人教A版雙曲線及其標準方程

觀察與思考

也許同學(xué)們并沒有注意到，在我們所生活的大千世界里，雙曲線也時常出現(xiàn)在我們的周圍，請同學(xué)們觀察以下圖片…2.2.1雙曲線及其標準方程發(fā)電廠冷卻塔的外形可口可樂的下半部玉枕的形狀

再一次認識了雙曲線之后，我們將開始深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)上的雙曲線.

首先來看看本節(jié)雙曲線的知識結(jié)構(gòu)：雙曲線的定義雙曲線的標準方程雙曲線的簡單幾何性質(zhì)

由該知識結(jié)構(gòu)圖可知，我們應(yīng)首先學(xué)習(xí)雙曲線的定義.

我們知道，與兩個定點距離的和為非零常數(shù)（大于兩定點間的距離）的軌跡是橢圓.那么，與兩定點距離的差為非零常數(shù)的點的軌跡是什么？

如圖2.3-1，取一條拉鏈，拉開它的一部分，在拉開的兩邊的上各選擇一點，分別固定在點F1，F(xiàn)2上，把筆尖放在點M處，隨著拉鏈逐漸拉開或者閉攏，筆尖所經(jīng)過的點就畫出一條曲線，會得到怎樣的曲線呢？2.3-1

這條曲線是滿足下面條件的集合：P={M||MF1|-|MF2|=常數(shù)}（左邊）P={M||MF2|-|MF1|=常數(shù)}（右邊）這兩支曲線合起來叫做雙曲線.FF1F2M2.3-1讓學(xué)生掌握雙曲線的定義和標準方程.讓學(xué)生掌握標準方程的推導(dǎo)．

教學(xué)目標知識與能力培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會從“感性認識”到“理性認識”過程中獲取新知.抓住與橢圓的異同，掌握橢圓、雙曲線的標準方程以及它們之間的聯(lián)系與區(qū)別.注重數(shù)形結(jié)合，掌握解析法研究幾何問題的一般方法.過程與方法情感態(tài)度與價值觀雙曲線的定義.雙曲線的標準方程．

在與橢圓的類比中獲得雙曲線的知識，從而培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納、推理等能力．教學(xué)重難點

重點

難點

類比橢圓的定義，你能給出雙曲線的定義嗎？回顧舊知：yxMF1F2Occ圖2.2-1橢圓：平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡.這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩個焦點間的距離叫做橢圓的焦距.MOF1F2xy

我們把平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于|F1F2|）的點的軌跡叫做兩個焦點間距離叫做這兩個定點叫做雙曲線雙曲線的焦點雙曲線的焦距yxMF1F2Occ圖2.2-1由橢圓的定義，橢圓就是集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}.

類比橢圓標準方程的建立過程，你能說說應(yīng)怎樣選擇坐標系，建立雙曲線的標準方程嗎？回顧舊知：

類比橢圓，我們根據(jù)雙曲線的集合特征，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺讼?，建立雙曲線的標準方程.MOF1F2xy(-c,0)(c,0)2.3-2

如右圖建立直角坐標系xOy，使x軸經(jīng)過兩焦點F1，F(xiàn)2，y軸為線段F1F2的垂直平分線.設(shè)M(x,y)是雙曲線上任意一點，雙曲線的焦距為2c（c>0），那么焦點F1，F(xiàn)2的坐標分別是(-c,0)，(c,0).又設(shè)點M與F1，F(xiàn)2得距離差的絕對值等于常數(shù)2a.MOF1F2xy(-c,0)(c,0)2.3-2例1：由定義可知，雙曲線就是集合P={M||MF1|-|MF2|=2a}.因為|MF1|=，|MF2|=，所以類比建立橢圓標準方程的化簡過程，化簡①，得(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2),兩邊同除以(c2-a2），得①MOF1F2xy(-c,0)(c,0)

由雙曲線的定義可知2c>2a，即c>a所以c2-a2>0.類比橢圓標準方程的建立過程，我們令c2-a2=b2，其中b>0，代入上式，得②MOF1F2xy(-c,0)(c,0)

從上述過程可以看到，雙曲線上任意一點的坐標都能滿足方程②，以方程②的解(x,y)為坐標的點到雙曲線的兩個焦點的距離之差的絕對值為2a，即以該解為坐標的點都在雙曲線上，由曲線與方程的關(guān)系可知，方程②是雙曲線的方程我們把它叫做它表示焦點在x軸上，焦點分別是F1(-c,0)F2(c,0)的雙曲線，這里c2=a2+b2.雙曲線的標準方程

類比焦點在y軸上的橢圓，如圖2.3-3，雙曲線的焦點分別是F1(0,-c)，F(xiàn)2(0,c)，a，b的意義同上，這時雙曲線的標準方程式什么？

此時雙曲線的方程是：這個方程也叫雙曲線的標準方程.MF1F2Oxy

已知雙曲線兩個焦點分別為F1(-5,0)F2(5,0)，雙曲線上的一點P到F1,F2的距離差的絕對值等于6，求雙曲線的標準方程.例2：解：因為雙曲線的焦點在x軸上，所以設(shè)它的標準方程為因為2a=6，2c=10，所以a=3，c=5，所以b2=52-32=16.因此，雙曲線的標準方程：設(shè)動點P到兩定點F1(-1,0)和F2(1,0)的距離分別為d1和d2∠F1PF2=2θ，且存在常數(shù)λ(0<λ<1)，使得d1d2sin2θ=λ.求出動點P的軌跡的曲線方程.yF1POF2Px例2：

解：在三角形PF1F2中，|F1F2|=24=d12+d22-2d1d2cos2θ(d1-d2)2+4d1d2sin2θ(d1-d2)2=4-4λ|d1-d2|2=4-4λ(小于2的常數(shù))故動點P的軌跡C是以F1,F2為焦點，實軸長的雙曲線.方程為.課堂小結(jié)MOF1F2xy

我們把平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于|F1F2|）的點的軌跡叫做雙曲線，兩個焦點間距離叫做雙曲線的焦距.這兩個定點叫做雙曲線的焦點，雙曲線就是集合：P={M||MF1|-|MF2|=2a}.其中|MF1|-|MF2|=2a

，c2-a2=b2.雙曲線的標準方程：焦點在x軸上：MOF1F2xy(-c,0)(c,0)MF1F2Oxy其中|MF1|-|MF2|=2a

，c2-a2=b2.雙曲線的標準方程：焦點在y軸上：（a>b>0）（a>0,b>0）橢圓、雙曲線的標準方程以及它們之間的區(qū)別橢圓雙曲線|MF1|+|MF2|=2a|MF1|-|MF2|=±2a

a>c>0a2-c2=b2(b>0)c>a>0c2-a2=b2(b>0)課堂練習(xí)B.A.C.D.1.設(shè)F1,F2分別是雙曲線的左、右焦點．若點P在雙曲線上，且,則（）B2.

以雙曲線的右焦點為圓心，且與其漸近線相切的圓的方程是（）A.B.C.D.A填空題1.已知中心在原點的雙曲線C的一個焦點是F1(-3,0)，一條漸近線的方程是則雙曲線C的方程是___________解：設(shè)雙曲線C的方程為由題設(shè)得:解得，所以雙曲線C的方程為解：設(shè)雙曲線方程為(a>0，b>0)由已知得a=，c=2，再由a2+b2=22，得b2=1故雙曲線C的方程為2.已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為（2，0），右頂點為，則雙曲線C的方程是______________

解答題1.AB是雙曲線x2－＝1上的兩點，N(1,2)是線段AB的中點，則直線AB的方程為_______________解：依題意，可設(shè)直線方程為y＝k(x－1)＋2代入x2－＝1，整理得(2－k)x2－2k(2－k)x－(2－k)2－2＝0①記A(x1,y1),B(x2,y2)，則x1、x2是方程①的兩個不同的實數(shù)根，所以2－k2≠0,且x1＋x2＝由N(1,2)是AB中點得(x1＋x2)＝1∴k(2－k)＝2－k2，解得k＝1，所易知AB的方程為y＝x＋1.2.已知雙曲線x2-y2=2的左、右焦點分別為F1,F2，過點F2的動直線與雙曲線相交于A,B兩點，若動點M滿足（其中O為坐標原點）求點M的軌跡方程.解：由條件知F1(-2,0),F2(2,0),A(x1,y1),B(x2,y2)設(shè)M(x,y)，則,

由得即于是AB的中點坐標為當(dāng)AB不與x軸垂直時即因為A,B兩點在雙曲線上，所以

x12-x22=2,y12-y22=2兩式相減得(x