實(shí)數(shù)及其運(yùn)算

第一篇數(shù)與代數(shù)第一章數(shù)與式第1講實(shí)數(shù)及其運(yùn)算(學(xué)P1)1．實(shí)數(shù)的分類按定義分類：有理數(shù)正整數(shù)零負(fù)整數(shù)正分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)正無理數(shù)負(fù)無理數(shù)實(shí)數(shù)（1）無理數(shù)整數(shù)分?jǐn)?shù)無限不循環(huán)小數(shù)有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)自然數(shù)(2)根據(jù)需要，我們也可以按正負(fù)分類進(jìn)行分類，如：【提醒】(1)任何分?jǐn)?shù)都是有理數(shù)，如，；

(2)0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，但0是自然數(shù)．2．實(shí)數(shù)的有關(guān)概念(1)數(shù)軸：規(guī)定了

，

和

的直線叫做數(shù)軸．?dāng)?shù)軸上所有的點(diǎn)與全體

一一對(duì)應(yīng)．原點(diǎn)正方向單位長度實(shí)數(shù)(2)相反數(shù)：只有

不同，而

相同的兩個(gè)數(shù)稱為互為相反數(shù)．若a、b互為相反數(shù)，則a＋b＝

．(3)倒數(shù)：1除以一個(gè)不等于零的實(shí)數(shù)所得的

，叫做這個(gè)數(shù)的倒數(shù)．若a、b互為倒數(shù)，則ab＝

．(4)絕對(duì)值：在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)離開原點(diǎn)的

叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值．|a|是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即|a|

．(5)科學(xué)記數(shù)法，近似數(shù)：科學(xué)記數(shù)法就是把一個(gè)數(shù)表示成

的形式(其中1≤|a|<10，n為整數(shù))；一個(gè)近似數(shù)，

到哪一位，就說這個(gè)數(shù)精確到哪一位．__(a>0)(a=0)(a<0)符號(hào)絕對(duì)值0商1距離a-a≥0a×10n四舍五入__0__1．(2014·湖州)－3的倒數(shù)是()

A．－3

B．3

C.

D．2．(2014·寧波)寧波軌道交通1號(hào)線、2號(hào)線建設(shè)總投資253.7億元，其中253.7億用科學(xué)記數(shù)法表示為()A．253.7×108B．25.37×109C．2.537×1010D．2.537×10113．(2012·溫州)給出四個(gè)數(shù)－1，0，0.5，，其中為無理數(shù)的是(

)A．－1

B．0

C．0.5

D.DCD4．如圖，若A是實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，則關(guān)于a，－a，1的大小關(guān)系表示正確的是()A．a(chǎn)<1<－a

B．a(chǎn)<－a<1C．1<－a<a

D．－a<a<15．計(jì)算：(1)(2013·衢州)－23÷|－2|×(－7＋5)；(2)(2014·嘉興)計(jì)算：＋

－4cos45°；(3)(2013·溫州)計(jì)算：＋(－1)＋

.A【答案】10；【答案】3.【問題】在下圖的集合圈中，有5個(gè)實(shí)數(shù)．(1)其中最大的數(shù)是________；(2)請(qǐng)計(jì)算其中的有理數(shù)的和與無理數(shù)的積的差；(3)請(qǐng)你再提出有關(guān)實(shí)數(shù)的幾個(gè)問題．類型一與實(shí)數(shù)相關(guān)的概念例1數(shù)字，，π，，cos45°，0.32中是無理數(shù)的有(

)

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)..【思路分析】先化簡

＝2是有理數(shù)，cos45°＝

是無理數(shù)．最后判斷，無理數(shù)有，π，cos45°共3個(gè)．【答案】C1.實(shí)數(shù)－2，0.3，，，－π中，無理數(shù)的個(gè)數(shù)是()

A．2B．3

C．4

D．5

A類型二科學(xué)記數(shù)法與近似值例2(2014·嘉興)2013年12月15日，我國“玉兔號(hào)”月球車順利抵達(dá)月球表面．月球離地球平均距離是384400000米，數(shù)據(jù)384400000用科學(xué)記數(shù)法表示為(

)A．3.844×108

B．3.844×107C．3.844×106

D．38.44×106(學(xué)P3頁)【思路分析】科學(xué)記數(shù)法的定義→科學(xué)記數(shù)法的形式→確定答案．【答案】A2．PM2.5是指大氣中直徑小于或等于0.0000025m的顆粒物，將0.0000025用科學(xué)記數(shù)法表示為()A．0.25×10－5

B．0.25×10－6C．2.5×10－5

D．2.5×10－6D類型三實(shí)數(shù)的運(yùn)算例3計(jì)算：|－|－＋2sin60°＋.

【思路分析】根據(jù)性質(zhì)各項(xiàng)化簡→計(jì)算→結(jié)論．【答案】原式＝－＋2×＋3＝3.【解后感悟】實(shí)數(shù)運(yùn)算的一般步驟：(1)觀察運(yùn)算種類；(2)確定運(yùn)算順序；(3)把握每步運(yùn)算法則和符號(hào)；(4)靈活運(yùn)用運(yùn)算律．3．(1)(2014·紹興)計(jì)算：

－4sin45°－(1－)0＋；

(2)(2014·臺(tái)州)計(jì)算：|2－1|＋(－1)0－.【答案】1.【答案】.類型四實(shí)數(shù)的大小比較例4(2014·紹興)比較－3，1，－2的大小，下列判斷正確的是(

)

A．－3＜－2＜1

B．－2＜－3＜1

C．1＜－2＜－3D．1＜－3＜－2【思路分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的大小比較法則，正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)相比，絕對(duì)值大的反而小.

∵－3＜－2＜0＜1，∴－3＜－2＜1正確．故選A.【答案】A4．設(shè)a＝20，b＝(－3)2，c＝，d＝，則a，b，c，d按由小到大的順序排列正確的是()A．c<a<d<bB．b<d<a<cC．a(chǎn)<c<d<bD．b<c<a<dA【試題】(2013·河北)定義新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，都有a⊕b＝a(a－b)＋1，等式右邊是通常的加法、減法及乘法運(yùn)算，比如：

2⊕5＝2×(2－5)＋1＝2×(－3)＋1＝－6＋1＝－5(1)求(－2)⊕3的值；(2)若3⊕x的值小于13，求x的取值范圍，并在如圖所示的數(shù)軸上表示出來．【新定義題】【分析與解】(1)按照定義新運(yùn)算a⊕b＝a(a－b)＋1，求解即可．(－2)⊕3＝－2×(－2－3)＋1＝－2×(－5)＋1＝10＋1＝11(2)先按照定義新運(yùn)算a⊕b＝a(a－b)＋1，得出3⊕x，再令其小于13，得到一元一次不等式，解不等式求出x的取值范圍，即可在數(shù)軸上表示．∵3⊕x<13

∴3(3－x)＋1<139－3x＋1<13－3x<3x>－1數(shù)軸表示如圖所示【方法與對(duì)策】這是一道新運(yùn)算類的題目，其特點(diǎn)一般是“新”而不“難”，處理的方法一般為：根據(jù)新運(yùn)算的定義，將已知中的數(shù)據(jù)代入進(jìn)行運(yùn)算，易得最終結(jié)果；同時(shí)利用所學(xué)知識(shí)解答綜合問題是我們應(yīng)具備的能力，是中考命題方式．對(duì)科學(xué)記數(shù)法的精確的位數(shù)混淆不清；實(shí)數(shù)運(yùn)算的順序、符號(hào)處理不當(dāng)．【問題】(1)(2013·衢州)衢州新聞網(wǎng)2月16日訊，2013年春節(jié)“黃金周”全市接待游客總數(shù)為833100人次．將數(shù)833100用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為(

)A．0.8331×106

B．83.31×105C．8.331×105

D．8.331×104【分析】運(yùn)算時(shí)要認(rèn)真審題，確定符號(hào)，明確運(yùn)算順序，本題易錯(cuò)點(diǎn)有三處：①不能正確理解算術(shù)平方根、零指數(shù)冪、絕對(duì)值的意義；②不能正確確定符號(hào)；③把三角函數(shù)值記錯(cuò)．【正解】原式＝2＋3－4×－1＝2.【分析】出現(xiàn)錯(cuò)誤可能在a的值以及n的值的確定．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值＞1時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【正解】C【問題】(2)(2013·深圳)計(jì)算：|－|＋－4sin45°－(－)0.(學(xué)P4頁)1．下列運(yùn)算中，正確的是()A.＝±3B.

＝2

C．(－2)0＝0D．2－1＝

2．納米是非常小的長度單位，1納米＝10－9米．某種病菌的長度約為50納米，用科學(xué)記數(shù)法表示該病菌的長度，結(jié)果正確的是()A．5×10－10米B．5×10－9米C．5×10－8米D．5×10－7米DC3．如圖，數(shù)軸上A