(完整版)四邊形題型歸納

#/19(2)設(shè)AE=EF=x,在RtABEF中，BE=4-x,BF=DB-AF3:-4:=5-'.BF=5-3=￡3??用+22=(4-X)2?七在肌△在肌△ADE中，二|3(3)連接DE,BF,VEF丄DB,且平分DBAOB=ODVDC#ABAZFDO=ZEBO,ZDFO=ZBEO.?.△DOF9ABOE???OF=OE???四邊形DEBF是平行四邊形VBD丄EF?：平行四邊形DEBF是菱形???DE=EB,AE=4-DE在RtAADE中,DE^=AD^+(4-DE)^ADE=2582513x==x5xEF8215.??EF=-44.設(shè)FE二AE二st,DE=3-3!,EP=EA=4J^RtAECF中，匚F二抨二^二J7在RtADEF中，DE2+DF2-EF2(3-k)卞4-【例9】(1)=6(2)當(dāng)AP+BQ=25時，PQ把梯形ABCD分成面積相等的兩部分,1即t+(26-3t)=25,解得:t=2(3)如圖，過點D作DE丄BC,則CE=BC-AD=2亡陀.當(dāng)CQ—PD=4時，四邊形PQCD是等腰梯形.即3藝一(24—上)=4.:=7._4(4)片=2“_§,^=3【變式2】(1)t=2

(2)①P未到達(dá)C點時②P到達(dá)C點并返回時(2)①P未到達(dá)C點時②P到達(dá)C點并返回時8-t=10-2t8-t=2t-10t=2t=6⑶①如圖，若PQ=PD過P作PE丄AD于E,則QD=8-t,AE=AQ^QE=L+——.0.AE=BP2

g"t=-……言屮3②如圖，若?過R作QF丄E笛于砂則二迫」二卻在取△°F嚴(yán)中，由勾股定?得］"Q護(hù)+護(hù)二Q宀珈卩JRjg4■?亠1或w曲是勰三霰101【例10】(1)證明：連接BDTE、H分別是AB、AD的中點,.?.EH是厶ABD的中位線.??EH=龍BD,EH〃戈BD

同理得FG=2BD,FG//2BD.??EH=FG,EH〃FG???四邊形EFGH是平行四邊形（2）填空依次為平行四邊形，菱形，矩形，正方形（3）中點四邊形的形狀由原四邊形的對角線的關(guān)系來決定的.【例11】解：（1）菱形的一條對角線所在的直線。（或菱形的一組對邊的中點所在的直線或菱形對角線交點的任意一條直線）。（2）三角形一邊中線所在的直線。（3）方法一：取上、下底的中點，過兩點作直線得梯形的二分線（如圖1）方法二：過A、D作AE丄BC,DF丄BC，垂足E、F,連接AF、DE相交于0,過點0任意作直線即為梯形的二分線（如圖2）【變式3】（1）如圖2,過點尸作陽丄血衛(wèi)丄町円丄昭刃丄皿?：EP平分Z.DEC,PJ=PH同理PG=P1.?.尸是四邊形ABCD的準(zhǔn)內(nèi)點..?.尸是四邊形ABCD的準(zhǔn)內(nèi)點.(2)8E3C1)Gg]3(2)團(tuán)4平行四邊形對角線AC^BD的交點珥就是準(zhǔn)內(nèi)點，如圖(2)8E3C1)Gg]3(2)團(tuán)4或者取平行四邊形兩對邊中點連線的交點蚪就是準(zhǔn)內(nèi)點，如圖3(2)；梯形兩腰夾角的平分線與梯形中位線的交點衛(wèi)就是準(zhǔn)內(nèi)點?如圖4.(3)真；真；假.(各1分，若出現(xiàn)打“V”“X”或?qū)憽皩Α薄板e”同樣給分.)【變式4】(1)如果一個三角形和一個平行四邊形滿足條件：三角形的一邊與平行四邊形的一邊重合，三角形這邊所對的頂點在平行四邊形這邊的對邊上，則稱這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”.(2)此時共有2個友好矩形，如圖的BCAD、ABEF.易知，矩形BCAD、ABEF的面積都等于△ABC面積的2倍，.?.△ABC的“友好矩形”的面積相等.(3)此時共有3個友好矩形，如圖的BCDE、CAFG及ABHK,其中的矩形ABHK的周長最小.證明如下：易知，這三個矩形的面積相等，令其為S,設(shè)矩形BCDE、CAFG及ABHK的周長分別為L1，L2,L3,△ABC的邊長BC=a，CA=b，AB=c，則:2S2SJSLq=—+2a)Lg二丁十2ti?L3=—+2c).■.L-i-L2=(—-(藝十2七)二一空(a-b)+2(a-b)=2(a-b)■■'■Li-L2>0-即Li$Lr(a-b)+2(a-b)=2(a-b)■同理可得，L2>L3-abSdi)￡AD???"最小，即^ABHK的周辰最小.abSdi)￡AD課后練習(xí)：1、4n2、解：(1)四邊形EFGH是正方形，證明：???四邊形ABCD是正方形，AZA=ZB=ZC=ZD=90°,AB=BC=CD=DA,HA=EB=FC=GD,.??AE=BF=CG=DH,.?.△aeh^△BFE^^CGF^^DHG,.??HE=EF=FG=GH,???四邊形EFGH是菱形，由厶DHG^^AEH知ZDHG=ZAEH,*/ZAEH+ZAHE=90°,.??ZDHG+ZAHE=90°,.??ZGHE=90°,???四邊形EFGH是正方形；(2)1。3、解：(1)正確.證明：在AB上取一點M,使AM=EC，連接ME..??BM=BE,.??ZBME=45°,.??ZAME=135°,CF是外角平分線，.??ZDCF=45°,.??ZECF=135°,.\ZAME=ZECF,VZAEB+ZBAE=90°,ZAEB+ZCEF=90°,.\ZBAE=ZCEF,.△AME^AECF(ASA),???AE=EF.(2)正確.證明：在BA的延長線上取一點N.使AN=CE，連接NE..??BN=BE,AD■nQ￡AD■nQ￡EC:GTCF平分ZD