【三套打包】濱州市人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第十七章勾股定理單元試題含答案

人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第十七章勾股定理檢測(cè)試題一、選擇題（每小題3分，共30分）1.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD是AB邊上的中線，則CD的長(zhǎng)是（）A．20 B．10 C．5 D．2.下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．4，5，6 C．1.5，2，2.5 D．1，，33.如圖，有兩棵樹(shù)，一棵高8米，另一棵高2米，兩樹(shù)相距8米，一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢，則它至少要飛行（）米．A．10B．9 C．8 D．114.等腰三角形的底邊長(zhǎng)為6，底邊上的中線長(zhǎng)為4，它的腰長(zhǎng)為（）A．7 B．6 C．5 D．45.如圖，OP=1，過(guò)P作PP1⊥OP，得OP1=；再過(guò)P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又過(guò)P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依次法繼續(xù)作下去，得OP2019的值等于（）A． B． C． D．第1題圖第3題圖第5題圖第7題圖6.已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別是5和12，則第三邊為（）A．13 B． C．13或 D．不能確定7.如圖，平安路與幸福路是兩條平行的道路，且與新興大街垂直，老街與小米胡同垂直，書(shū)店位于老街與小米胡同的交口處，如果小強(qiáng)同學(xué)站在平安路與新興大街的交叉路口，準(zhǔn)備去書(shū)店，按圖中的街道行走，最近的路程為（）m．A．600 B．400 C．2000 D．5008.中國(guó)數(shù)學(xué)史上最先完成勾股定理證明的數(shù)學(xué)家是公元3世紀(jì)三國(guó)時(shí)期的趙爽，他為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱(chēng)其為“趙爽弦圖”（如圖1）．圖2由弦圖變化得到，它是用八個(gè)全等的直角三角形拼接而成．將圖中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面積分別記為S1，S2，S3，若S1+S2+S3=18，則正方形EFGH的面積為（）A．9 B．6 C．5 D．第8題圖第9題圖第10題圖9.如圖，修公路遇到一座山，于是要修一條隧道．為了加快施工進(jìn)度，想在小山的另一側(cè)同時(shí)施工．為了使山的另一側(cè)的開(kāi)挖點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，設(shè)想過(guò)C點(diǎn)作直線AB的垂線L，過(guò)點(diǎn)B作一直線（在山的旁邊經(jīng)過(guò)），與L相交于D點(diǎn)，經(jīng)測(cè)量∠ABD=135°，BD=800米，則直線L上距離D點(diǎn)C處開(kāi)挖的長(zhǎng)度是（）。A．400 B．400C．500 D.50010.如圖，一只螞蟻從長(zhǎng)、寬都是4，高是6的長(zhǎng)方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它所行的最短路線的長(zhǎng)是（）A．9 B．10 C． D．二、填空題（每小題4分，共24分）11.三個(gè)正方形的面積如圖所示，則字母B所代表的正方形的面積是．12.如圖，已知OA=OB，那么數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)是．13.如圖，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中點(diǎn)．若AD=6，DE=5，則CD的長(zhǎng)等于．第11題圖第12題圖第13題圖14.直角三角形中，兩直角邊長(zhǎng)分別為12和5，則斜邊中線長(zhǎng)是．15.一架方梯AB長(zhǎng)25米，如圖所示，斜靠在一面上，梯子底端離墻7米。如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了米.第15題圖第16題圖16.如圖，一透明的圓柱體玻璃杯，從內(nèi)部測(cè)得底部直徑為6cm，杯深8cm．今有一根長(zhǎng)為16cm的吸管如圖放入杯中，露在杯口外的長(zhǎng)度為h，則h的變化范圍是：．三、解答題（17-19每題8分，20每題10分，21題12分，共46分）17.如圖四邊形ABCD是一塊草坪，量得四邊長(zhǎng)AB=3m，BC=4m，DC=12m，AD=13m，∠B=90°，求這塊草坪的面積．18.在解答“判斷由長(zhǎng)為、2、的線段組成的三角形是不是直角三角形”一題中，小明是這樣做的解：設(shè)a=，b=2，c=，又因?yàn)閍2+b2=（）2+22=≠=c2．所以由a、b、c組成的三角形不是直角三角形，你認(rèn)為小明的解答正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．19.如圖，在一棵樹(shù)的10米高B處有兩只猴子，其中一只爬下樹(shù)走向離樹(shù)20米的池塘C，而另一只爬到樹(shù)頂D后直撲池塘C，結(jié)果兩只猴子經(jīng)過(guò)的距離相等，問(wèn)這棵樹(shù)有多高？20.a，b，c為三角形ABC的三邊，且滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，試判別這個(gè)三角形的形狀．21.如圖，由5個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形組成一個(gè)“十”字形，一共有12個(gè)頂點(diǎn)，要求：從這12點(diǎn)中取出4個(gè)點(diǎn)，直接在圖中連出不同大小的正方形，并寫(xiě)出相應(yīng)的正方形的邊長(zhǎng)．（1）圖1邊長(zhǎng)是；（2）圖2邊長(zhǎng)是．22.如圖1，有一組平行線l1∥l2∥l3∥l4，正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D分別在l1、l2、l3、l4上，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥l1于點(diǎn)E．已知相鄰兩條平行線之間的距離為2．（1）求AE及正方形ABCD的邊長(zhǎng)；（2）如圖2，延長(zhǎng)AD交l4于點(diǎn)G，求CG的長(zhǎng)度．參考答案：一、選擇題（每小題3分，共30分）1.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD是AB邊上的中線，則CD的長(zhǎng)是（）A．20 B．10 C．5 D．【考點(diǎn)】勾股定理；直角三角形斜邊上的中線．【分析】在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理求得AB=10；然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)來(lái)求CD的長(zhǎng)度．【解答】解：如圖，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB===10．又∵CD是AB邊上的中線，∴CD=AB=5．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線、勾股定理．在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）．2.下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．4，5，6 C．1.5，2，2.5 D．1，，3【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理．【分析】三角形三邊滿足兩個(gè)較小邊的平方和等于較大邊的平方，這個(gè)三角形就是直角三角形．【解答】解：A、22+32≠42，不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)，故本選項(xiàng)不符合題意．B、42+52≠62，不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)，故本選項(xiàng)不符合題意．C、1.52+22=2.52，能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)，故本選項(xiàng)符合題意．D、12+（）2≠32，不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)，故本選項(xiàng)不符合題意．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的逆定理，關(guān)鍵知道兩個(gè)較小邊的平方和等于較大邊的平方，這個(gè)三角形就是直角三角形．3.如圖，有兩棵樹(shù)，一棵高8米，另一棵高2米，兩樹(shù)相距8米，一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢，則它至少要飛行（）米．A．10B．9 C．8 D．11【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用．【分析】從題目中找出直角三角形并利用勾股定理解答．【解答】解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，連接BD．在Rt△BDE中，DE=8米，BE=8﹣2=6米．根據(jù)勾股定理得BD=10米．故選A。4.等腰三角形的底邊長(zhǎng)為6，底邊上的中線長(zhǎng)為4，它的腰長(zhǎng)為（）A．7 B．6 C．5 D．4【考點(diǎn)】勾股定理；等腰三角形的性質(zhì)．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知BC上的中線AD同時(shí)是BC上的高線，根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)即可．【解答】解：∵等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是BC上的中線，∴BD=CD=BC=3，AD同時(shí)是BC上的高線，∴AB==5，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理及等腰三角形的性質(zhì)．解題關(guān)鍵是得出中線AD是BC上的高線，難度適中．5.如圖，OP=1，過(guò)P作PP1⊥OP，得OP1=；再過(guò)P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又過(guò)P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依次法繼續(xù)作下去，得OP2019的值等于（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】勾股定理．【分析】首先根據(jù)勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3的長(zhǎng)度找到規(guī)律進(jìn)而求出OP2016的長(zhǎng)．【解答】解：由勾股定理得：OP1=，OP2=，OP3==2，…；依此類(lèi)推可得：OPn=，∴OP2019=，故選：D．第1題圖第3題圖第5題圖第7題圖6.已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別是5和12，則第三邊為（）A．13 B． C．13或 D．不能確定【考點(diǎn)】勾股定理．【分析】本題已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)，但未明確這兩條邊是直角邊還是斜邊，所以求第三邊的長(zhǎng)必須分類(lèi)討論，即12是斜邊或直角邊的兩種情況，然后利用勾股定理求解．【解答】解：當(dāng)12是斜邊時(shí)，第三邊長(zhǎng)==；當(dāng)12是直角邊時(shí)，第三邊長(zhǎng)==13；故第三邊的長(zhǎng)為：或13．故選C．7.如圖，平安路與幸福路是兩條平行的道路，且與新興大街垂直，老街與小米胡同垂直，書(shū)店位于老街與小米胡同的交口處，如果小強(qiáng)同學(xué)站在平安路與新興大街的交叉路口，準(zhǔn)備去書(shū)店，按圖中的街道行走，最近的路程為（）m．A．600 B．400 C．2000 D．500【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用．【分析】由于BC∥AD，那么有∠DAE=∠ACB，由題意可知∠ABC=∠DEA=90°，BA=ED，利用AAS可證△ABC≌△DEA，于是AE=BC=300，再利用勾股定理可求AC，即可求CE，根據(jù)圖可知從B到E的走法有兩種，分別計(jì)算比較即可．【解答】解：如右圖所示，∵BC∥AD，∴∠DAE=∠ACB，又∵BC⊥AB，DE⊥AC，∴∠ABC=∠DEA=90°，又∵AB=DE=400m，∴△ABC≌△DEA，∴EA=BC=300m，在Rt△ABC中，AC==500m，∴CE=AC﹣AE=200m，從B到E有兩種走法：①BA+AE=700m；②BC+CE=500m，∴最近的路程是500m．故答案是：500．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理．解題的關(guān)鍵是證明△ABC≌△DEA，并能比較從B到E有兩種走法．8.中國(guó)數(shù)學(xué)史上最先完成勾股定理證明的數(shù)學(xué)家是公元3世紀(jì)三國(guó)時(shí)期的趙爽，他為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱(chēng)其為“趙爽弦圖”（如圖1）．圖2由弦圖變化得到，它是用八個(gè)全等的直角三角形拼接而成．將圖中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面積分別記為S1，S2，S3，若S1+S2+S3=18，則正方形EFGH的面積為（）A．9 B．6 C．5 D．【考點(diǎn)】勾股定理的證明．【分析】據(jù)圖形的特征得出四邊形MNKT的面積設(shè)為x，將其余八個(gè)全等的三角形面積一個(gè)設(shè)為y，從而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可．【解答】解：將四邊形MTKN的面積設(shè)為x，將其余八個(gè)全等的三角形面積一個(gè)設(shè)為y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，S1+S2+S3=18，∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，∴S1+S2+S3=3x+12y=18，故3x+12y=18，x+4y=6，所以S2=x+4y=6，即正方形EFGH的面積為6．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)已知得出用x，y表示出S1，S2，S3，再利用S1+S2+S3=18求出是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．第8題圖第9題圖第10題圖9.如圖，修公路遇到一座山，于是要修一條隧道．為了加快施工進(jìn)度，想在小山的另一側(cè)同時(shí)施工．為了使山的另一側(cè)的開(kāi)挖點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，設(shè)想過(guò)C點(diǎn)作直線AB的垂線L，過(guò)點(diǎn)B作一直線（在山的旁邊經(jīng)過(guò)），與L相交于D點(diǎn)，經(jīng)測(cè)量∠ABD=135°，BD=800米，則直線L上距離D點(diǎn)C處開(kāi)挖的長(zhǎng)度是（）。A．400 B．400C．500 D.500【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用．【分析】首先證明△BCD是等腰直角三角形，再根據(jù)勾股定理可得CD2+BC2=BD2，然后再代入BD=800米進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°，∵∠ABD=135°，∴∠DBC=45°，∴∠D=45°，∴CB=CD，在Rt△DCB中：CD2+BC2=BD2，2CD2=8002，CD=400（米），答：直線L上距離D點(diǎn)400米的C處開(kāi)挖．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．10.如圖，一只螞蟻從長(zhǎng)、寬都是4，高是6的長(zhǎng)方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它所行的最短路線的長(zhǎng)是（）A．9 B．10 C． D．【考點(diǎn)】平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題．【分析】將長(zhǎng)方體展開(kāi)，得到兩種不同的方案，利用勾股定理分別求出AB的長(zhǎng)，最短者即為所求．【解答】解：如圖（1），AB==；如圖（2），AB===10．故選B．二、填空題（每小題4分，共24分）11.三個(gè)正方形的面積如圖所示，則字母B所代表的正方形的面積是144．【考點(diǎn)】勾股定理．【分析】在本題中，外圍正方形的面積就是斜邊和一直角邊的平方，實(shí)際上是求另一直角邊的平方，用勾股定理即可解答．【解答】解：如圖，根據(jù)勾股定理我們可以得出：a2+b2=c2a2=25，c2=169b2=169﹣25=144因此B的面積是144．故答案為：144．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的面積公式和勾股定理的應(yīng)用．只要搞清楚直角三角形的斜邊和直角邊本題就容易多了．12.如圖，已知OA=OB，那么數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)是﹣．【考點(diǎn)】勾股定理；實(shí)數(shù)與數(shù)軸．【分析】首先根據(jù)勾股定理得：OB=．即OA=．又點(diǎn)A在數(shù)軸的負(fù)半軸上，則點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是﹣．【解答】解：由圖可知，OC=2，作BC⊥OC，垂足為C，取BC=1，故OB=OA===，∵A在x的負(fù)半軸上，∴數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)是﹣．故答案為：﹣．13.如圖，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中點(diǎn)．若AD=6，DE=5，則CD的長(zhǎng)等于8．【考點(diǎn)】勾股定理；直角三角形斜邊上的中線．【分析】由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”求得AC=2DE=10；然后在直角△ACD中，利用勾股定理來(lái)求線段CD的長(zhǎng)度即可．【解答】解：如圖，∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中點(diǎn)，DE=5，∴DE=AC=5，∴AC=10．在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，則根據(jù)勾股定理，得CD===8．故答案是：8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線．利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得AC的長(zhǎng)度是解題的難點(diǎn)．第11題圖第12題圖第13題圖14.直角三角形中，兩直角邊長(zhǎng)分別為12和5，則斜邊中線長(zhǎng)是．【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線；勾股定理．【分析】根據(jù)勾股定理求出斜邊，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半計(jì)算即可．【解答】解：∵直角三角形中，兩直角邊長(zhǎng)分別為12和5，∴斜邊==13，則斜邊中線長(zhǎng)是，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用和直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，掌握直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．15.一架方梯AB長(zhǎng)25米，如圖所示，斜靠在一面上，梯子底端離墻7米。如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了米.【解答】解：.在Rt△AOB中，AB=25米，OB=7米，OA===24（米）．答：梯子的頂端距地面24米；.在Rt△AOB中，A′O=24﹣4=20米，OB′===15（米），BB′=15﹣7=8米．故梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了8米．第15題圖第16題圖16.如圖，一透明的圓柱體玻璃杯，從內(nèi)部測(cè)得底部直徑為6cm，杯深8cm．今有一根長(zhǎng)為16cm的吸管如圖放入杯中，露在杯口外的長(zhǎng)度為h，則h的變化范圍是：6cm＜h＜8cm．【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用．【分析】根據(jù)題中已知條件，首先要考慮吸管放進(jìn)杯里垂直于底面時(shí)最短為8cm，則露在杯口外的長(zhǎng)度最長(zhǎng)為16﹣8=8cm；最長(zhǎng)時(shí)與底面直徑和高正好組成直角三角形，用勾股定理解答進(jìn)而求出露在杯口外的長(zhǎng)度最短．【解答】解：當(dāng)吸管放進(jìn)杯里垂直于底面時(shí)最短為8cm，則露在杯口外的長(zhǎng)度最長(zhǎng)為16﹣8=8cm；最長(zhǎng)時(shí)與底面直徑和高正好組成直角三角形，底面直徑為6cm，高為8cm，所以由勾股定理可得杯里面管長(zhǎng)為=10cm，則露在杯口外的長(zhǎng)度最長(zhǎng)為16﹣10=6cm；所以，露在杯口外的長(zhǎng)度在6cm和8cm范圍變化．故答案為：6cm＜h＜8cm．三、解答題（17-19每題8分，20每題10分，21題12分，共46分）17.如圖四邊形ABCD是一塊草坪，量得四邊長(zhǎng)AB=3m，BC=4m，DC=12m，AD=13m，∠B=90°，求這塊草坪的面積．【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用；三角形的面積．【專(zhuān)題】應(yīng)用題．【分析】連接AC，由∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm可知AC=5cm；由AC、AD、CD的長(zhǎng)可判斷出△ACD是直角三角形，根據(jù)兩三角形的面積可求出草坪的面積．【解答】解：在Rt△ABC中，AB=3m，BC=4m，∠B=90°由勾股定理得AB2+BC2=AC2∴AC=5m（2分）在△ADC中，AC=5m，DC=12m，AD=13m∴AC2+DC2=169，AD2=169∴AC2+DC2=AD2∠ACD=90°（5分）四邊形的面積=SRt△ABC+SRt△ADC===36（m2）答：這塊草坪的面積是36m2【點(diǎn)評(píng)】本題是勾股定理在實(shí)際中的應(yīng)用，比較簡(jiǎn)單．18.在解答“判斷由長(zhǎng)為、2、的線段組成的三角形是不是直角三角形”一題中，小明是這樣做的解：設(shè)a=，b=2，c=，又因?yàn)閍2+b2=（）2+22=≠=c2．所以由a、b、c組成的三角形不是直角三角形，你認(rèn)為小明的解答正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理．【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，求出兩小邊的平方和和大邊的平方，看看是否相等即可．【解答】解：小明的做法不正確，理由是：∵（）2+（）2=22，∴三角形是直角三角形．19.如圖，在一棵樹(shù)的10米高B處有兩只猴子，其中一只爬下樹(shù)走向離樹(shù)20米的池塘C，而另一只爬到樹(shù)頂D后直撲池塘C，結(jié)果兩只猴子經(jīng)過(guò)的距離相等，問(wèn)這棵樹(shù)有多高？【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用．【分析】首先根據(jù)題意，正確畫(huà)出圖形，還要根據(jù)題意確定已知線段的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理列方程進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：設(shè)BD=x米，則AD=（10+x）米，CD=（30﹣x）米，根據(jù)題意，得：（30﹣x）2﹣（x+10）2=202，解得x=5．即樹(shù)的高度是10+5=15米．【點(diǎn)評(píng)】能夠根據(jù)題意用同一個(gè)未知數(shù)表示出直角三角形的三邊是解決此題的關(guān)鍵．20.a，b，c為三角形ABC的三邊，且滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，試判別這個(gè)三角形的形狀．【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方；完全平方公式．【專(zhuān)題】計(jì)算題．【分析】現(xiàn)對(duì)已知的式子變形，出現(xiàn)三個(gè)非負(fù)數(shù)的平方和等于0的形式，求出a、b、c，再驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方即可．【解答】解：由a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，得：（a2﹣10a+25）+（b2﹣24b+144）+（c2﹣26c+169）=0，即：（a﹣5）2+（b﹣12）2+（c﹣13）2=0，由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得：，解得，∵52+122=169=132，即a2+b2=c2，∴∠C=90°，即三角形ABC為直角三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用、完全平方公式、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長(zhǎng)，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．21.如圖，由5個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形組成一個(gè)“十”字形，一共有12個(gè)頂點(diǎn)，要求：從這12點(diǎn)中取出4個(gè)點(diǎn)，直接在圖中連出不同大小的正方形，并寫(xiě)出相應(yīng)的正方形的邊長(zhǎng)．（1）圖1邊長(zhǎng)是；（2）圖2邊長(zhǎng)是．考點(diǎn)：勾股定理．分析：畫(huà)出圖形，根據(jù)勾股定理解答．解答：解：（1）邊長(zhǎng)是=；（2）邊長(zhǎng)是=；另：（3）邊長(zhǎng)是1．故答案為，．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了勾股定理，找到圖形中的直角三角形是解題的關(guān)鍵．22.如圖1，有一組平行線l1∥l2∥l3∥l4，正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D分別在l1、l2、l3、l4上，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥l1于點(diǎn)E．已知相鄰兩條平行線之間的距離為2．（1）求AE及正方形ABCD的邊長(zhǎng)；（2）如圖2，延長(zhǎng)AD交l4于點(diǎn)G，求CG的長(zhǎng)度．考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；平行線之間的距離；正方形的性質(zhì)．分析：（1）利用已知得出△FAB≌△EDA（AAS），即可得出AE，以及正方形的邊長(zhǎng)；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥CG于點(diǎn)H，利用勾股定理求得DH的長(zhǎng)度，然后由射影定理來(lái)求CG的長(zhǎng)度．解：（1）如圖1，過(guò)B點(diǎn)作BF⊥l1，垂足為F，人教新版八年級(jí)下冊(cè)第17章《勾股定理》解答題專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)題（含答案）《勾股定理》解答題專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)題1．在△ABC中，∠ABC＝90°，D為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，AD＝a，AC＝b，其中a，b為常數(shù)，且a＜b．將△ABD沿射線BC方向平移，得到△FCE，點(diǎn)A、B、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)F、C、E．連接BE．（1）如圖1，若D在△ABC內(nèi)部，請(qǐng)?jiān)趫D1中畫(huà)出△FCE；（2）在（1）的條件下，若AD⊥BE，求BE的長(zhǎng)（用含a，b的式子表示）；（3）若∠BAC＝α，當(dāng)線段BE的長(zhǎng)度最大時(shí)，則∠BAD的大小為；當(dāng)線段BE的長(zhǎng)度最小時(shí)，則∠BAD的大小為（用含α的式子表示）．2．如圖，甲輪船以16海里/小時(shí)的速度離開(kāi)港口O向東南方向航行，乙輪船同時(shí)同地向西南方向航行，已知他們離開(kāi)港口一個(gè)半小時(shí)后分別到達(dá)B、A兩點(diǎn)，且知AB＝30海里，問(wèn)乙輪船每小時(shí)航行多少海里？3．為了豐富少年兒童的業(yè)余生活，某社區(qū)要在如圖中的AB所在的直線上建一圖書(shū)室，本社區(qū)有兩所學(xué)校所在的位置在點(diǎn)C和點(diǎn)D處，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B．已知AB＝2.5km，CA＝1.5km，DB＝1.0km，試問(wèn)：圖書(shū)室E應(yīng)該建在距點(diǎn)A多少km處，才能使它到兩所學(xué)校的距離相等？4．如圖所示，四邊形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，BC＝13cm，CD＝12cm，∠A＝90°，求四邊形ABCD的面積．5．如圖，已知在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2cm，AD＝cm，CD＝5cm，BC＝4cm，求四邊形ABCD的面積．6．如圖，在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的中線，動(dòng)點(diǎn)D在直線AM上時(shí)，以CD為一邊且在CD的下方作等邊△CDE，連接BE．（1）填空：∠ACB＝度；（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段AM上（點(diǎn)D不運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A）時(shí)，試求出的值；（3）若AB＝8，以點(diǎn)C為圓心，以5為半徑作⊙C與直線BE相交于點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中（點(diǎn)D與點(diǎn)A重合除外），試求PQ的長(zhǎng)．7．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D為斜邊BC中點(diǎn)，DE⊥DF，求證：EF2＝BE2+CF2．8．如圖、四邊形ABCD中，AB＝AD＝6，∠A＝60°，∠ADC＝150°，已知四邊形的周長(zhǎng)為30，求四邊形ABCD的面積．9．如圖所示，甲、乙兩船同時(shí)由港口A出發(fā)開(kāi)往海島B，甲船沿東北方向向海島B航行，其速度為15海里/小時(shí)；乙船速度為20海里/小時(shí)，先沿正東方向航行1小時(shí)后，到達(dá)C港口接旅客，停留半小時(shí)后再轉(zhuǎn)向北偏東30°方向開(kāi)往B島，其速度仍為20海里/小時(shí)．（1）求港口A到海島B的距離；（2）B島建有一座燈塔，在離燈塔方圓5海里內(nèi)都可以看見(jiàn)燈塔，問(wèn)甲、乙兩船哪一艘先看到燈塔？10．如圖在四邊形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°，求∠DAB的度數(shù)．11．已知：如圖，在△ABC，BC＝2，S△ABC＝3，∠ABC＝135°，求AC、AB的長(zhǎng)．12．水池中有水，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的終點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面．水的深度和這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別是多少？13．如圖，AD是已知△ABC中BC邊上的高．P是AD上任意一點(diǎn)，當(dāng)P從A向D移動(dòng)時(shí)，線段PB、PC的長(zhǎng)都在變化，試探索PB2﹣PC2的值如何變化？14．如圖，一架2.5米長(zhǎng)的梯子AB，斜靠在一豎直的墻AC上，這時(shí)梯足B到墻底端C的距離為0.7米，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4米，那么梯足將向外移多少米？15．在甲村至乙村的公路旁有一塊山地正在開(kāi)發(fā)，現(xiàn)有一C處需要爆破，已知點(diǎn)C與公路上的?？空続的距離為300米，與公路上另一?？空綛的距離為400米，且CA⊥CB，如圖，為了安全起見(jiàn)，爆破點(diǎn)C周?chē)霃?50米范圍內(nèi)不得進(jìn)入，問(wèn)在進(jìn)行爆破時(shí)，公路AB段是否有危險(xiǎn)，是否而需要暫時(shí)封鎖？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算進(jìn)行說(shuō)明．16．小明聽(tīng)說(shuō)“武黃城際列車(chē)”已經(jīng)開(kāi)通，便設(shè)計(jì)了如下問(wèn)題：如圖，以往從黃石A坐客車(chē)到武昌客運(yùn)站B，現(xiàn)在可以在A坐城際列車(chē)到武漢青山站C，再?gòu)那嗌秸綜坐市內(nèi)公共汽車(chē)到武昌客運(yùn)站B．設(shè)AB＝80km，BC＝20km，∠ABC＝120°．請(qǐng)你幫助小明解決以下問(wèn)題：（1）求A、C之間的距離；（參考數(shù)據(jù)＝4.6）（2）若客車(chē)的平均速度是60km/h，市內(nèi)的公共汽車(chē)的平均速度為40km/h，城際列車(chē)的平均速度為180km/h，為了最短時(shí)間到達(dá)武昌客運(yùn)站，小明應(yīng)該選擇哪種乘車(chē)方案？請(qǐng)說(shuō)明理由．（不計(jì)候車(chē)時(shí)間）17．如圖，一架長(zhǎng)2.5m的梯子AB斜靠在墻AC上，∠C＝90°，此時(shí)，梯子的底端B離墻底C的距離BC為0.7m．（1）求此時(shí)梯子的頂端A距地面的高度AC；（2）如果梯子的頂端A下滑了0.9m，那么梯子的頂端B在水平方向上向右滑動(dòng)了多遠(yuǎn)？18．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，∠B＝45°，∠C＝30°，AD＝1，求△ABC的周長(zhǎng)．19．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，BC＝4，CD＝8．（1）求∠ADC的度數(shù)；（2）求四邊形ABCD的面積．20．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，對(duì)角線AC⊥CD，點(diǎn)E在邊BC上，且∠AEB＝45°，CD＝10．（1）求AB的長(zhǎng)；（2）求EC的長(zhǎng)．21．校車(chē)安全是近幾年社會(huì)關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題，安全隱患主要是超速和超載，某中學(xué)九年級(jí)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組進(jìn)行了測(cè)試汽車(chē)速度的實(shí)驗(yàn)．如圖，先在筆直的公路1旁選取一點(diǎn)A，在公路1上確定點(diǎn)B、C，使得AC⊥l，∠BAC＝60°，再在AC上確定點(diǎn)D，使得∠BDC＝75°，測(cè)得AD＝40米．已知本路段對(duì)校車(chē)限速是50千米/時(shí)，測(cè)得某校車(chē)從B到C勻速行駛用時(shí)10秒．（1）求CD的長(zhǎng)．（結(jié)果保留根號(hào)）（2）問(wèn)這輛車(chē)在本路段是否超速？請(qǐng)說(shuō)明理由（參考數(shù)據(jù)：＝1.414，＝1.73）22．如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD對(duì)折，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，求CD的長(zhǎng)．23．定義：若三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是x、y和z，滿足x2+y2＝z2，則稱(chēng)這個(gè)三角形為勾股三角形．（1）根據(jù)上述定義，“直角三角形是勾股三角形”是真命題還是假命題；（2）已知一勾股三角形三個(gè)內(nèi)角從小到大依次為x、y和z，且xy＝2160，求x+y的值；（3）如圖，△ABC中，AB＝，BC＝2，AC＝1+，求證：△ABC是勾股三角形．24．在杭州西湖風(fēng)景游船處，如圖，在離水面高度為5m的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開(kāi)始時(shí)繩子BC的長(zhǎng)為13m，此人以0.5m/s的速度收繩.10s后船移動(dòng)到點(diǎn)D的位置，問(wèn)船向岸邊移動(dòng)了多少m？（假設(shè)繩子是直的，結(jié)果保留根號(hào)）25．如圖，某地方政府決定在相距50km的A、B兩站之間的公路旁E點(diǎn)，修建一個(gè)土特產(chǎn)加工基地，且使C、D兩村到E點(diǎn)的距離相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA＝30km，CB＝20km，那么基地E應(yīng)建在離A站多少千米的地方？26．“中華人民共和國(guó)道路交通管理?xiàng)l例”規(guī)定：小汽車(chē)在城街路上行駛速度不得超過(guò)70千米/小時(shí)，如圖，一輛小汽車(chē)在一條城市街道上直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路面對(duì)車(chē)速檢測(cè)儀正前方30米C處，過(guò)了2秒后，小汽車(chē)行駛到B處，測(cè)得小汽車(chē)與車(chē)速檢測(cè)儀間距離為50米，（1）求BC的長(zhǎng)；（2）這輛小汽車(chē)超速了嗎？27．如圖，B、D、C三點(diǎn)在一條直線上，∠ADB＝∠ADC＝90°，BD＝DE，∠DAC＝45°；（1）線段AB、CE的關(guān)系為；（2）若BD＝a，AD＝b，AB＝c，請(qǐng)利用此圖的面積式證明勾股定理．28．如圖，一個(gè)直徑為10cm的杯子，在它的正中間豎直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm，當(dāng)筷子倒向杯壁時(shí)（筷子底端不動(dòng)），筷子頂端剛好觸到杯口，求筷子長(zhǎng)度和杯子的高度．29．如圖1，在6×8的網(wǎng)格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)D、A同時(shí)出發(fā)向右移動(dòng)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，兩個(gè)點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)．（1）請(qǐng)?jiān)?×8的網(wǎng)格紙圖2中畫(huà)出運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為2秒時(shí)的線段PQ并求其長(zhǎng)度；（2）在動(dòng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，△PQB能否成為PQ＝BQ的等腰三角形？若能，請(qǐng)求出相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．30．如圖，將邊長(zhǎng)為a與b、對(duì)角線長(zhǎng)為c的長(zhǎng)方形紙片ABCD，繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到長(zhǎng)方形FGCE，連接AF．通過(guò)用不同方法計(jì)算梯形ABEF的面積可驗(yàn)證勾股定理，請(qǐng)你寫(xiě)出驗(yàn)證的過(guò)程．31．一、閱讀理解：在△ABC中，BC＝a，CA＝b，AB＝c；（1）若∠C為直角，則a2+b2＝c2；（2）若∠C為銳角，則a2+b2與c2的關(guān)系為：a2+b2＞c2；（3）若∠C為鈍角，試推導(dǎo)a2+b2與c2的關(guān)系．二、探究問(wèn)題：在△ABC中，BC＝a＝3，CA＝b＝4，AB＝c，若△ABC是鈍角三角形，求第三邊c的取值范圍．32．已知等腰三角形ABC的底邊BC＝20cm，D是腰AB上一點(diǎn)，且CD＝16cm，BD＝12cm．（1）求證：CD⊥AB；（2）求該三角形的腰的長(zhǎng)度．33．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D、E是直線AB上兩點(diǎn)．∠DCE＝45°（1）當(dāng)CE⊥AB時(shí)，點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，顯然DE2＝AD2+BE2（不必證明）；（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)D不與點(diǎn)A重合時(shí)，求證：DE2＝AD2+BE2；（3）當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，（2）中的結(jié)論是否成立？畫(huà)出圖形，說(shuō)明理由．34．勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰以靈感，他驚喜的發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個(gè)全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時(shí)，都可以用“面積法”來(lái)證明，下面是小聰利用圖1證明勾股定理的過(guò)程：將兩個(gè)全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中∠DAB＝90°，求證：a2+b2＝c2證明：連結(jié)DB，過(guò)點(diǎn)D作BC邊上的高DF，則DF＝EC＝b﹣a∵S四邊形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．又∵S四邊形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a）∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）∴a2+b2＝c2請(qǐng)參照上述證法，利用圖2完成下面的證明．將兩個(gè)全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中∠DAB＝90°．求證：a2+b2＝c2．35．一架方梯AB長(zhǎng)25米，如圖所示，斜靠在一面上：（1）若梯子底端離墻7米，這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？（2）在（1）的條件下，如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了幾米？36．如圖，Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，CD⊥AB交AB于D，以CD為較短的直角邊向△CDB的同側(cè)作Rt△DEC，滿足∠E＝30°，∠DCE＝90°，再用同樣的方法作Rt△FGC，∠FCG＝90°，繼續(xù)用同樣的方法作Rt△HIC，∠HCI＝90°．若AC＝a，求CI的長(zhǎng)．37．在尋找馬航MH370航班過(guò)程中，兩艘搜救艦艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目標(biāo)A、B．接到消息后，一艘艦艇以16海里/時(shí)的速度離開(kāi)港口O（如圖所示）向北偏東40°方向航行，另一艘艦艇在同時(shí)以12海里/時(shí)的速度向北偏西一定角度的航向行駛，已知它們離港口一個(gè)半小時(shí)后相距30海里，問(wèn)另一艘艦艇的航行方向是北偏西多少度？38．在合肥市地鐵一號(hào)線的修建過(guò)程中，原設(shè)計(jì)的地鐵車(chē)站出入口高度較低，為適應(yīng)地形，把地鐵車(chē)站出入口上下樓梯的高度普遍增加了，如圖所示，已知原設(shè)計(jì)樓梯BD長(zhǎng)20米，在樓梯水平長(zhǎng)度（BC）不發(fā)生改變的前提下，樓梯的傾斜角由30°增大到45°，那么新設(shè)計(jì)的樓梯高度將會(huì)增加多少米？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）39．閱讀：能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)a，b，c，稱(chēng)為勾股數(shù)．世界上第一次給出勾股數(shù)通解公式的是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》，其勾股數(shù)組公式為：其中m＞n＞0，m，n是互質(zhì)的奇數(shù)．應(yīng)用：當(dāng)n＝1時(shí)，求有一邊長(zhǎng)為5的直角三角形的另外兩條邊長(zhǎng)．40．如圖，在鈍角△ABC中，BC＝9，AB＝17，AC＝10，AD⊥BC于D，求AD的長(zhǎng)．

參考答案一．解答題1．解：（1）如圖，（2）連接BF．∵將△ABD沿射線BC方向平移，得到△FCE，∴AD∥EF，AD＝EF；AB∥FC，AB＝FC．∵∠ABC＝90°，∴四邊形ABCF為矩形．∴AC＝BF．∵AD⊥BE，∴EF⊥BE．∵AD＝a，AC＝b，∴EF＝a，BF＝b．∴．（3）①如圖，當(dāng)線段BE的長(zhǎng)度最大時(shí)，E點(diǎn)在BF的延長(zhǎng)線上，∵四邊形ABCF是矩形，∠BAC＝α，∴∠BFC＝α，∴∠EFC＝180°﹣α．∴∠BAD＝180°﹣α．②如圖，當(dāng)線段BE的長(zhǎng)度最小時(shí)，E點(diǎn)在BF上，∵四邊形ABCF是矩形，∠BAC＝α，∴AC＝BF，且互相平分，∴∠BAC＝∠ABF，∠BFC＝∠ACF，∵∠AOB＝∠COF，∴∠BAC＝∠ABF＝∠BFC＝∠ACF，∴∠BFC＝∠BAC＝α，∴∠BAD＝α．故答案為：180°﹣α，α．2．解：∵甲輪船向東南方向航行，乙輪船向西南方向航行，∴AO⊥BO，∵甲輪船以16海里/小時(shí)的速度航行了一個(gè)半小時(shí)，∴OB＝16×1.5＝24海里，AB＝30海里，∴在Rt△AOB中，AO＝＝＝18，∴乙輪船每小時(shí)航行18÷1.5＝12海里．3．解：由題意可得：設(shè)AE＝xkm，則EB＝（2.5﹣x）km，∵AC2+AE2＝EC2，BE2+DB2＝ED2，EC＝DE，∴AC2+AE2＝BE2+DB2，∴1.52+x2＝（2.5﹣x）2+12，解得：x＝1．答：圖書(shū)室E應(yīng)該建在距點(diǎn)A1km處，才能使它到兩所學(xué)校的距離相等．4．解：連接BD，∵AB＝3cm，AD＝4cm，∠A＝90°∴BD＝5cm，S△ABD＝×3×4＝6cm2又∵BD＝5cm，BC＝13cm，CD＝12cm∴BD2+CD2＝BC2∴∠BDC＝90°∴S△BDC＝×5×12＝30cm2∴S四邊形ABCD＝S△ABD+S△BDC＝6+30＝36cm2．5．解：連接BD．∵∠A＝90°，AB＝2cm，AD＝，∴根據(jù)勾股定理可得BD＝3，又∵CD＝5，BC＝4，∴CD2＝BC2+BD2，∴△BCD是直角三角形，∴∠CBD＝90°，∴S四邊形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝AB?AD+BC?BD＝×2×+×4×3＝+6（cm2）．6．解：（1）60；（3分）（2）如圖（2），∵△ABC與△DEC都是等邊三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE∴∠ACD＝∠BCE（5分）∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，∴＝1（7分）（3）如圖（3），①當(dāng)點(diǎn)D在線段AM上（不與點(diǎn)A重合）時(shí)，由（2）可知△ACD≌△BCE，則∠CBE＝∠CAD＝30°，作CH⊥BE于點(diǎn)H，則PQ＝2HQ，連接CQ，則CQ＝5．在Rt△CBH中，∠CBH＝30°，BC＝AB＝8，則CH＝BC?sin30°＝8×＝4．在Rt△CHQ中，由勾股定理得：HQ＝，則PQ＝2HQ＝6．（9分）②如圖5，當(dāng)點(diǎn)D在線段AM的延長(zhǎng)線上時(shí)，∵△ABC與△DEC都是等邊三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACB+∠DCB＝∠DCB+∠DCE∴∠ACD＝∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CBE＝∠CAD＝30°，同理可得：PQ＝6（11分）③如圖4，當(dāng)點(diǎn)D在線段MA的延長(zhǎng)線上時(shí)，∵△ABC與△DEC都是等邊三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠ACB＝180°∴∠ACD＝∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CBE＝∠CAD∵∠CAM＝30°∴∠CBE＝∠CAD＝150°∴∠CBQ＝30°同理可得：PQ＝6綜上，PQ的長(zhǎng)是6．（13分）7．證明：延長(zhǎng)ED到G，使DG＝DE，連接EF、FG、CG，如圖所示：在△EDF和△GDF中，∴△EDF≌△GDF（SAS），∴EF＝FG又∵D為斜邊BC中點(diǎn)∴BD＝DC在△BDE和△CDG中，，∴△BDE≌△CDG（SAS）∴BE＝CG，∠B＝∠BCG∴AB∥CG∴∠GCA＝180°﹣∠A＝180°﹣90°＝90°在Rt△FCG中，由勾股定理得：FG2＝CF2+CG2＝CF2+BE2∴EF2＝FG2＝BE2+CF2．8．解：連接BD，作DE⊥AB于E，∵AB＝AD＝6，∠A＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴AE＝BE＝AB＝3，∴DE＝＝3，因而△ABD的面積是＝×AB?DE＝×6×3＝9，∵∠ADC＝150°∴∠CDB＝150°﹣60°＝90°，則△BCD是直角三角形，又∵四邊形的周長(zhǎng)為30，∴CD+BC＝30﹣AD﹣AB＝30﹣6﹣6＝18，設(shè)CD＝x，則BC＝18﹣x，根據(jù)勾股定理得到62+x2＝（18﹣x）2解得x＝8，∴△BCD的面積是×6×8＝24，S四邊形ABCD＝S△ABD+S△BDC＝9+24．答：四邊形ABCD的面積是9+24．9．解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AE于D在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，設(shè)CD＝x，則BD＝，BC＝2x在Rt△ABD中，∠BAD＝45°則AD＝BD＝，AB＝BD＝由AC+CD＝AD得20+x＝x解得：x＝10+10故AB＝30+10答：港口A到海島B的距離為海里．（2）甲船看見(jiàn)燈塔所用時(shí)間：小時(shí)乙船看見(jiàn)燈塔所用時(shí)間：小時(shí)所以乙船先看見(jiàn)燈塔．10．解：如右圖所示，連接AC，∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，∴AC＝＝2，∠BAC＝45°，又∵CD＝3，DA＝1，∴AC2+DA2＝8+1＝9，CD2＝9，∴AC2+DA2＝CD2，∴△ACD是直角三角形，∴∠CAD＝90°，∴∠DAB＝45°+90°＝135°．故∠DAB的度數(shù)為135°．11．解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于D，在△ABC中，∵S△ABC＝3，BC＝2，∴AD＝＝＝3，∵∠ABC＝135°，∴∠ABD＝180°﹣135°＝45°，∴AB＝AD＝3，BD＝AD＝3，在Rt△ADC中，CD＝2+3＝5，由勾股定理得，AC＝＝＝．12．解：設(shè)水深為x尺，則蘆葦長(zhǎng)為（x+1）尺，根據(jù)勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，解得：x＝12，蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度＝x+1＝12+1＝13（尺），答：水池深12尺，蘆葦長(zhǎng)13尺．13．解：PB2﹣PC2的值不變，根據(jù)勾股定理PB2＝BD2+DP2，PC2＝CD2+PD2．∴PB2﹣PC2＝BD2+DP2﹣（CD2+PD2）＝DB2﹣DC2．答：PB2﹣PC2的值不變．14．解；在直角△ABC中，已知AB＝2.5m，BC＝0.7m，則AC＝＝2.4m，∵AC＝AA1+CA1∴CA1＝2m，∵在直角△A1B1C中，AB＝A1B1，且A1B1為斜邊，∴CB1＝＝1.5m，∴BB1＝CB1﹣CB＝1.5﹣0.7＝0.8m答：梯足向外移動(dòng)了0.8m．15．解：如圖，過(guò)C作CD⊥AB于D，∵BC＝400米，AC＝300米，∠ACB＝90°，∴根據(jù)勾股定理得AB＝500米，∵AB?CD＝BC?AC，∴CD＝240米．∵240米＜250米，故有危險(xiǎn)，因此AB段公路需要暫時(shí)封鎖．16．解：（1）過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，交AB的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，∵∠ABC＝120°，BC＝20，∴BE＝10，在△ACE中，∵AC2＝8100+300，∴；（2）乘客車(chē)需時(shí)間（小時(shí)）；乘列車(chē)需時(shí)間（小時(shí)）；∴選擇城際列車(chē)．17．解：（1）∵∠C＝90°，AB＝2.5，BC＝0.7，∴AC＝＝＝2.4（米），答：此時(shí)梯頂A距地面的高度AC是2.4米；（2）∵梯子的頂端A下滑了0.9米至點(diǎn)A′，∴A′C＝AC﹣A′A＝2.4﹣0.9＝1.5（m），在Rt△A′CB′中，由勾股定理得：A′C2+B′C2＝A′B′2，即1.52+B′C2＝2.52，∴B′C＝2（m），∴BB′＝CB′﹣BC＝2﹣0.7＝1.3（m），答：梯子的底端B在水平方向滑動(dòng)了1.3m．18．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．在Rt△ADB中，∵∠B+∠BAD＝90°，∠B＝45°，∴∠B＝∠BAD＝45°，∴AD＝BD＝1，AB＝．在Rt△ADC中，∵∠C＝30°，∴AC＝2AD＝2，∴CD＝，BC＝BD+CD＝1+，∴AB+AC+BC＝++3．19．解：（1）連接BD，∵AB＝AD，∠A＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴∠ADB＝60°，DB＝4，∵42+82＝（4）2，∴DB2+CD2＝BC2，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝60°+90°＝150°；（2）過(guò)B作BE⊥AD，∵∠A＝60°，AB＝4，∴BE＝AB?sin60°＝4×＝2，∴四邊形ABCD的面積為：AD?EB+DB?CD＝×4×+×4×8＝4+16．20．解：（1）在Rt△ACD中，∵∠D＝60°，CD＝10，∴AC＝，∠DAC＝30°，又∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC＝30°，∴在Rt△ACB中，AB＝AC＝＝．（2）在Rt△ABE中，∠AEB＝45°，∴BE＝AB＝，由（1）可知，BC＝AB＝＝15，∴EC＝BC﹣BE＝．21．解：（1）作DE∥AB交BC于E，如圖所示：則∠CDE＝∠A＝60°，設(shè)CD＝x米，∵AC⊥l，∴∠ACB＝90°，∴∠CED＝30°，∴DE＝2CD＝2x，∴CE＝x，∵∠BDC＝75°，∴∠BDE＝15°，∵∠CED＝∠BDE+∠DBE，∴∠DBE＝15°＝∠BDE，∴BE＝DE＝2x，又∵∠A＝60°，∴BC＝AC，∴x+2x＝（x+40），解得：x＝20，即CD＝20米；（2）這輛車(chē)在本路段不超速；理由如下：由（1）得：x＝20，∴BC＝CE+BE＝×20+2×20＝60+40（米），校車(chē)從B到C勻速行駛用時(shí)10秒，速度為（60+40）÷10＝6+4（米/秒）≈46.67千米/小時(shí)＜50千米/小時(shí)，∴這輛車(chē)在本路段不超速．22．解：∵兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，在Rt△ABC中，由勾股定理可知AB＝10，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD對(duì)折，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD＝DE，AE＝AC＝6，∴BE＝10﹣6＝4，設(shè)DE＝CD＝x，BD＝8﹣x，在Rt△BDE中，根據(jù)勾股定理得：BD2＝DE2+BE2，即（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3．即CD的長(zhǎng)為3cm．23．（1）解：“直角三角形是勾股三角形”是假命題；理由如下：∵對(duì)于任意的三角形，設(shè)其三個(gè)角的度數(shù)分別為x°、y°和z°，若滿足x2+y2＝z2，則稱(chēng)這個(gè)三角形為勾股三角形，∴無(wú)法得到，所有直角三角形是勾股三角形，故是假命題；（2）解：由題意可得：，解得：x+y＝102；（3）證明：過(guò)B作BH⊥AC于H，如圖所示：設(shè)AH＝xRt△ABH中，BH＝，Rt△CBH中，（）2+（1+﹣x）2＝4，解得：x＝，∴AH＝BH＝，HC＝1，∴∠A＝∠ABH＝45°，∴tan∠HBC＝＝＝，∴∠HBC＝30°，∴∠BCH＝60°，∠B＝75°，∴452+602＝752∴△ABC是勾股三角形．24．解：∵在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m，∴（m），∵此人以0.5m/s的速度收繩，10s后船移動(dòng)到點(diǎn)D的位置，∴CD＝13﹣0.5×10＝8（m），∴（m），∴）（m）．答：船向岸邊移動(dòng)了）m．25．解：設(shè)基地E應(yīng)建在離A站x千米的地方．則BE＝（50﹣x）千米在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理得：AD2+AE2＝DE2∴302+x2＝DE2…（3分）在Rt△CBE中，根據(jù)勾股定理得：CB2+BE2＝CE2∴202+（50﹣x）2＝CE2又∵C、D兩村到E點(diǎn)的距離相等．∴DE＝CE∴DE2＝CE2∴302+x2＝202+（50﹣x）2解得x＝20∴基地E應(yīng)建在離A站多少20千米的地方．26．解：（1）在直角△ABC中，已知AC＝30米，AB＝50米，且AB為斜邊，則BC＝＝40米．答：小汽車(chē)在2秒內(nèi)行駛的距離BC為40米；（2）小汽車(chē)在2秒內(nèi)行駛了40米，所以平均速度為20米/秒，20米/秒＝72千米/時(shí)，因?yàn)?2＞70，所以這輛小汽車(chē)超速了．答：這輛小汽車(chē)的平均速度大于70千米/時(shí)，故這輛小汽車(chē)超速了．27．（本題7分）（1）線段AB、CE的關(guān)系為：AB＝CE，AB⊥CE………………（2分）理由是：延長(zhǎng)CE交AB于F，∵∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∴∠ACD＝∠DAC＝45°，∴AD＝CD，在△ADB和△CDE中，∵，∴△ADB≌△CDE（SAS），∴AB＝CE，∠BAD＝∠DCE，∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠DCE+∠ABD＝90°，∴∠BFC＝90°，∴AB⊥CE；故答案為：AB＝CE，AB⊥CE．（2）如圖，設(shè)EF＝x，∵S△ABC＝S△ABE+S△BDE+S△ACD，∴＝AB?EF+BD?DE+DC?AD，………………（4分）∵BD＝a，AB＝c，AD＝b，∴易得AB＝CE＝c，BD＝DE＝a，AD＝CD＝b，………………（5分）∴cx+a2+，即：+cx＝cx+a2+，………………（6分）∴，∴a2+b2＝c2………………（7分）28．解：設(shè)杯子的高度是xcm，那么筷子的高度是（x+1）cm，x2+52＝（x+1）2，x2+25＝x2+2x+1x＝12，12+1＝13cm．答：杯高12cm，筷子長(zhǎng)13cm．29．解：（1）∵點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位，和運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為2秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為2秒，∴由圖中可知PQ的位置如下圖2，則由已知條件可得PD＝4，AQ＝2，QE＝2，PE＝6，∴PQ＝＝＝2，（2）能．設(shè)時(shí)間為t，則在t秒鐘，P運(yùn)動(dòng)了2t格，Q運(yùn)動(dòng)了t格，由題意得PQ＝BQ（2t﹣t）2+62＝（8﹣t）2解得t＝．答：（1）PQ的長(zhǎng)為2；（2）能，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為．30．證明：∵S梯形ABEF＝（EF+AB）?BE＝（a+b）?（a+b）＝（a+b）2，∵Rt△CDA≌Rt△CGF，∴∠ACD＝∠CFG，∵∠CFG+∠GCF＝90°，∴∠ACD+∠GCF＝90°，即∠ACF＝90°，∵S梯形ABEF＝S△ABC+S△CEF+S△ACF，∴S梯形ABEF＝ab+ab+c2，∴（a+b）2＝ab+ab+c2∴a2+2ab+b2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2．31．一、解：（1）∵∠C為直角，BC＝a，CA＝b，AB＝c，∴a2+b2＝c2；（2）作AD⊥BC于D，如圖1所示：則BD＝BC﹣CD＝a﹣CD，在△ABD中，AB2﹣BD2＝AD2，在△ACD中，AC2﹣CD2＝AD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，∴c2﹣（a﹣CD）2＝b2﹣CD2，整理得：a2+b2＝c2+2a?CD∵a＞0，CD＞0，∴a2+b2＞c2；（3）作AD⊥BC于D，如圖2所示：則BD＝BC+CD＝a+CD，在△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，在△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，∴c2﹣（a+CD）2＝b2﹣CD2，整理得：a2+b2＝c2﹣2a?CD，∵a＞0，CD＞0，∴a2+b2＜c2；二、解：當(dāng)∠C為鈍角時(shí)，由以上（3）得：＜c＜a+b，即5＜c＜7；當(dāng)∠B為鈍角時(shí)，得：b﹣a＜c＜，即1＜c＜；綜上所述：第三邊c的取值范圍為5＜c＜7或1＜c＜．32．解：（1）∵BC＝20cm，CD＝16cm，BD＝12cm，∴滿足BD2+CD2＝BC2，∴根據(jù)勾股定理逆定理可知，∠BDC＝90°，即CD⊥AB；（2）設(shè)腰長(zhǎng)為x，則AD＝x﹣12，由（1）可知AD2+CD2＝AC2，即：（x﹣12）2+162＝x2，解得x＝，∴腰長(zhǎng)為cm．33．（1）解：∵CE⊥AB，∴AE＝BE，∵點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，∴AD＝0，∴DE2＝AD2+BE2；（2）證明：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥AB，使AF＝BE，連接DF，CF，∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠B＝45°，∴∠FAC＝45°，∴△CAF≌△CBE（SAS），∴CF＝CE，∠ACF＝∠BCE，∵∠ACB＝90°，∠DCE＝45°，∴∠ACD+∠BCE＝∠ACB﹣∠DCE＝90°﹣45°＝45°，∵∠ACF＝∠BCE，∴∠ACD+∠ACF＝45°，即∠DCF＝45°，∴∠DCF＝∠DCE，又∵CD＝CD，∴△CDF≌△CDE（SAS），∴DF＝DE，∵AD2+AF2＝DF2，∴AD2+BE2＝DE2；（3）結(jié)論仍然成立；如圖，證明：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥AB，使AF＝BE，連接DF，∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠B＝45°，∴∠FAC＝45°，∴△CAF≌△CBE（SAS），∴CF＝CE，∠ACF＝∠BCE，∵∠BCE+∠ACE＝90°，∴∠ACF+∠ACE＝90°，即∠FCE＝90°，∵∠DCE＝45°，∴∠DCF＝45°，∴∠DCF＝∠DCE，又∵CD＝CD，∴△CDF≌△CDE（SAS），∴DF＝DE，∵AD2+AF