《均值不等式及其應(yīng)用》第2課時(shí)示范公開(kāi)課教學(xué)課件【高中數(shù)學(xué)人教B版必修第一冊(cè)】

均值不等式及其應(yīng)用第2課時(shí)問(wèn)題1閱讀課本第71~75頁(yè)，回答下列問(wèn)題：整體概覽（1）本節(jié)將要研究均值不等式及其應(yīng)用．（2）起點(diǎn)是不等式的性質(zhì)以及比較法，目標(biāo)是知道均值不等式，會(huì)證明均值不等式定理，會(huì)用均值不等式解決簡(jiǎn)單的最大（?。﹩?wèn)題．進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng)．（1）本節(jié)將要研究哪類問(wèn)題？（2）本節(jié)研究的起點(diǎn)是什么？目標(biāo)是什么？情境與問(wèn)題復(fù)習(xí)：上節(jié)課我們一起學(xué)習(xí)了均值不等式，請(qǐng)同學(xué)們回顧一下均值不等式的內(nèi)容，以及我們利用均值不等式可以解決什么樣的問(wèn)題？如果a，b都是正數(shù)，那么

，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．利用均值不等式可以求最值、解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題等．問(wèn)題：我們利用均值不等式還能解決什么問(wèn)題呢？新知探究問(wèn)題2我們利用均值不等式可以證明不等式，可以直接利用

（a，b都是正數(shù)），也可使用a＋b≥．你還有哪些變形呢？新知探究例1已知ab＞0，求證：≥2，并推導(dǎo)出等號(hào)成立的條件．證明：因?yàn)閍b＞0，所以

，根據(jù)均值不等式，得

，即

，因?yàn)閍b＞0，所以等號(hào)成立的條件是a＝b．當(dāng)且僅當(dāng)

，即a2＝b2時(shí)，等號(hào)成立．新知探究例2已知a，b是實(shí)數(shù)，求證：a2＋b2≥2ab．證明：因?yàn)閍2＋b2－2ab＝（a－b）2≥0，并說(shuō)明等號(hào)成立的條件．所以a2＋b2－2ab≥0，即a2＋b2≥2ab．等號(hào)成立時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)（a－b）2＝0，即a＝b．新知探究例2的結(jié)論也是經(jīng)常要用的．不難看出，均值不等式與例5的結(jié)論既有聯(lián)系，又有區(qū)別．區(qū)別在于例2中去掉了a，b是正數(shù)的條件，聯(lián)系在于均值不等式可以看成例2結(jié)論的一種特殊情況．假設(shè)圖中直角三角形的直角邊分別為a，b，則顯然圖中大正方形的面積大于四個(gè)直角三角形的面積之和，即a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)小正方形的面積為0即a＝b時(shí)取等號(hào)．新知探究例3已知a，b∈R，求證：證明：（1）因?yàn)閍2＋b2≥2ab，兩邊同時(shí)加上2ab，得a2＋b2＋2ab≥4ab，即（a＋b）2≥4ab；（1）（a＋b）2≥4ab；（2）2（a2＋b2）≥（a＋b）2．新知探究例3已知a，b∈R，求證：證明：（2）因?yàn)閍2＋b2≥2ab，兩邊同時(shí)加上a2＋b2，得2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab，即2（a2＋b2）≥（a＋b）2．（1）（a＋b）2≥4ab；（2）2（a2＋b2）≥（a＋b）2．新知探究（a＋b）2≥4ab以及2（a2＋b2）≥（a＋b）2都是均值不等式的變形，又其中2（a2＋b2）≥（a＋b）2又常變形為

．新知探究例4（1）已知a，b，cR，求證：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；證明：（1）由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，三個(gè)不等式相加即能得證；（3）已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求證：ax＋by≤1．（2）已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：

≥abc；新知探究例4（1）已知a，b，cR，求證：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；證明：（2）注意到a2b2＋b2c2≥2ab2c，b2c2＋c2a2≥2bc2a，c2a2＋a2b2≥2ca2b即可；（3）已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求證：ax＋by≤1．（2）已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：

≥abc；新知探究例4（1）已知a，b，cR，求證：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；證明：（3）注意到a2十x2≥2ax，b2＋y2≥2by，兩式相加即可得到．（3）已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求證：ax＋by≤1．（2）已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：

≥abc；新知探究方法總結(jié)：利用均值不等式證明不等式的兩種題型：（1）無(wú)附加條件的不等式的證明．其解題思路：觀察待證不等式的結(jié)構(gòu)形式，若不能直接使用均值不等式，則結(jié)合左、右兩邊的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行拆項(xiàng)、變形、配湊等，使之達(dá)到使用均值不等式的條件．（2）有附加條件的不等式的證明．觀察已知條件與待證不等式之間的關(guān)系，恰當(dāng)?shù)厥褂靡阎獥l件，條件的巧妙代換是一種較為重要的變形．新知探究【探索與研究】用Excel或其他計(jì)算機(jī)軟件，完成下列數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：（1）任取多組三個(gè)正教a，b，c，計(jì)算

和

運(yùn)后，比較它們的大小，總結(jié)出一般規(guī)律；（2）對(duì)四個(gè)正數(shù)、五個(gè)正數(shù)做同樣的實(shí)驗(yàn)，總結(jié)出普遍規(guī)律．一般地，

，當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an時(shí)，等號(hào)成立．歸納小結(jié)回顧本節(jié)課，你有什么收獲？（1）均值不等式有哪些變形？如何證明？（2）如何利用均值不等式及其變形證明不等式？利用均值不等式證明不等式的注意點(diǎn)：（1）多次使用均值不等式時(shí)，要注意等號(hào)能否成立．（2）累加法是不等式證明中的一種常用方法，證明不等式時(shí)注意使用．（3）對(duì)不能直接使用均值不等式的證明可重新組合，達(dá)到使用均值不等式的條件．作業(yè)：教科書(shū)P76練習(xí)B3．作業(yè)布置作業(yè)布置已知a＞0，b＞