直線與拋物線的位置關(guān)系 省賽獲獎

考試要求1.能解決直線與拋物線的位置關(guān)系問題；2.能解決拋物線的切線問題、弦長問題.第8節(jié)直線與拋物線的位置關(guān)系知

識

梳

理a<0a＝0a>0p<2bkp＝2bkp>2bk2.拋物線的切線(1)過拋物線外一點的直線中，有兩條直線與拋物線相切.(2)過拋物線上一點的直線中，只有一條直線與拋物線相切.(3)過拋物線內(nèi)一點的直線與拋物線均相交.3.若直線與拋物線有兩個交點，其弦長公式與橢圓的弦長公式相同.基

礎(chǔ)

自

測1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)若直線與拋物線只有一個公共點，則直線不一定是拋物線的切線.(

)(2)過拋物線內(nèi)部一點的所有直線都與拋物線相交.(

)(3)直線與拋物線相交，則一定有弦長.(

)(4)拋物線y2＝4x在點(1，2)處的切線方程為x－y＋1＝0.(

)解析(3)當(dāng)直線與拋物線的對稱軸平行或重合時，只有一個交點，弦長不存在.答案(1)√

(2)√

(3)×

(4)√答案D3.過拋物線y2＝4x的焦點的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點，如果x1＋x2＝6，則|PQ|＝(

) A.9 B.8 C.7 D.6

解析拋物線y2＝4x的焦點為F(1，0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.根據(jù)題意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.故選B.

答案B解析由拋物線C：y2＝4x的焦點為(1，0)，經(jīng)過拋物線C的焦點且垂直于x軸的直線和拋物線C交于A，B兩點，

答案25.(2018·北京卷)已知直線l過點(1，0)且垂直于x軸.若l被拋物線y2＝4ax截得的線段長為4，則拋物線的焦點坐標(biāo)為________.答案(1，0)考點一直線與拋物線位置關(guān)系的判斷【例1】

已知拋物線y2＝4x，直線l過點P(－2，1). (1)當(dāng)直線l的斜率k為何值時，直線l與拋物線分別有一個公共點，兩個公共點，沒有公共點？ (2)寫出過點P的拋物線的切線方程.

解(1)當(dāng)k＝0時，直線與x軸平行，此時直線與拋物線只有一個公共點；

當(dāng)k≠0時，設(shè)直線l的方程為y－1＝k(x＋2)，Δ＝(4k2＋2k－4)2－4k2(2k＋1)2，規(guī)律方法用代數(shù)法解決解析幾何問題，由方程解的個數(shù)判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.【訓(xùn)練1】

已知拋物線y2＝x，直線l過點(0，1)，寫出直線l與拋物線相切時l的方程.解當(dāng)直線l的斜率k不存在時，直線l：x＝0與拋物線相切.當(dāng)直線l的斜率k存在時，l的方程為y－1＝kx，當(dāng)k＝0時，直線l：y＝1與拋物線相交；綜上過點(0，1)與拋物線y2＝x相切的方程為x＝0或x－4y＋4＝0.考點二與拋物線弦長(中點)有關(guān)的問題【例2】

已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，拋物線C與直線l1：y＝－x的一個交點的橫坐標(biāo)為8. (1)求拋物線C的方程； (2)不過原點的直線l2與l1垂直，且與拋物線交于不同的兩點A，B，若線段AB的中點為P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面積.解

(1)易知直線與拋物線的交點坐標(biāo)為(8，－8)，∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，∴拋物線方程為y2＝8x.(2)直線l2與l1垂直，故可設(shè)直線l2：x＝y(tǒng)＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直線l2與x軸的交點為M.Δ＝64＋32m>0，∴m>－2.y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，規(guī)律方法

(1)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式.(2)涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法.(3)涉及弦的中點、斜率時，一般用“點差法”求解. 【訓(xùn)練2】

(2018·全國Ⅱ卷)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|＝8. (1)求l的方程； (2)求過點A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.

解(1)由題意得F(1，0)，l的方程為y＝k(x－1)(k>0).

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2).因此所求圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.考點三與拋物線有關(guān)的探究性問題【例3】

(2018·上海卷)設(shè)常數(shù)t>2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點F(2，0)，直線l：x＝t，曲線Γ：y2＝8x(0≤x≤t，y≥0)，l與x軸交于點A、與Γ交于點B，P，Q分別是曲線Γ與線段AB上的動點. (1)用t表示點B到點F的距離； (2)設(shè)t＝3，|FQ|＝2，線段OQ的中點在直線FP上，求△AQP的面積； (3)設(shè)t＝8，是否存在以FP，F(xiàn)Q為鄰邊的矩形FPEQ，使得點E在Γ上？若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.解(1)由拋物線的性質(zhì)可知點B到點F的距離為t＋2.規(guī)律方法這種存在型探究問題：一般假設(shè)存在通過推理計算(如解方程或不等式)，求出變量的值或范圍，否則說明不存在.(1)解設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，由題意可知，拋物線的焦點為(1，0)，∴p＝2，∴拋物線D的方程為y2＝4x.(2)證明設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由O為PQ的中點，得點Q的坐標(biāo)為(－4，0).當(dāng)l垂直于x軸時，由拋物線的對稱性知∠AQP＝∠BQP；當(dāng)l不垂直于x軸時，