2022年湖南省衡陽(yáng)市耒陽(yáng)市冠湘中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

2022年湖南省衡陽(yáng)市耒陽(yáng)市冠湘中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知f（x），g（x）都是定義在R上的函數(shù)，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=ax?g（x）（a＞0，且a≠1），，若數(shù)列的前n項(xiàng)和大于62，則n的最小值為(

) A．6 B．7 C．8 D．9參考答案：A考點(diǎn)：簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；數(shù)列的函數(shù)特性．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：由f′（x）g（x）＞f（x）g′（x）可得單調(diào)遞增，從而可得a＞1，結(jié)合，可求a．利用等比數(shù)列的求和公式可求，從而可求解答： 解：∵f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），∴f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0，∴，從而可得單調(diào)遞增，從而可得a＞1，∵，∴a=2．故=2+22+…+2n=．∴2n+1＞64，即n+1＞6，n＞5，n∈N*．∴n=6．故選：A．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的符合判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，等比數(shù)列的求和公式的求解，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知構(gòu)造函數(shù)單調(diào)遞增．2.如圖，已知點(diǎn)，正方形內(nèi)接于圓：，、分別為邊、的中點(diǎn).當(dāng)正方形繞圓心旋轉(zhuǎn)時(shí)，的取值范圍為

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.

F2

F3【答案解析】C

解析：因?yàn)?所以設(shè)則即所以，所以==.故選C.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知條件知，OM與ON互相垂直，且M、N都在以原點(diǎn)為圓心為半徑的圓上，故可設(shè)則即所以，所以==.3.在等比數(shù)列中，若且，則的值為（

）（A）2

（B）4

（C）6

（D）8參考答案：

4.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：就是其中之一（如圖）.給出下列三個(gè)結(jié)論：①曲線C恰好經(jīng)過(guò)6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)；③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是A.① B.② C.①② D.①②③參考答案：C【分析】將所給方程進(jìn)行等價(jià)變形確定x的范圍可得整點(diǎn)坐標(biāo)和個(gè)數(shù)，結(jié)合均值不等式可得曲線上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的最值和范圍，利用圖形的對(duì)稱性和整點(diǎn)的坐標(biāo)可確定圖形面積的范圍.【詳解】由得,,,所以可為的整數(shù)有0,-1,1,從而曲線恰好經(jīng)過(guò)(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1),(-1,0),(-1,1)六個(gè)整點(diǎn),結(jié)論①正確.由得,,解得,所以曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò).結(jié)論②正確.如圖所示,易知,四邊形的面積,很明顯“心形”區(qū)域的面積大于,即“心形”區(qū)域的面積大于3,說(shuō)法③錯(cuò)誤.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查曲線與方程?曲線的幾何性質(zhì)，基本不等式及其應(yīng)用,屬于難題,注重基礎(chǔ)知識(shí)?基本運(yùn)算能力及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力考查,滲透“美育思想”.5.設(shè)雙曲線的—個(gè)焦點(diǎn)為F；虛軸的—個(gè)端點(diǎn)為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為（

）

A．

B.

C.

D.參考答案：D6.若α∈（，π），則3cos2α=cos（+α），則sin2α的值為（）A． B．﹣ C．D．﹣參考答案：D【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的余弦函數(shù)；二倍角的正弦．【分析】由已知利用二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得3（cosα+sinα）（cosα﹣sinα）=（cosα﹣sinα），由范圍α∈（，π），可得：cosα﹣sinα≠0，從而可求cosα+sinα=，兩邊平方，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角的正弦函數(shù)公式即可計(jì)算得解．【解答】解：∵3cos2α=cos（+α），∴3（cosα+sinα）（cosα﹣sinα）=（cosα﹣sinα），∵α∈（，π），可得：cosα﹣sinα≠0，∴cosα+sinα=，∴兩邊平方可得：1+sin2α=，解得：sin2α=﹣．故選：D．7.已知是等差數(shù)列，且公差，為其前項(xiàng)和，且，則(

)A.0 B.1 C.13 D.26參考答案：A是等差數(shù)列，，得，所以，故選A．8.已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A.

B

C.

D.參考答案：C

9.設(shè)函數(shù)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x、y，有上

（

）

A．有最大值

最小值

B．有最小值

最大值

C．有最大值，最小值

D．有最小值，最大值

參考答案：答案:A10.已知A、B為雙曲線=1（a＞0，b＞0）的左右頂點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其左右焦點(diǎn)，雙曲線的漸近線上一點(diǎn)P（x0，y0）（x0＜0，y0＞0），滿足=0，且∠PBF1=45°，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】KC：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由題意可得PF1⊥PF2，|PO|=|F1F2|=c，求出雙曲線的一條漸近線方程，可得x0，y0的方程，解方程可得P的坐標(biāo)，解直角三角形PAB，可得b=2a，求出a，c的關(guān)系，運(yùn)用離心率公式即可得到所求值．【解答】解：F1，F(xiàn)2為其左右焦點(diǎn)，滿足=0，可得PF1⊥PF2，|PO|=|F1F2|=c，由雙曲線的漸近線方程y=﹣x，即有x02+y02=c2，bx0+ay0=0，解得P（﹣a，b），則PA⊥AB，又∠PBF1=45°，則|PA|=|AB|，即有b=2a，可得c==a，則e==．故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若函數(shù)的圖象上存在與直線平行的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：12.已知三棱錐P﹣ABC的所有棱長(zhǎng)都等于1，則三棱錐P﹣ABC的內(nèi)切球的表面積

．參考答案：考點(diǎn)：球的體積和表面積；球內(nèi)接多面體．專題：計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．分析：求出三棱錐P﹣ABC的高為=，利用三棱錐P﹣ABC的外接球與內(nèi)切球的半徑的比為3：1，可得三棱錐P﹣ABC的內(nèi)切球的半徑，即可求出三棱錐P﹣ABC的內(nèi)切球的表面積．解答： 解：∵三棱錐P﹣ABC的所有棱長(zhǎng)都等于1，∴底面外接圓的半徑為，∴三棱錐P﹣ABC的高為=，∵三棱錐P﹣ABC的外接球與內(nèi)切球的半徑的比為3：1，∴三棱錐P﹣ABC的內(nèi)切球的半徑為，∴三棱錐P﹣ABC的內(nèi)切球的表面積為4π×=．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考查三棱錐P﹣ABC的內(nèi)切球的表面積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定三棱錐P﹣ABC的內(nèi)切球的半徑是關(guān)鍵．13.設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足z（1+i）=1﹣i，則|z|=．參考答案：1【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)求模．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式即可得出．【解答】解：z（1+i）=（1﹣i），∴z（1+i）（1﹣i）=（1﹣i）（1﹣i），∴2z=﹣2i，z=﹣i．則復(fù)數(shù)z的模|z|=1．故答案為：1．14.已知的定義域?yàn)?-2，2)，則的定義域?yàn)?/p>

；參考答案：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?，所?由得，，即的定義域?yàn)?15.已知函數(shù).關(guān)于x的方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

_____

參考答案：16.已知實(shí)數(shù)a，b滿足等式()a＝()b，則下列五個(gè)關(guān)系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中不可能成立的關(guān)系式為_(kāi)_____________．參考答案：③④略17.

下列五個(gè)命題：

①分別和兩條異面直線都相交的兩條直線一定是異面直線②函數(shù)是奇函數(shù)③直線是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸④若，則的最大值為⑤函數(shù)的最小正周期為其中不正確的命題的序號(hào)是______________（把你認(rèn)為不正確的命題序號(hào)全填上）參考答案：答案：①④⑤三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足.(1)求及；(2)若，求的前2n項(xiàng)的和.參考答案：（1）由得，，即，所以.

（2分）又，所以以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.所以，故.

（4分）所以當(dāng)時(shí)，，所以.

（5分）（2）由（1）知，所以，

（9分），所以.

（12分）19.左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2的橢圓C：（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q（0，），P為橢圓上一點(diǎn)，△PF1F2的重心為G，內(nèi)心為I，IG∥F1F2．（1）求橢圓C的方程；（2）M為直線x﹣y=4上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作橢圓C的兩條切線MA、MB，A、B為切點(diǎn)，問(wèn)直線AB是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（1）由過(guò)點(diǎn)Q，則b=，求得，△PF1F2的重心為G點(diǎn)坐標(biāo)，由IG∥F1F2，|y0|=3r，根據(jù)三角形的面積公式可知a=2c，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（2）利用橢圓的切線發(fā)濃縮，求得直線AB的方程，由點(diǎn)M為直線x﹣y=4上，代入整理即可求得定點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵橢圓C：+=1（a＞b＞0）焦點(diǎn)在x軸上，且過(guò)點(diǎn)，∴…設(shè)△PF1F2內(nèi)切圓的半徑為r，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0），則△PF1F2重心G的坐標(biāo)為，∵IG∥F1F2，∴|y0|=3r．…由△PF1F2面積可得）r=，即a=2c，，…則解得，即所求的橢圓方程為則橢圓方程為…（2）設(shè)M（x1，y1），A（x2，y2），B（x3，y3）則切線MA，MB的方程分別為，．…∵點(diǎn)M在兩條切線上，∴，，故直線AB的方程為．…又∵點(diǎn)M為直線x﹣y=4上，∴y1=x1﹣4即直線AB的方程可化為，整理得（3x+4y）x1=16y+12，由解得，因此，直線AB過(guò)定點(diǎn)．…20.（12分）一工廠生產(chǎn)甲，乙，丙三種樣式的杯子，每種樣式均有500ml和700ml兩種型號(hào)，某天的產(chǎn)量如右表（單位：個(gè)）：按樣式分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的杯子中抽取100個(gè)，其中有甲樣式杯子25個(gè)．型號(hào)甲樣式乙樣式丙樣式500ml2000z3000700ml300045005000（1）求z的值；（2）用分層抽樣的方法在甲樣式杯子中抽取一個(gè)容量為5的樣本，從這個(gè)樣本中任取2個(gè)杯子，求至少有1個(gè)500mL杯子的概率．參考答案：【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布．【分析】（1）根據(jù)分層抽樣的規(guī)則計(jì)算出總體容量，即可算得z值．（2）算出兩種杯子在樣本中的數(shù)量，用列舉法列舉出所有的基本事件及事件所包含的基本事件數(shù)，由公式求出概率即可．【解答】解：（1）．設(shè)該廠本月生產(chǎn)的乙樣式的杯子為n個(gè)，在丙樣式的杯子中抽取x個(gè)，由題意得，，所以x=40．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）則100﹣40﹣25=35，所以，，n=7000，故z=2500﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）設(shè)所抽樣本中有m個(gè)500ml杯子，因?yàn)橛梅謱映闃拥姆椒ㄔ诩讟邮奖又谐槿∫粋€(gè)容量為5的樣本，所以，解得m=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）也就是抽取了2個(gè)500ml杯子，3個(gè)700ml杯子，分別記作S1，S2；B1，B2，B3，則從中任取2個(gè)的所有基本事件為（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3）（S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（（S1，S2），（B1，B2），（B2，B3），（B1，B3）共10個(gè)，其中至少有1個(gè)500ml杯子的基本事件有7個(gè)基本事件：（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3）（S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（（S1，S2），所以從中任取2個(gè)，至少有1個(gè)500ml杯子的概率為．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率，解題的重點(diǎn)是列舉出基本事件的個(gè)數(shù)及事件包含的基本事件數(shù)，列舉時(shí)要做到不重不漏．21.已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（Ⅰ）求曲線的直角坐標(biāo)方程及曲線上的動(dòng)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最大值；（Ⅱ）若曲線與曲線相交于，兩點(diǎn)，且與軸相交于點(diǎn)，求的值．參考答案：（Ⅰ）由得，即曲線的直角坐標(biāo)方程為……2分根據(jù)題意得，因此