新教材2023版高中數(shù)學(xué)第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用6用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)6.1函數(shù)的單調(diào)性第2課時函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用課件北師大版選擇性必修第二冊

第2課時函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用新知初探·課前預(yù)習(xí)題型探究·課堂解透新知初探·課前預(yù)習(xí)[基礎(chǔ)自測]1．函數(shù)y＝x－lnx的單調(diào)遞減區(qū)間為(

)A．(－1，1]

B．(0，＋∞)C．[1，＋∞)D．(0，1]答案：D

2．函數(shù)f(x)＝x3＋ax－2在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是(

)A．[3，＋∞)B．[－3，＋∞)C．(－3，＋∞)D．(－∞，－3)答案：B解析：f′(x)＝3x2＋a，由題意知3x2＋a≥0在x∈(1，＋∞)上恒成立，所以a≥－3x2在x∈(1，＋∞)上恒成立．所以a≥－3.故選B.

答案：D

4．函數(shù)f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是________．

題型探究·課堂解透

方法歸納(1)在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域，解決問題的過程中只能在定義域內(nèi)，通過討論導(dǎo)數(shù)的符號來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(2)如果一個函數(shù)具有相同單調(diào)性的單調(diào)區(qū)間不止一個，那么這些單調(diào)區(qū)間中間不能用“∪”連結(jié)，而只能用“逗號”或“和”字隔開．

變式探究1

本例中的條件“h(x)在[1，4]上單調(diào)遞減”改為“h(x)在[1，4]上單調(diào)遞增”，實數(shù)a的取值范圍如何？

變式探究2

本例中的條件“h(x)在[1，4]上單調(diào)遞減”改為“h(x)在[1，4]上存在單調(diào)遞減區(qū)間”，實數(shù)a的取值范圍又如何？

變式探究3

本例中的條件“h(x)在[1，4]上單調(diào)遞減”改為“h(x)在[1，4]上不單調(diào)，”則實數(shù)a的取值范圍又如何呢？

方法歸納根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路(1)利用集合間的包含關(guān)系處理：y＝f(x)在(a，b)上單調(diào)，則區(qū)間(a，b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集．(2)f(x)為增函數(shù)的充要條件是對任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上，f′(x)不恒為零，應(yīng)注意此時式子中的等號不能省略，否則漏解．(3)函數(shù)在某個區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問題．跟蹤訓(xùn)練2

(1)若f(x)＝2x3－3x2－12x＋3在區(qū)間[m，m＋4]上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是______________________．

(2)已知函數(shù)f(x)＝2ax－x3，x∈(0，1]，a>0，若f(x)在(0，1]上是增函數(shù)，則a的取值范圍為__________．

答案：C

答案：D

答案：C解析：由題意可知，函數(shù)f(x)的定義域是R.因為f′(x)＝1－cosx≥0，所以函數(shù)f(x)是定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)．因為f(－x)＝－x－sin(－x)＝－(x－sinx)＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．因為不等式f(1－x2)＋f(3x＋3)>0可轉(zhuǎn)化為f(1－x2)>－f(3x＋3)＝f[－(3x＋3)]，所以1－x2>－(3x＋3)，即x2－3x－4<0，解得－1<x<4，即不等式的解集為(－1，4)，故選C.(2)設(shè)f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，則不等式f(x)g(x)<0的解集為_________________．

跟蹤訓(xùn)練3

(1)若定義在R上的函數(shù)y＝f(x)滿足f′(x)>f(x)，則當(dāng)a>0時，f(a)與eaf(0)的大小關(guān)系為(

)A．f(a)<eaf(0)B．f(a)>eaf(0)C．f(a)＝eaf(0)D．不能確定答案：B

(2)設(shè)定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f′(x)>f(x)，則不等式ex－1f(x)<f(2x－1)的解集為________．(1，＋∞)

易錯辨析對函數(shù)單調(diào)遞增(減)的充要條件理解不透致錯例5

已知函數(shù)f(x)＝2ax3＋4x2＋3x－1在R上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為___________．

【易錯警示】出錯原因糾錯心得設(shè)函數(shù)y＝f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則當(dāng)f′(x)>0時，f(x)為增函數(shù)，其解集為函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)f′(x)<0時，f(x)為減函數(shù)，其解集為函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間．反之，如果f(x)在某區(qū)間上單調(diào)遞增(單調(diào)遞減)，則f′(x)>0(f′(x)<0)不一定恒成立，還可能有f′(x)＝0，即f′(x)>0(f′(x)<0)是函數(shù)f(x)在對應(yīng)區(qū)間上單調(diào)遞增(單調(diào)遞減)的充分不必要條件，充要條件是f′(x)≥0(f′(x)≤0)．[課堂十分鐘]1．曲線y＝x2－2lnx的單調(diào)增區(qū)間是(

)A．(0，1]B．[1，＋∞)C．(－∞，－1]和(0，1]D．[－1，0)和[1，＋∞)答案：B

答案：A

答案：C解析：因為f(x)＝x－sinx，所以f(－x)＝－x＋sinx＝－f(x)，即函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)＝1－cosx≥0，則函數(shù)f(x)是增函數(shù)，則不等式f(x＋1)＋f(2－2x)>0等價為f(x＋1)>－f(2－2x)＝f(2x－2)，即x＋1>2x－2，解得x<3，故不等式的解集為(－