3－，－2)，(－3＋，－2)．例4題解圖⑥探究平行四邊形的存在性具體方法如下：(1)假設(shè)結(jié)論成立；(2)找點(diǎn)：探究平行四邊形的存在性問題，一般是已知兩定點(diǎn)求未知點(diǎn)坐標(biāo)，此時(shí)可以分兩種情況，分別以這兩點(diǎn)所構(gòu)成的線段為邊和對(duì)角線來(lái)討論：①以這兩點(diǎn)所構(gòu)成線段為邊時(shí)，可以利用平行四邊形對(duì)邊平行且相等，畫出符合題意的圖形；②以這兩點(diǎn)所構(gòu)成線段為對(duì)角線時(shí)，則該線段的中點(diǎn)為平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，結(jié)合拋物線的對(duì)稱性，畫出符合題意的圖形．法技分滿(3)建立關(guān)系式，并計(jì)算：根據(jù)以上分類方法畫出所有的符合條件的圖形后，可以利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，也可以利用拋物線的對(duì)稱性、相似三角形或直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，要具體情況具體分析，有時(shí)也可以利用直線的解析式聯(lián)立方程組，由方程組的解為交點(diǎn)坐標(biāo)的方法求解．法技分滿

(6)設(shè)點(diǎn)G是拋物線