【冀教版】初二數(shù)學(xué)上冊《專訓(xùn)2-巧用勾股定理求最短路徑的長》

專訓(xùn)2巧用勾股定理求最短路徑的長名師點金：求最短距離的問題，第一種是通過計算、比較解最短問題；第二種是平面圖形，將分散的條件通過幾何變換(平移或軸對稱)進行集中，然后借助勾股定理解決；第三種是立體圖形，將立體圖形展開為平面圖形，在平面圖形中將路程轉(zhuǎn)化為兩點間的距離，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距離)．用計算法求平面中的最短問題1．如圖，A，B兩塊試驗田相距200m，C為水源地，AC＝160m，BC＝120m，為了方便灌溉，現(xiàn)有兩種方案修筑水渠．甲方案：從水源地C直接修筑兩條水渠分別到試驗田A，B；乙方案：過點C作AB的垂線，垂足為H，先從水源地C修筑一條水渠到線段AB上的H處，再從H分別向試驗田A，B修筑水渠．(1)試判斷△ABC的形狀，并說明理由．(2)兩種方案中，哪一種方案所修的水渠較短？請通過計算說明．(第1題)用平移法求平面中的最短問題2．如圖，小明在廣場上先向東走10m，又向南走40m，再向西走20m，又向南走40m，再向東走70m．則小明到達的終點與原出發(fā)點的距離是________．(第2題)(第3題)3．如圖，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，則AF的長是________．用對稱法求平面中的最短問題4．某島爭端持續(xù)，我國海監(jiān)船加大對該島海域的巡航維權(quán)力度．如圖，OA⊥OB，OA＝45海里，OB＝15海里，該島位于O點，我國海監(jiān)船在點B處發(fā)現(xiàn)有一不明國籍的漁船，自A點出發(fā)沿著AO方向勻速駛向此島所在地點O，我國海監(jiān)船立即從B處出發(fā)以相同的速度沿某直線去攔截這艘漁船，結(jié)果在點C處截住了漁船．(1)請用直尺和圓規(guī)作出C處的位置；(2)求我國海監(jiān)船行駛的路程BC的長．(第4題)5．高速公路的同一側(cè)有A，B兩城鎮(zhèn)，如圖所示，它們到高速公路所在直線MN的距離分別為AA′＝2km，BB′＝4km，A′B′＝8km.要在高速公路上A′，B′之間建一個出口P，使A，B兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最短．求這個最短距離．【導(dǎo)學(xué)號：42282077】(第5題)用展開法求立體圖形中的最短問題eq\a\vs4\al(類型1)圓柱中的最短問題6．如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為eq\f(6,π)，高為8，AB，CD分別是兩底面的(第6題)直徑．若一只小蟲從A點出發(fā)，沿圓柱側(cè)面爬行到C點，則小蟲爬行的最短路程是________．eq\a\vs4\al(類型2)圓錐中的最短問題7．如圖，觀察圖形解答下面的問題：(1)此圖形的名稱為________．(2)請你與同伴一起做一個這樣的圖形，并把它沿AS剪開，鋪在桌面上，則它的側(cè)面展開圖是一個________．(3)如果點C是SA的中點，在A處有一只蝸牛，在C處恰好有蝸牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C處，只能沿此立體圖形的表面爬行．你能在側(cè)面展開圖中畫出蝸牛爬行的最短路線嗎？(4)SA的長為10，側(cè)面展開圖的圓心角為90°，請你求出蝸牛爬行的最短路程．【導(dǎo)學(xué)號：42282078】(第7題)eq\a\vs4\al(類型3)長方體中表面的最短問題8．如圖，長方體盒子的長、寬、高分別是12cm，8cm，30cm，在AB的中點C處有一滴蜜糖，一只小蟲從E處沿盒子表面爬到C處去吃．求小蟲爬行的最短路程．(第8題)eq\a\vs4\al(類型4)長方體容器壁的最短問題9．有一個如圖所示的長方體的透明玻璃魚缸，假設(shè)其長AD＝80cm，高AB＝60cm，水深為AE＝40cm，在水面上緊貼內(nèi)壁G處有一魚餌，G在水面線EF上，且EG＝60cm.一小蟲想從魚缸外的A點沿壁爬進魚缸內(nèi)G處吃魚餌．(1)小蟲應(yīng)該走怎樣的路線才能使爬行的路線最短呢？請你在圖中畫出它爬行的路線，并用箭頭標(biāo)注．(2)求小蟲爬行的最短路線長．(第9題)答案1．解：(1)△ABC是直角三角形．理由如下：因為AC2＋BC2＝1602＋1202＝40000，AB2＝2002＝40000，所以AC2＋BC2＝AB2.所以△ABC是直角三角形．(2)甲方案所修的水渠較短．因為△ABC是直角三角形，由題可知∠ACB＝90°，CH⊥AB，所以△ABC的面積＝eq\f(1,2)AB·CH＝eq\f(1,2)AC·BC.所以CH＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(160×120,200)＝96(m)．因為AC＋BC＝160＋120＝280(m)，CH＋AH＋BH＝CH＋AB＝96＋200＝296(m)，所以AC＋BC<CH＋AH＋BH，所以甲方案所修的水渠較短．2．100m點撥：如圖，作AC⊥BC于C，連接AB.因為AC＝40＋40＝80(m)，BC＝70－10＝60(m)，所以AB2＝602＋802＝1002，則AB＝100m.(第2題)3．104．解：(1)如圖，連接AB，作AB的垂直平分線與OA交于點C，C點即為所求．(2)連接BC，設(shè)BC＝x海里，則CA＝x海里，在Rt△OBC中，BO2＋OC2＝BC2，∴152＋(45－x)2＝x2.解得x＝25.∴我國海監(jiān)船行駛的路程BC的長為25海里．(第4題)5．解：如圖，作點B關(guān)于MN的對稱點C，連接AC交MN于點P，則點P即為所建的出口．此時A，B兩城鎮(zhèn)到出口P的距離之和最短，最短距離為AC的長．作AD⊥BB′于點D，在Rt△ADC中，AD＝A′B′＝8km，DC＝6km.所以AC2＝AD2＋DC2＝100，所以AC＝10km.所以這個最短距離為10km.(第5題)6．10點撥：將圓柱體的側(cè)面沿AD剪開并鋪平得長方形AA′D′D，連接AC，如圖所示．線段AC就是小蟲爬行的最短路程．根據(jù)題意，得AB＝eq\f(6,π)×2π×eq\f(1,2)＝6.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝62＋82＝102.所以AC＝10.(第6題)7．解：(1)圓錐(2)扇形(3)能．把此立體圖形的側(cè)面展開，如圖所示，AC為蝸牛爬行的最短路線．(4)在Rt△ASC中，由勾股定理，得AC2＝102＋52＝125.即AC＝5eq\r(5)，故蝸牛爬行的最短路程為5eq\r(5).(第7題)8．解：小蟲從E處沿盒子表面爬到C處去吃蜜糖的較短路徑可分為三種情況：情況一：如圖①，連接EC，在Rt△EBC中，EB＝12＋8＝20(cm)，BC＝eq\f(1,2)×30＝15(cm)．由勾股定理，得EC2＝202＋152＝625，EC＝25cm.(第8題)情況二：如圖②，連接EC.由勾股定理，得EC2＝122＋(8＋15)2＝673.情況三：如圖③，連接EC.由勾股定理，得EC2＝82＋(12＋15)2＝793.因為625＜673＜793，所以，小蟲爬行的最短路程是25cm.9．解：(1)如圖所示，作點A關(guān)于BC的對稱點A′，連接A′G，與BC交于點Q，連