多變量統(tǒng)計過程控制

多變量統(tǒng)計過程控制第一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日

統(tǒng)計過程實施步驟：⑴構畫流程圖。畫過程流程圖，并標注組成過程的各個階段。其次研究過程中的數(shù)據(jù)流向與數(shù)據(jù)儲存。⑵確定問題。確定過程變量，收集變量數(shù)據(jù)并加以分析。⑶過程探索。收集過程信息，建立經(jīng)驗或者理論模型，選定統(tǒng)計過程控制圖并決定采用哪些變量，最后實施統(tǒng)計過程控制。統(tǒng)計過程控制類型篩選性：通過抽樣檢查檢測過程輸出，篩選出不合格產品。預防性：通過過程控制防止不合格產品產生的方法。第二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日主元分析

主元分析可以用來實現(xiàn)下列目標：數(shù)據(jù)簡化、數(shù)據(jù)壓縮、建模奇異值檢測、變量選擇、分類和預報。其中得分向量之間是相互正交的，負荷向量之間相互正交且長度為1，由此可得數(shù)據(jù)矩陣X的變化體現(xiàn)在主元所對應的負荷向量方向上。

第三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日數(shù)據(jù)矩陣X的主元計算方法方法一:利用X的協(xié)方差矩陣計算主元第一步：數(shù)據(jù)矩陣X的負荷向量實際上是其協(xié)方差矩陣的特征向量。故需先求出協(xié)方差矩陣特征值的特向量。第二步：由于X的負荷向量相互正交且長度為1.故需要對所得上面特征向量進行正交化，單位化。

第三步：根據(jù)可求得數(shù)據(jù)矩陣的各個得分向量，即X的各個主元。

第四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日方法二：非線性迭代部分最小二乘算法（NIPALS）利用NIPALS算法分別計算矩陣的各個主元。

NIPALS算法步驟為：①從X中任選一列Xj，并記為t1，即t1=Xj;②計算p1：;③將p1的長度歸一化：;④計算t1：;

⑤將步驟②中的t1與步驟④中的t1作比較，如果它們一樣，則算法已收斂，計算停止，如果它們不一樣，回到步驟②，以④中的t1代替②中的t1繼續(xù)計算，知道算法收斂為止。上述算法只是針對第一個主元而言的，對于計算其他主元，算法是一樣的，只要將算法中的X矩陣變?yōu)橄鄳恼`差矩陣即可。第五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日利用主元分析清除數(shù)據(jù)中測量噪聲

式中E為誤差矩陣。因而數(shù)據(jù)X可以近似地表示為：

通過對數(shù)據(jù)矩陣進行主元分析可以計算出矩陣的各個主元，用前k個主元來表示數(shù)據(jù)X不僅可以起到壓縮數(shù)據(jù)維數(shù)的作用，還可以很好起到清除噪聲的作用。

第六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日應用主元分析壓縮數(shù)據(jù)維數(shù)實例用MatIab指令按下列表達式產生一組四維數(shù)據(jù)：從上述數(shù)學描述式可以看出，這四個變量之間是線性相關的。對這些數(shù)據(jù)進行主幾分析，得到數(shù)據(jù)的協(xié)方差短陣的特征值為：

539．46，73.32，0，0

這說明數(shù)據(jù)維數(shù)可以壓縮為兩維。與前兩個特征值對應的特征向員為：

[0．3078—0．15370．76930．53831][一0．4754—0．6551—0．29570．5073]

因此，主元分析足對數(shù)據(jù)進行維數(shù)壓縮的有效工具，它對分析和研究過程以及對過程進行監(jiān)控是非常實用的.第七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日模型的建立

通過過程所積累的數(shù)據(jù)和實驗所得到的數(shù)據(jù)，一般的線性模型可以表達為：

由在生產過程中得到的一組輸入輸出觀測值，來尋求最佳模型參數(shù)，使得模型預測的輸出值與實際測量的輸出值之間的誤差達到最小。這個尋找最佳模型參數(shù)的過程稱為線性回歸。當模型具有多個輸出變量時，這個過程被稱為多元線性回歸。第八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日用多元回歸算法求模型最佳參數(shù)將實測輸出值表達為模型預測值加上誤差值所要求的最佳模型參數(shù)就是要求誤差值最小，即E最小。也可表示為最小。記

，求J最小值如下：第九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日用主元回歸計算模型參數(shù)

用X的前k個主元來代替那些原始輸入變量進行回歸分析，這樣便得到下面的主元回歸模型PCR。式中為主元回歸模型參數(shù)。利用最小二乘法計算得到由于，所以，從上式中可以看出

此式即為通過主元回歸得到模型參數(shù)的計算式。第十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日單變量統(tǒng)計過程控制過程變化的類型工業(yè)過程中所存在的各種各樣的變化根據(jù)其產生原因大概分為四類。統(tǒng)計過程控制的重要作用之一是監(jiān)測、區(qū)分過程變化，幫助人們尋找過程變化的原因。這通常是利用各種控制圖來實現(xiàn)的。

`過程變化原因分類外界因素引起的變化。如環(huán)境溫度、濕度等。過程本身原因引起的變化。如催化劑老化等?？稍谏a中找到原因的變化。如原材料變化等。噪聲變化。隨機變化。第十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日

對于簡單的正態(tài)隨機變化，可以用下面的模型來描述：

過程參數(shù)變化還會引起額外的變化，較復雜的過程模型為：其中表示組間方差。過程變化的簡單模型第十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日分析過程變化的圖形方法圖形方法是幫助尋找過程變化的最簡單、最方便的工具。比如可以用直方圖、散布圖以及正態(tài)分布圖來分析過程變化。下面介紹兩種圖形分析方法。⑴滑動平均方法當數(shù)據(jù)隨時間波動很大時，往往不容易觀測其變化趨勢。將數(shù)據(jù)利用滑動平均方法進行平滑后，便可容易地從數(shù)據(jù)圖形中找到它們的周期性變化或變化趨勢等。

經(jīng)一次平滑后經(jīng)兩次平滑后第十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日⑵累積和圖方法累積和控制圖不僅可以迅速檢測出生產過程小偏移，而且可以確定偏移的大小，易于定位變化點。累積和圖中的各點代表累積值。

累積和圖第十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日過程能力

⑴過程能力指數(shù)產品性能指標的界限與其標準差是決定過程能力的兩個重要因素，它們的比值被定義為過程指數(shù)上式中得分母代表了99.7%的分布范圍。當產品性能指標不服從正態(tài)分布時，可以將上式的分母換為代表99.7%的分布范圍的值。一般取為1.3～1.6之間。過程表現(xiàn)指數(shù)第十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日過程能力的初級分析包括以下幾個階段：

⑴將整個過程作為一個系統(tǒng)來分析并列出它的變量；⑵在過程的特定點采集數(shù)據(jù)；⑶數(shù)據(jù)分析。在第一階段，至少需要有一個過程流程圖。過程中的變量還可以分為以幾類：輸入變量，如與輸入材料的性質、數(shù)量相關的變量；過程變量，如過程的溫度、壓力和周期等；產品變量，如產品性能指標、強度等。

在完成過程的初步分析后，要建立Shewhart控制圖或累積和圖等等，并將它們投入運行。在運用中人們能借助于這些控制圖來發(fā)現(xiàn)過程中存在的問題并控制或消除這些問題。這些控制措施將會改變過程的特性。因此過一段時間后需要重新分析過程能力并更新控制圖。右圖為建立統(tǒng)計過程控制的過程。

第十六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日統(tǒng)計控制圖

統(tǒng)計控制圖方法是統(tǒng)計過程控制中的最基本最典型的方法。應用單變量控制圖可以監(jiān)視生產運行參數(shù)和質量指標的變化，分析生產過程狀態(tài)。統(tǒng)計控制圖的種類很多，典型的控制圖包括均值圖、范圍圖、累積和圖、移動平均圖、指數(shù)加權移動平均圖和指數(shù)加權方差圖等。統(tǒng)計控制圖能夠區(qū)分偶然因素和系統(tǒng)因素這兩種因素，反映和控制系統(tǒng)因素造成的質量波動，檢測并消除這些異常因素對過程的影響，從而提高產品質量。應用單變量控制圖可以監(jiān)視過程運行參數(shù)和質量指標，分析生產過程狀態(tài)。建立Shawhart統(tǒng)計控制圖一般包括以下幾個部分工作。

采集數(shù)據(jù)過程能力分析計算過程均值和方差確定采樣組數(shù)和采樣頻率選定控制圖類型計算控制限和警告限第十七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日⑵圖

用來控制過程均值的Shawhart控制圖稱為圖。建立圖取決于對過程均值及均值標準差的估計。它包括以下幾步：第一步：估計過程均值、過程變化性以及組均值的標準誤差（）；第二步：選定控制圖的尺寸，使靠近中央，控制圖包括大約；第三步：標出控制限或；第四步：標出警告限或。

第十八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日⑶范圍圖

范圍圖可用于控制過程的分散度。建立范圍圖的方法有兩種：范圍法和方法。

①建立范圍圖的范圍方法包括以下幾步。第一步：利用過程能力研究數(shù)據(jù)，或選用至少20組新的數(shù)據(jù)來計算平均范圍。第二步：選擇范圍圖尺度，從零到大約所觀測的范圍的2倍。第三步：標定控制限和警告限：低控制限，高控制限，低警告限，高警告限。其中至為取決于子組大小的常數(shù)，可從相應表中查出。

②方法的步驟如下：第一步：利用過程能力研究數(shù)據(jù)，或至少選用20組新的數(shù)據(jù)來計算；第二步：利用表5.7中的因子乘以來計算控制限和警告限，選擇范圍圖尺度時，應使它大約高出控制限的50%。范圍圖的解釋規(guī)則同圖的解釋規(guī)則一樣，當范圍低于控制限時，可能出現(xiàn)了以下情況：過程的分散度被減少，范圍圖需要重新標定；測量儀表失靈；計算錯誤。第十九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日⑷標準差圖可以建立類似于范圍圖的標準差圖。標準差圖利用表5.8中所給因子來計算控制限和警告限：低控限，高控制限，低警告限，高警告限。對標準差圖的解釋和對范圍圖的解釋一樣。當每組采樣中得數(shù)據(jù)多余8時，標準差圖比范圍圖更為有效。

第二十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日⑸適用于“每次一個數(shù)據(jù)”的Shawhart控制圖

移動范圍圖可以按以下步驟建立。第—步：決定范圍所包括的采樣點數(shù)k，這通常是由實際情況而定。第二步：對于每次一個的數(shù)據(jù)，利用k個采樣點的移動范圍來估計過程的標準差對于分組或分塊的數(shù)據(jù)，估計組均值的標難差。第三步:選擇圖形范圍為從零到兩倍所觀測到的最大范圍。第四步:標定控制限：低控制限，高控制限其中和見表5.6。第五步:將移動范圖(即每k個連續(xù)采樣點的變化范圍)標繪在圖上。

第二十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日⑹移動平均圖

當切組采樣只包括一兩個采樣值時，移動平均圖往往很有用。在移動平均圖中，將K組采樣值的均值分別標出。移動平均圖的建立包括以下幾步。第一步，對于每次一到兩個的數(shù)據(jù)：計算過程均值，利用移動方法計算過程標準差，選擇一個適當。第二步，選擇適當?shù)膱D形尺度使在中央,并使圖形覆蓋大約,k為組數(shù)。第三步，將控制限標為入。下列條件都滿足時，移動平均圖是非常有效的：①每組包括很少的采樣值；②過程的真正均值變化非常緩慢；③過程的分散度是比較平穩(wěn)的。

第二十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日⑺指數(shù)加權移動平均圖(EWMA圖)

EWMA圖對過程為“每次一個數(shù)據(jù)”酌情況，或需要高精度來檢測小的變化時非常有效。EWMA圖的建立包括下列幾步。第一步，計算過程均值及其標準差。第二步，選擇一個在0.1到0.5間的P值，作為當前時刻數(shù)據(jù)的權重。第三步，選擇一個初姑值(＝)，作為整體均值或目標值。第四步，計算并標出移動均值：其中又是組均值或每次一個的數(shù)據(jù)。

第五步，將控制限標繪在，其中見表5.14。第二十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日控制圖的選擇

將幾種主要控制圖的優(yōu)缺點概括如下：圖優(yōu)點：①能有效地檢測過程平均水平的突變；②可靠并韌“泛應用；③容易理解c缺點：①不能很快地檢測出過程均值的偏移；②不容易檢測出過程均值的小變化。移動平均圖優(yōu)點：①比圖能更好地檢測出過程均值的小偏移；②能用于“每次一個”的數(shù)據(jù)以及小采樣的數(shù)據(jù)。缺點：檢測過程均值突變時有滯后。

EWMA圖優(yōu)點：①能很好地檢測出小的偏移；②能夠用于“每次一個數(shù)據(jù)”的數(shù)據(jù)以及小采樣組的數(shù)據(jù)。缺點：檢測過程突變時有滯后。在具體應用時，可根據(jù)各種控制圖的優(yōu)缺點來具體選擇控制圖。第二十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日多變量統(tǒng)計過程控制單變量統(tǒng)計控制，如Shawhart圖、累積和圖以及EWMA圖等，常用于監(jiān)測少量的質量變量及與質量有關的過程變量。單變量統(tǒng)計過程控制只考慮單一變量的變化幅度，不涉及到多個質量指標間的相互關聯(lián)關系。在實際生產中，衡量產品質量指標的測量變量可能不止一個，而這些變量之間往往是相互關聯(lián)的。在這種情況下，對這些變量單獨進行統(tǒng)計控制往往會導致生產過程中的異常情況不容易被確認．統(tǒng)計分析的結果得不到明確的解釋，甚至會誤誤導操作人員。

第二十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日多變量控制的主元模型

在實施多變量控制時，需要建立一個反映過程正常運行的主元模型。假設為收集到的過程正常運行數(shù)據(jù)，先將X作如下標準化

這個主元模型在i時刻的平方預測誤差SPE可以寫為第二十六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日多變量統(tǒng)計控制圖常用的多變量統(tǒng)計控制圖有平方預測誤差圖（SPE）圖、圖、主元得分圖、