變換群與幾何學(xué)

變換群與幾何學(xué)第一頁，共十九頁，編輯于2023年，星期日2、射影仿射變換與仿射變換

定義.

在射影仿射平面上,保持無窮遠(yuǎn)直線不變的射影變換稱為射影仿射變換.

定理.

射影變換成為射影仿射變換a31=a32=0.即射影仿射變換形如變換群與幾何學(xué)射影仿射變換作用于射影仿射平面.第二頁，共十九頁，編輯于2023年，星期日將(3)式化為非齊次(前二式兩邊分別除以第三式)得即為仿射變換,仿射變換作用于仿射平面.變換群與幾何學(xué)第三頁，共十九頁，編輯于2023年，星期日3、射影相似變換與相似變換

定義.

在射影仿射平面上,稱無窮遠(yuǎn)點(diǎn)I(1,i,0),J(1,i,0)為圓點(diǎn).

定理.

射影仿射變換(3)成為射影相似變換在(3)中有a22=a11且a21=a12；或者a22=a11且a21=a12.射影相似變換的變換式為

定義.

在射影仿射平面上,保持圓點(diǎn)不變的射影仿射變換稱為射影相似變換.變換群與幾何學(xué)或者注上面兩式中的有窮遠(yuǎn)部分(非齊次形式)即為相似變換.第四頁，共十九頁，編輯于2023年，星期日

定義.

在射影仿射平面上,稱無窮遠(yuǎn)直線上以兩點(diǎn)I(1,i,0),J(1,i,0)為不變元素的橢圓型對合為射影仿射平面上的絕對對合.稱經(jīng)過I,J兩點(diǎn)之一的虛直線為迷向直線.

推論.射影相似變換保持平面上的絕對對合不變.

注

射影相似變換保持直線的垂直性不變,從而保持兩(通常)直線的夾角不變,保持任意兩線段的比值不變.

注

射影仿射平面上以任一通常點(diǎn)為束心的線束中有一個(gè)絕對對合,以兩條迷向直線為不變直線,其任一對對應(yīng)直線相互垂直.變換群與幾何學(xué)第五頁，共十九頁，編輯于2023年，星期日4、射影正交變換與正交變換

定義.

在射影相似變換中,若A33/a33=1則稱之為射影正交變換,其有窮遠(yuǎn)部分(非齊次形式)即為正交變換.變換群與幾何學(xué)在射影相似變換中，如果只考慮有窮部分，則將前面兩式兩端分別除以第三式得或者第六頁，共十九頁，編輯于2023年，星期日二、群與變換群

定義

(代數(shù)運(yùn)算)設(shè)A,B,C為集合,為AB到C的一個(gè)對應(yīng).則稱為AB到C的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算.

特別地,若B=C=A,則稱為集合A上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算.

定義了代數(shù)運(yùn)算的集合稱為代數(shù)系統(tǒng),

代數(shù)學(xué)就是研究代數(shù)系統(tǒng)的科學(xué).變換群與幾何學(xué)

比如,實(shí)數(shù)集R上的加(減)法、乘法都是R上的代數(shù)運(yùn)算.

比如,對于數(shù)域F上的向量空間V,數(shù)乘向量是FV到V的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算.

比如,矩陣的乘法是所有矩陣的集合上的代數(shù)運(yùn)算.

比如,sinx不是R上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算,

而sinxcosy是R上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算.第七頁，共十九頁，編輯于2023年，星期日

定義.

(群)設(shè)G為非空集合.在G上定義一個(gè)代數(shù)運(yùn)算,稱為乘法.如果滿足下述4條公理,則稱G對于這個(gè)乘法構(gòu)成一個(gè)群,記作G.(1)封閉性.a,bG,有abG.(2)乘法滿足結(jié)合律.即a,b,cG,有a(bc)=(ab)c.(3)存在單位元.即eG,使得aG,有be=ea=a.(4)存在逆元.即aG,a1G,滿足aa1=a1a=e.變換群與幾何學(xué)

定義.(子群)設(shè)G為群,H為G的一個(gè)非空子集,若H對于G上的乘法也構(gòu)成群,則稱H為G的一個(gè)子群.

定理.

群G的一個(gè)非空子集H為G的子群H滿足下述條件.(1)a,bH,有abH.(2)若aH,則必有a1H.第八頁，共十九頁，編輯于2023年，星期日

定義.

(群的同構(gòu))兩個(gè)群G,G'之間的一個(gè)能夠保持乘法運(yùn)算的雙射稱為G與G′之間的一個(gè)同構(gòu).

如果群G與G′之間存在一個(gè)同構(gòu)映射,則稱G同構(gòu)于G′,記作GG′.

定理.

非空集合S上全體一一變換的集合對于變換的乘法構(gòu)成群.稱為集合S上的全變換群.

定理.非空集合S上部分一一變換的集合G對于變換的乘法構(gòu)成群(全變換群的子群)(1)若g1,g2G,則g1g2G.(2)若gG,則g–1G.

定義.

集合S上全變換群的任一子群稱為S上的一個(gè)變換群.變換群與幾何學(xué)第九頁，共十九頁，編輯于2023年，星期日三、平面上的幾個(gè)變換群P={平面上全體射影變換}PA={平面上全體射影仿射變換}PO={平面上全體射影正交變換}A={平面上全體仿射變換}O={平面上全體正交變換}射影平面仿射平面射影變換群P射影仿射變換群PA射影正交變換群PO仿射變換群A正交變換群O上述7個(gè)變換群之間顯然有下列關(guān)系：在射影平面PR2上在仿射平面A2\l上PS={平面上全體射影相似變換}射影相似變換群PSS={平面上全體相似變換}相似變換群S變換群與幾何學(xué)第十頁，共十九頁，編輯于2023年，星期日四、Klein變換群觀點(diǎn)

定義.設(shè)S為一個(gè)非空集合,G為S上的一個(gè)變換群.稱S為空間,S的元素稱為點(diǎn),S的子集稱為圖形,G稱為空間S的主變換群.研究空間S中圖形所決定的在G的每一個(gè)元素的作用下保持不變的性質(zhì)(不變性)和數(shù)量(不變量)的科學(xué)稱為一門幾何學(xué)(S,G).

S的子集(圖形)在G下被分成若干等價(jià)類,屬于同一等價(jià)類的圖形具有相同的G性質(zhì)(G給S賦予空間結(jié)構(gòu))注

顯然,在S上給定不同的變換群G,則得到不同的幾何學(xué).幾何學(xué)(S,G)變換群與幾何學(xué)第十一頁，共十九頁，編輯于2023年，星期日

設(shè)為S的子集,H為G的子群,且對任意的gH,都有g(shù)()=

,又H為上的一個(gè)變換群,且H≌H.則稱(,H)為(S,G)的一個(gè)以(S,H)為伴隨絕對子幾何學(xué)的相對子幾何學(xué),并稱B=S\為的絕對形.

定義.

如果(S,G)為一個(gè)幾何學(xué),H為G的子群.則稱幾何學(xué)(S,H)為幾何學(xué)(S,G)的一個(gè)絕對子幾何學(xué),簡稱子幾何學(xué).HGS幾何學(xué)(S,G)子幾何學(xué)(S,H)HG幾何學(xué)(S,G)子幾何學(xué)(S,H)HS相對子幾何學(xué)(,H)例如:變換群與幾何學(xué)第十二頁，共十九頁，編輯于2023年，星期日射影幾何射影仿射幾何射影相似幾何仿射幾何相似幾何絕對子幾何關(guān)系相對子幾何關(guān)系伴隨關(guān)系絕對形：l=PR2\PA2.射影歐氏幾何歐氏幾何變換群系列射影平面PR2仿射平面PA2變換群與幾何學(xué)第十三頁，共十九頁，編輯于2023年，星期日五、幾種幾何學(xué)的比較1、射影幾何學(xué)空間射影平面PR2主變換群射影變換群P研究內(nèi)容圖形在射影變換下的不變性質(zhì)和數(shù)量同素性、關(guān)聯(lián)性交比其余所有射影不變性在射影平面上做演繹推理、對偶變換基本射影不變性變換群與幾何學(xué)第十四頁，共十九頁，編輯于2023年，星期日2、仿射幾何學(xué)空間射影仿射平面PR2主變換群射影仿射變換群PA研究內(nèi)容圖形在射影仿射變換下的不變性質(zhì)和數(shù)量注

通常也直接將仿射幾何學(xué)作為射影幾何學(xué)的子幾何學(xué).射影仿射幾何學(xué)空間仿射平面A2主變換群仿射變換群A研究內(nèi)容圖形在仿射變換下的不變性質(zhì)和數(shù)量仿射幾何學(xué)不可用對偶原則不可用對偶原則變換群與幾何學(xué)第十五頁，共十九頁，編輯于2023年，星期日注

簡單比是最基本的仿射不變量.定理.簡單比是仿射不變量.仿射不變性平行性簡單比平行線段的比,兩三角形面積之比,線段的中點(diǎn),三角形的重心,梯形,平行四邊形,……定理.

仿射變換保持平行性不變.注

平行性是最基本的仿射不變性.

仿射幾何——首先包括射影幾何的所有研究內(nèi)容.變換群與幾何學(xué)第十六頁，共十九頁，編輯于2023年，星期日3、相似幾何學(xué)空間射影仿射平面PR2主變換群射影相似變換群PS研究內(nèi)容圖形在射影相似變換下的不變性質(zhì)和數(shù)量注

通常也直接將相似幾何學(xué)作為射影仿射幾何學(xué)的子幾何學(xué).射影相似幾何學(xué)空間仿射平面A2主變換群相似變換群S研究內(nèi)容圖形在相似變換下的不變性質(zhì)和數(shù)量相似幾何學(xué)不可用對偶原則不可用對偶原則變換群與幾何學(xué)第十七頁，共十九頁，編輯于2023年，星期日注

初等幾何的研究內(nèi)容基本屬于相似幾何.

定理相似變換保持平面上任意兩線段的比值、兩直線的夾角不變.4、歐氏幾何學(xué)

歐氏幾何——首先包括相似幾何的所有研究內(nèi)容.定理正交變換保持平面上兩點(diǎn)間的距離不變.