導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 市賽獲獎(jiǎng)

考試要求1.了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.第2節(jié)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性知

識(shí)

梳

理1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系已知函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，(1)如果f′(x)＞0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)__________；(2)如果f′(x)＜0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)__________.單調(diào)遞增單調(diào)遞減2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本步驟是： (1)確定函數(shù)f(x)的定義域； (2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)； (3)由f′(x)＞0(或＜0)解出相應(yīng)的x的取值范圍.當(dāng)f′(x)＞0時(shí)，f(x)在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)f′(x)＜0時(shí)，f(x)在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù).

一般需要通過(guò)列表，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.3.已知單調(diào)性求解參數(shù)范圍的步驟為： (1)對(duì)含參數(shù)的函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得到f′(x)； (2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f′(x)≥0恒成立；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f′(x)≤0恒成立，得到關(guān)于參數(shù)的不等式，解出參數(shù)范圍； (3)驗(yàn)證參數(shù)范圍中取等號(hào)時(shí)，是否恒有f′(x)＝0.若f′(x)＝0恒成立，則函數(shù)f(x)在(a，b)上為常數(shù)函數(shù)，舍去此參數(shù)值.[常用結(jié)論與易錯(cuò)提醒](1)解決一次、二次函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題不必用導(dǎo)數(shù).(2)有些初等函數(shù)(如f(x)＝x3＋x)的單調(diào)性問(wèn)題也不必用導(dǎo)數(shù).(3)根據(jù)單調(diào)性求參數(shù)常用導(dǎo)數(shù)不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0求解，注意檢驗(yàn)等號(hào).(4)注意函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)的定義域.基

礎(chǔ)

自

測(cè)1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，那么一定有f′(x)>0.(

) (2)如果函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)＝0，則f(x)在此區(qū)間內(nèi)沒有單調(diào)性.(

) (3)f′(x)>0是f(x)為增函數(shù)的充要條件.(

)

解析(1)f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，則有f′(x)≥0. (3)f′(x)>0是f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件.

答案

(1)×

(2)√

(3)×2.函數(shù)f(x)＝ex－x的單調(diào)遞增區(qū)間是(

) A.(－∞，1] B.[1，＋∞) C.(－∞，0] D.(0，＋∞)

解析令f′(x)＝ex－1>0得x>0，所以f(x)的遞增區(qū)間為(0，＋∞).

答案

D 3.函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是(

)解析利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行驗(yàn)證.f′(x)＞0的解集對(duì)應(yīng)y＝f(x)的增區(qū)間，f′(x)＜0的解集對(duì)應(yīng)y＝f(x)的減區(qū)間，驗(yàn)證只有D選項(xiàng)符合.答案

D4.(2019·鎮(zhèn)海中學(xué)月考)函數(shù)f(x)＝x－lnx的單調(diào)減區(qū)間為________.答案(0，1)即f′(x)＞0，∴f(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，∴f(a)＜f(b).答案

f(a)＜f(b)答案(1，＋∞)

(－∞，0)和(0，1)令f′(x)＝0，解得x＝0，x＝－1或x＝－4.當(dāng)x<－4時(shí)，f′(x)<0，故f(x)為減函數(shù)；當(dāng)－4<x<－1時(shí)，f′(x)>0，故f(x)為增函數(shù)；當(dāng)－1<x<0時(shí)，f′(x)<0，故f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)>0，故f(x)為增函數(shù).綜上知，f(x)在(－∞，－4)和(－1，0)內(nèi)為減函數(shù)，在(－4，－1)和(0，＋∞)內(nèi)為增函數(shù).規(guī)律方法確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間.答案

(1)B

(2)C(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞).當(dāng)a≥0時(shí)，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.當(dāng)a＜0時(shí)，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1).f′(x)＜0，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.所以x∈(0，x1)時(shí)，g(x)＜0，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；x∈(x1，x2)時(shí)，g(x)＞0，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；x∈(x2，＋∞)時(shí)，g(x)＜0，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.綜上可得：當(dāng)a≥0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；

規(guī)律方法利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確判定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，當(dāng)f(x)含參數(shù)時(shí)，需依據(jù)參數(shù)取值對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論.分類討論時(shí)，要做到不重不漏.【訓(xùn)練2】(1)已知函數(shù)f(x)＝ax＋lnx(a＜0)，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是__________；單調(diào)遞減區(qū)間是__________.解析由已知得f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞).(2)已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝x2－2alnx.求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.解∵f(x)＝x2－2alnx，∴f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，

∴當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，則f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)；考點(diǎn)三利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)規(guī)律方法利用單調(diào)性求參數(shù)的兩類熱點(diǎn)問(wèn)題的處理方法(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在遞增(減)區(qū)間.方法一：轉(zhuǎn)化為“f′(x)>0(<0)在區(qū)間D上有解”；方法二：轉(zhuǎn)化為“存在區(qū)間D的一個(gè)子區(qū)間使f′(x)>0(<0)成立”.(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上遞增(減).方法一：轉(zhuǎn)化為“f′(x)≥0(≤0)在區(qū)間D上恒成立”問(wèn)題；方法二：轉(zhuǎn)化為“區(qū)間D是函