兩點間的距離公式

§2.8兩點間的距離公式課前自主預(yù)習［新知梳理］1、平面上兩點間距離公式：已知P(x,y),P(x,y),TOC\o"1-5"\h\z1 1 1 2 2 2則lPP\=\(x-x)2+(y-y)2-12 12 12在如圖所示的坐標系中，IPQ\=Iy-yI,1 2 1IPQ\=Ix-xI；在RtAPQP中，IPPI=/(x—x)2+(y—y)2.1 2 12 12 12特殊地，O(0,0),P(x,y)之間的距離IOP\=(氣2+y2［思考討論］1.(1)已知x軸上兩點A(x,0)、B(x,0)則IAB\=Ix-xI.(2)已知y軸上兩點A(0,y1)、B(0,y)，則IABI=Iy—yI.2 2 1 2.(1)已知兩點A(x1,y)、B(x2,y)則IAB\=Ix2—x11.(2)已知兩點A(x,y1)、B(x,y2)則IAB\=Iy2—y11.直線x+y=1與坐標軸的兩交點之間的距離是\O+b.ab 在坐標系中作出兩點P(1,3),P(5,6)，構(gòu)造直角三角形，求得IPP\=51 2 12 課堂互動學習［名師點津］記住兩點間的距離公式的結(jié)構(gòu)特征，會用公式求出三角形的邊長等距離問題.利用三角形的邊長判斷三角形的等腰三角形還是直角三角形.利用對稱性可以解決兩類類似問題：①在定直線上求一點到兩定點的距離之和最??；②在定直線上求一點到兩定點的距離之差的絕對值最大.利用坐標法解決平面幾何問題，首先要建立恰當?shù)闹苯亲鴺讼?建立坐標系的原則是：①以題目中的已知直線為坐標軸，以已知點為原點；②讓盡可能多的點處在

坐標系中的特殊位置，這樣方便計算；③如果條件中有互相垂直的兩條直線，可以考慮把它們昨晚坐標軸，如果圖形為中心對稱圖形，可以將中心作為原點，如果圖形為軸對稱圖形，可以將對稱軸作為對稱軸.典例精析：［典型例題1］已知A(0,1)，B(2,7)，C(4,3)，求三邊的長，并判斷AABC的形狀.［點撥］由距離公式求出三邊的長，再由邊長判斷形狀.［解答］由兩點間距離公式得IAB1=勾:'(2-0)2+(7-1)2=2、1，IBC1=\：(2-4)2+(7-3)2=2<?，IACI=\：'(4-0)2+(3-1)2=2云，因為IAC|2+1BC|2=|AB|2，IACI=IBCI，所以AABC是等腰直角三角形.［變式訓練1］已知A(a,2)，B(-2,-3)，C(1,1)且|AB=|AC|，求a的值.［解答］IABI=&a+2)2+(2+3)2=\；a2+4a+29，IACI=\：'(a-1)2+(2-1)2=\：a2-2a+2，因為|ab|=|ac|，所以\/a2+4a+29=■<a2-2a+2，解得a=-—.2［典型例題2］在x軸上取一點P，使它與兩點A(1,2)，B(5,3)的距離之和最小，并求出最小距離.［點撥］作A關(guān)于x軸的對稱點A，，連AB與x軸交于點P，0則P為所求.0［解答］作A關(guān)于x軸的對稱點A，則A坐標為(1,-2)，設(shè)P是x軸上的任一點，連PA、PB、AB，則有IPA'I+1PBI>IABI，當P是AB與x軸交點P時，取等號，0因為IA'BI=疽(1-5)2+(-2-3)2=*!為定值，所以當P是AB與x軸交點P時，IPA'I+IPBI有最小值板打.0因為直線AB的斜率為k=吉3=4，經(jīng)過點B(5,3)，

所有直線AB的方程為>-3=4(x-5),令》=0，得x=?，即尸的坐標為(?,0).［變式訓練2］x軸上的一點到定點A(0,2),B(1,1)距離之和的最小值為 (D)A.克B.J5 C.2?(2 D. <10［典型例題3］已知P為等腰AABC的底邊BC上的任意一點，求證：IAB|2=|AP|2+1BPI-1PCI.［點撥］以底邊所在的直線為x軸，底邊的垂直平分線為y軸建立坐標系，再設(shè)出有關(guān)點的坐標，表示出有關(guān)線段的長度即可得證.［解析］取BC的中點O為原點，OA所在直線為y軸，建立坐標系.設(shè)A(0,a)，C(b,0)，則B(-b,0)，由兩點間距離公式得IABI2=a2+b2，IAPI2=a2+x2，IBPI=x+b，IPCI=b一x，所以IAPI2+1BPI-1PCI=a2+x2+(x+b)(b-x)=a2+b2.所以IABI2=IAPI2+1BPI-1PCI.［變式訓練3］如圖，D為BC中點，求證：\ab2+aC2=\db2+2|Da+Dc證明：以D為原點，BC所在直線為x軸建立坐標系，設(shè)A(a,b)，C(c,0)，則B(-c,0).于是IABI2=(a+c)2+b2，IACI2=(a-c)2+b2，IBDI2=ICDI2=c2，IDAI2=a2+b2.所以IABI2+1ACI2=(a+c)2+b2+(a-c)2+b2=2a2+2b2+2c2，|DB|2+2|DA|2+|DC|2=2a2+2b2+2c2，所以|AB|2+AC|2=|DB|2+2|DA|2+|DC|2.課后分層練習

反饋練習:以A(-3,0)，B(3,-2),C(-1,2)為頂點的三角形的形狀是 (C)A.等腰B.等邊C.直角D.銳角三角形已知M(x,-2)到N(1,2)的距離為5,則x= (D)A. -4 B. -2 C. -4或2D.4或-2已知A(-1,2),B(3,6),C(5,-5)，則AABC的邊AB上的中線長為布.4?點P在直線y=x上，且P到Q(4,-3)的距離為5，則P點坐標為(0,0)或(1,1).5.已知正AABC的邊長為a，在平面上求一點P，使得IPA|2+1PB|2+1PC|2取得最小值，并求最小值.［點撥］建立直角坐標系，設(shè)P(x,j)，和A、B、C的坐標，用兩點間距離公式得出函數(shù)關(guān)系.［解析］以AB邊所在直線為x軸，邊AB的垂直平分線為j軸建立直角坐標系，如圖所示.設(shè)點A(2,0)，則B(-爭v3aC(0,3a).2設(shè)P(x,j)，則IPAI2+IPB|2+1PC|22=(x-a)2+j2+(x+a)2+j2+x2+(j-=3x=3x2+3(j-2+a2>a2.當且僅當x=0，j=藉時，等號成立，此時點P坐標為(0,乎)，是正AABC的中心，所求最小值為a2.6.在j軸上找一點M，使得M到兩定點A(2,1)、B(4,5)的距離之差的絕對值最大，并求出最大值.［點撥］連結(jié)AB延長交j軸于M0，則M0為所求.［解析］如圖，連結(jié)MA，MB，則有||MA|-|MB||<|AB|，當且僅當M、A、B三點共線即M是直線AB與y軸的交點M0時，取等號，此時IIMAI-IMBII取得最大值IAB1=\,：'(4-2)2+(5-1)2=5，直線AB的斜率是k=51=2，所以方程為y-1=2(x-2)，令x=0，得y=-3，即M(0,-3).0所以當M坐標是(0,-3)時，M到兩定點A(2,1)、B(4,5)的距離之差的絕對值最大，最大值是5.拓展訓練［能力提升］求平面上整點到直線尸5x+4的距離中的最小值.3 5［解答］設(shè)整點為(X0y°)，則它到直線25—15y+12=0的距離為25x—15y+12 25x—15y+12d=—,° °旦=——o——=~° x^yz,故25x—15y是5的倍數(shù)，于是(252+(-15)2 534 "0 0 0|25x-15y+12|>2，當x0=—1,y0=—1時，|25x-15y+12=2|所以所求最小值為歸485直線L在兩坐標軸上的截距相等，且p(4,3)到直線L的距離為3互，求直線L的方程.［解答］(1)當所求直線經(jīng)過坐標原點時，設(shè)其直線方程為y=kx由3顯="―3解得k=—63<14<1+k2 2(2)當直線不經(jīng)過坐標原點時，設(shè)所求方程為x+y=1即x+y—a=0aa4+3-a ■=由條件可得： F=—=3龍如2解得：a=1或a=13故所求直線方程為x+y—1=0或x+y—13=0或y=一(6四里)x2

已知A(4,-3)、B(2,-1)和直線L：4x+3Y-2=0求一點P,使|PA|=|PB|，且點P到L的距離等于2.3+1［解答］設(shè)點P的坐標為(3,-2),k=土二—1，線段的垂直平分線方程為y+2二x-3,AB4-2即x-y-5=0點P(a,b)在直線x-y-5=0上，故a-b-5=04i+3b—2又」I=2v'42+32_27又兩個式子得：］"=1或f71b=4 b=-8〔7?.?所求的點為P(1,-4)和？(27,-8)7 7已知正方形的中心為直線x-y+1=0和2x+y+2=0的交點，正方形一邊所在直線方程為x+3y—2=0,求其它三邊方程.［解答］由［*->+1=°將正方形的中心化為P(T,0),［2x+j+2=°由已知可設(shè)正方形相鄰兩邊方程為x+3y+m=0和3x-y+n=0 ,Vp點到各邊的距離相等，? 1堂=-^和-3堂=-^，.二m=4或m=-2和n=6或n=01°寸1° ；1° <1°其它三邊所在直線方程為x+3y+4=03x-y=0,3x-y+6=05、已知AABC是直角三角形，斜邊BC的中點為M，建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担C明：AM=1BC.2證明：如圖，以RtAABC的直角邊AB,AC所在直線為坐標軸，建立適當?shù)闹苯亲鴺说孟?，設(shè)B,C兩點的坐標分別為(b,o),(°,c)，得VM是BC的中點，.??點M的坐標為(山，四)，即(b,C).2 2 22由兩點間的距離公

AM=,''(--0)2+(--0)2=k’b2+C2,X2 2 21所以，AM=-BC.2［走近高考］),B(cos20°,1.（2002北京，2）在平面直角坐標系中，已知兩點A（),B(cos20°,D.1sin20°)，則IABI的值是(D)D.11 乂 v-3A.2 B.2 C.2［解析］如圖所示，ZAOB=60°，又IOA\=\OB\=1:.\AB\=1課程資源鏈接［知識卡片］兩點間距離公式同軸兩點求距離，大減小數(shù)就為之。與軸等距兩個點，間距求法亦如此。平面任意兩個點，橫縱標差先求值。差方相加開平方，距離公式要牢記。

【教學小結(jié)】1、平面上兩點間距離公式：已知P(x,y),P(x,y),TOC\o"1-5"\h\z1 1 1 2 2 2則”尸\=\(x-x)2+(J—J)2-12 12 12在如圖所示的坐標系中，IPQ\=Iy—yI,1 2 1IPQ\=Ix—xI；\o"CurrentDocument"在RtAPQP中，IPPI=J(x—x)2+(y—y)2.1 2 12 * 1 2 12特殊地，O(0,0),P(x,y)之間的距離IOPI=E+y22、記住兩點間的距離公式的結(jié)構(gòu)特征，會用公式求出三角形的邊長等距