定積分的應(yīng)用習(xí)題與答案

第六章定積分的應(yīng)用（A）1、求由下列各曲線(xiàn)所圍成的圖形的面積i）y=2x2與x2+y2€8（兩部分都要計(jì)算）2)y€與直線(xiàn)y€x及x€2x3)y€ex,y€e-x與直線(xiàn)x=14)?€2acos05)x€acos3t，y€asin3t1、求由擺線(xiàn)x€a…，sint）,y=a（1一cost）的一拱（0<t<2兀）與橫軸所圍成的圖形的面積2、求對(duì)數(shù)螺線(xiàn)P€aeeC兀<0<兀）及射線(xiàn)0=兀所圍成的圖形的面積Word資料.兀3、求由曲線(xiàn)y€smx和它在x€2處的切線(xiàn)以及直線(xiàn)x=兀所圍成的圖形的面積和它繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積4、由y€x3,x€2,y=0所圍成的圖形，分別繞x軸及y軸旋轉(zhuǎn)，計(jì)算所得兩旋轉(zhuǎn)體的體積5、計(jì)算底面是半徑為R的圓，而垂直于底面上一條固定直徑的所有截面都是等邊三角形的立體體積6、計(jì)算曲線(xiàn)y€斗（3?x）上對(duì)應(yīng)于1…x…3的一段弧的長(zhǎng)度7、計(jì)算星形線(xiàn)x€acos31,y=asin31的全長(zhǎng)8、由實(shí)驗(yàn)知道，彈簧在拉伸過(guò)程中，需要的力F（單位：N）與伸長(zhǎng)量S（單位：cm）Word資料WordWord資料成正比，即：F=kS(k是比例常數(shù))，如果把彈簧原長(zhǎng)拉伸6cm,計(jì)算所作的功9、一物體按規(guī)律x€ct3作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，介質(zhì)的阻力與速度的平方成正比，計(jì)算物體由x€0移到x€a時(shí)，克服介質(zhì)阻力所作的功10、設(shè)一錐形儲(chǔ)水池，深15m，口徑20m,盛滿(mǎn)水，將水吸盡，問(wèn)要作多少功?11、有一等腰梯形閘門(mén)，它的兩條底邊各長(zhǎng)10cm和6cm，高為20cm，較長(zhǎng)的底邊與水面相齊，計(jì)算閘門(mén)的一側(cè)所受的水壓力12、設(shè)有一長(zhǎng)度為€，線(xiàn)密度為U的均勻的直棒，在與棒的一端垂直距離為a單位處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M,試求這細(xì)棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)M的引力(B)1、設(shè)由拋物線(xiàn)y2€2px(p?0)與直線(xiàn)x+y€Ip所圍成的平面圖形為D1)求D的面積S;2)將D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積2、求由拋物線(xiàn)y€x2及y2€x所圍成圖形的面積，并求該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體.小兀3、求由y=smx，y=cosx，x=0，x=-所圍成的圖形的面積，并求該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積4、求拋物線(xiàn)y2€2px及其在點(diǎn)￡,p處的法線(xiàn)所圍成的圖形的面積\2丿5、求曲線(xiàn)y€x2-2x+4在點(diǎn)M（0,4）處的切線(xiàn)MT與曲線(xiàn)y2=2（x-1）所圍成圖形的面積6、求由拋物線(xiàn)y2€4ax與過(guò)焦點(diǎn)的弦所圍成的圖形面積的最小值7、求由下列曲線(xiàn)所圍成圖形的公共部分的面積1）p=3cos0，p=1+cos0

2)2)p，asin€p，a(cos€+sin€),8、由曲線(xiàn)x2+(y-5》，16所圍成圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積9、求圓心在G,b)半徑為a,(>a>0)的圓，繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)狀體的體積10、計(jì)算半立方拋物線(xiàn)y2，3(x-1》被拋物線(xiàn)y2，3截得的一段弧的長(zhǎng)度WordWord資料2Word2Word資料(C)1、用積分方法證明半徑為R的球的高為H的球缺的的體積為T(mén)OC\o"1-5"\h\z…H,V二兀H2R-——?3丿…兀,2、分別討論函數(shù)y=sinx0<x“在取何值時(shí)，陰影部分的面積S,S的和S二S+S取最大值和最小值123、求曲線(xiàn)y二px(0<x<4)上的一條切線(xiàn)，使此切線(xiàn)與直線(xiàn)x=0，x=4以及曲線(xiàn)y二云所圍成的平面圖形的面積最小4、半徑為r的球沉入水中，球的上部與水面相切，球的密度與水相同，現(xiàn)將球從水中取出，需作多少功？第六章定積分應(yīng)用習(xí)題答案1、4411、441）2兀+_，6兀一_3335）兀a282)（A）31一ln23）e+一2232、3、5、128兀64k7，~5~6、8、6a9、0.18kJ102、3、5、128兀64k7，~5~6、8、6a9、0.18kJ10、2727kc3a37其中k為比例常數(shù))11、57697.5（kJ）12、14373QN13、取y軸經(jīng)過(guò)細(xì)直棒Fy=Gmu—Gmu€（B）1、1）S=JP…3—p一y一——dy=?22p丿16P23或S=J2</2px+px2x+f2p0召16P232、2)V，€p-32、2)V，€p-3p(3…兀-p-ydy-12丿13A，—x2力x，V，03、y2…2272dy，兀p315dx，三兀103、A，€4Cosx-sinx)dx+€2(sinx-cosx)dx，2、.2-20九4V，€T兀tosx<2-(sinx<2^dx+€2^sinx<2-(cosx<22x，兀0九44、拋物線(xiàn)在點(diǎn)4、拋物線(xiàn)在點(diǎn)［2,p…處的法線(xiàn)方程為:12丿x+y，3p，以下解法同第一題A，16P25、MT:5、MT:y，4-2x,13…切線(xiàn)MT與曲線(xiàn)y2，2(x-1＜的交點(diǎn)坐標(biāo)為匚,1,2丿1…dy，9丿46、提示：設(shè)過(guò)焦點(diǎn)(a,0)的弦的傾角為a則弦所在直線(xiàn)的方程為y，tana(x-a)由y，tana(x—a)，y2，4ax得兩交點(diǎn)縱坐標(biāo)為y，2a(ctga-csca)<2a(ctga+csca)，y12所以A(a)所以A(a),Jy2(ay1+yctga)—:yady，4a2csca+4a2(ctga<2csca-—a2Csca》3，4a2(csca)-a2Csca)，a2Csca)33因?yàn)?vav兀當(dāng)a，午時(shí)(csca<?取得最小值為1兀”所以當(dāng)a，2時(shí)過(guò)焦點(diǎn)的弦與拋物線(xiàn)y2，4ax所圍成的圖形面積，—a2Ccsca)最小7、1)A?2cos?)2d02)A-f21(asin0)2d0+fK1\a(sin0+cos0)1d002比2428、V?f4,(<c16-x2)dx-f4,(-、16-x2)dx?，f4?\E)-€一=)—\16—x2/‘dx?160,2-49、解法同題8〔〔2<6「，〔2.-國(guó)〔3-I3丿10、提示：y2?3€x-A，y2?|聯(lián)立得交點(diǎn)所求弧長(zhǎng)s?2f2dx1由y2?2€x-1》得y'?-13yy—于是得S?2f：P+Jdx?9(C)1、證明：此處球缺可看作由如圖陰影（圖X2<y2?R2的一部分）繞y軸旋轉(zhuǎn)而成所以V?fR，x2dy?fR，€2一y2》y?,R2yR-HR-HR-,—RR-H3R-H?,R2k-€r-H)]-|L-€r-H)]?，H21R-T丿2、解：S1?ft(sint-sinx)dxS?f：(sinx-sint)dx12tsC)?,f(sint-sinx)dx+,2(sinx-sint)dx1<…)=2cost+2t一一sint一1I2丿S'C)S'C)?<2t-…]I2丿COst?0'得駐點(diǎn)ti?4易知S”€)>0S”€)<012'…'…'…'S?S?一-1,S?Smaxk2丿2mink兀3、解：設(shè)匕y°）為曲線(xiàn)y?寂（0<x<4）上任一點(diǎn)’易得曲線(xiàn)于該點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為:y-y-y0立（x一X0）即y?今+吉X?4的交點(diǎn)分別為［0,+'k2丿dx?2y0丿4163于是由此切線(xiàn)與直線(xiàn)x?0，x?4dx?2y0丿4163S?J416問(wèn)題即求S?2\x+-（0<x<4）的最小值x313令S?x一2+2x一2?0得唯一駐點(diǎn)x?2且為唯一極小值所以當(dāng)x?2時(shí)，S最小即所求切線(xiàn)即為:y即所求切線(xiàn)即為:y?4、如圖:以水中的球心為原點(diǎn)，上提方向作為坐標(biāo)