材料力學(xué)課件第七章 彎曲變形

材料力學(xué)課件第七章彎曲變形第一頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日§7-1概述

在工程實(shí)踐中，對(duì)某些受彎構(gòu)件，除要求具有足夠的強(qiáng)度外，還要求變形不能過(guò)大，即要求構(gòu)件有足夠的剛度，以保證結(jié)構(gòu)或機(jī)器正常工作。一、工程實(shí)踐中的彎曲變形問(wèn)題第二頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日

搖臂鉆床的搖臂或車(chē)床的主軸變形過(guò)大，就會(huì)影響零件的加工精度，甚至?xí)霈F(xiàn)廢品。FF第三頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日

橋式起重機(jī)的橫梁變形過(guò)大,則會(huì)使小車(chē)行走困難，出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象。PP第四頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日

但在另外一些情況下，有時(shí)卻要求構(gòu)件具有較大的彈性變形，以滿(mǎn)足特定的工作需要。

例如，車(chē)輛上的板彈簧，要求有足夠大的變形，以緩解車(chē)輛受到的沖擊和振動(dòng)作用。第五頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日二、彎曲變形的基本概念FxlxABl描述截面上任一點(diǎn)的位移:1、形心軸的線(xiàn)位移

——撓度v2、截面繞形心軸的角位移

——轉(zhuǎn)角第六頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日ABF二、彎曲變形的基本概念xlxlF

變彎的形心軸——

撓曲線(xiàn)F

撓度隨坐標(biāo)變化的方程——撓曲線(xiàn)方程F

忽略剪切變形

+

梁的轉(zhuǎn)角一般很小——第七頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日§7-2梁撓曲線(xiàn)的近似微分方程中性層曲率表示的彎曲變形公式由高等數(shù)學(xué)知識(shí)

撓曲軸微分方程

（推廣到非純彎）（純彎）第八頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日正負(fù)號(hào)確定——確定坐標(biāo)系:v向上為正,逆時(shí)針為正.方程簡(jiǎn)化小變形時(shí)：xvxv第九頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日§7-3用積分法求彎曲變形F

C、D為積分常數(shù)，它由位移邊界與連續(xù)條件確定。第十頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日邊界條件：梁截面的已知位移條件

連續(xù)條件：分段處撓曲軸應(yīng)滿(mǎn)足的連續(xù)、光滑條件連續(xù):光滑:ACDMFB$

撓曲線(xiàn)在B、C點(diǎn)連續(xù)且光滑第十一頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日

可動(dòng)鉸:自由端：無(wú)位移邊界條件固定端:

連續(xù)條件：邊界條件：ABCDFE例1：寫(xiě)出梁的撓曲軸方程的邊界條件和連續(xù)條件第十二頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日例2：已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡(jiǎn)支梁在均布載荷q作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線(xiàn)方程，并確定max和vmax。l第十三頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日l(shuí)xxy解：由邊界條件：得：第十四頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日l(shuí)xxy梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線(xiàn)方程分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：第十五頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日例3：已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示懸臂梁在集中力

P作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線(xiàn)方程，并確定max

和vmax。xyABPlx解：由邊界條件：得：第十六頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日xyABPlx梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線(xiàn)方程分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：第十七頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日xy例4：已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡(jiǎn)支梁在集中力P作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線(xiàn)方程，并確定max

和vmax

。ABPCx第十八頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日xy解：AC段:ABPCx由對(duì)稱(chēng)條件：由邊界條件：得：得：第十九頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日xyABPCxAC段梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線(xiàn)方程分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：第二十頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日畫(huà)撓曲線(xiàn)的大致形狀A(yù)DBC+_Q+MF

根據(jù)彎矩圖定凹凸性，F(xiàn)

彎矩圖過(guò)零點(diǎn)處為拐點(diǎn)，F(xiàn)

支座限定支座處的位移。凹凸凹直線(xiàn)大致形狀第二十一頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日§7-4用疊加法求彎曲變形一、用疊加法計(jì)算梁的變形

當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，各個(gè)載荷所引起的變形是各自獨(dú)立的，互不影響。若計(jì)算幾個(gè)載荷共同作用下在某截面上引起的變形，則可分別計(jì)算各個(gè)載荷單獨(dú)作用下的變形，然后疊加。

在材料服從胡克定律、且變形很小的前提下,載荷與它所引起的變形成線(xiàn)性關(guān)系。第二十二頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日MP例5：用疊加法求vC、A、

B。第二十三頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日PM第二十四頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日PM第二十五頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日例6：若圖示梁B端的轉(zhuǎn)角B=0，則力偶矩

M等于多少？PMABaCaMABCPABC解：第二十六頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日例7:求圖示外伸梁C點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角。僅考慮BC段變形(剛化AB,可視BC為懸臂梁)ABC靜定梁或剛架的任一橫截面的總位移，等于各梁段單獨(dú)變形(其余梁段剛化)在該截面引起的位移的代數(shù)和或矢量和ABC第二十七頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日ABCABC僅考慮AB段變形(剛化BC)ABCqaqa2/2第二十八頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日例8：已知E

為常數(shù)，I2=2I1，求WC，C。FABC第二十九頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日FABC剛化AB段：ABCF僅考慮BC段變形：剛化BC段：F僅考慮AB段變形：第三十頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日FABCABCFF第三十一頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日FABCEFABCEFABCEFABC對(duì)稱(chēng)性在變形分析中的應(yīng)用F/2CFB例9：已知E

為常數(shù)，I2=2I1，求WC，B。第三十二頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日例10：利用對(duì)稱(chēng)性求下面梁中點(diǎn)撓度與轉(zhuǎn)角

反對(duì)稱(chēng),撓度為0(彎矩為0,拐點(diǎn))對(duì)稱(chēng),轉(zhuǎn)角為0qACBBACq/2ACq/2第三十三頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日反對(duì)稱(chēng),撓度為0(彎矩為0,拐點(diǎn))ACq/2Cq/2第三十四頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日二、梁的剛度計(jì)算剛度條件：[v]、[]

是構(gòu)件的許可撓度和轉(zhuǎn)角，它們決定于構(gòu)件正常工作時(shí)的要求。第三十五頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日CL9TU40例11：圖示工字鋼梁，l=8m，

Iz=2370cm4,Wz=237cm3，[v]=l／500，E=200GPa，[]=100MPa。試根據(jù)梁的剛度條件，確定梁的許可載荷[P]，并校核強(qiáng)度。PzI20a第三十六頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日解：由剛度條件:因此滿(mǎn)足強(qiáng)度要求第三十七頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日§7-5用變形比較法解靜不定梁靜不定度與多余約束多余約束

凡是多余維持平衡所必須的約束多余反力

與多余約束相應(yīng)的支反力或支力偶矩靜不定度

＝支反力（力偶）數(shù)－有效平衡方程數(shù)靜不定度＝多余約束數(shù)5-3=2度靜不定6-3

=

3度靜不定第三十八頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日相當(dāng)系統(tǒng)：受力與原靜不定梁相同的靜定梁，相當(dāng)系統(tǒng)的選擇不是唯一的。相當(dāng)系統(tǒng)1相當(dāng)系統(tǒng)2相當(dāng)系統(tǒng)qABAFBqABABMA第三十九頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日總結(jié)：分析方法與分析步驟1、判斷靜不定度（確定多余約束數(shù)）；2、解除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)；3、列出多余約束處的變形協(xié)調(diào)條件(位移邊界條件)；4、結(jié)合平衡方程，求多余支反力。解除多余約束，代之以支反力；分析相當(dāng)系統(tǒng)，使多余約束點(diǎn)處滿(mǎn)足位移邊界條件F

靜定基相當(dāng)系統(tǒng)不唯一，一般選擇求解起來(lái)最簡(jiǎn)單的一種。方法：步驟：第四十頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日AB靜定基:相當(dāng)系統(tǒng)：AB靜定基與相當(dāng)系統(tǒng)的選?。簈ABFBqABABMA第四十一頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日例12：求圖示梁的支反力。qABFBqAB解：解除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)。2.建立變形協(xié)調(diào)條件3.聯(lián)立求解第四十二頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日qAB解2：解除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)。2.建立變形協(xié)調(diào)條件3.聯(lián)立求解ABMA第四十三頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日例13：為了提高懸臂梁AB的強(qiáng)度和剛度，用短梁CD加固。設(shè)二梁EI相同，試求：

(1)二梁接觸處的壓力；

(2)加固前后AB梁最大彎矩的比值；

(3)加固前后B點(diǎn)撓度的比值。aaABCDP第四十四頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日ABCDPFD解：(1)變形協(xié)調(diào)條件第四十五頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日解：(2)加固前后AB梁的最大彎矩ABPPABFD第四十六頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日解：(3)加固前后B點(diǎn)撓度ABPPABFD第四十七頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日ABAB存在裝配誤差的靜不定問(wèn)題分析第四十八頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日例:直徑為d

的圓截面梁,支座B

下沉，max=?AB解：第四十九頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日§7-6提高彎曲剛度的措施依據(jù)對(duì)比強(qiáng)度問(wèn)題或讓材料遠(yuǎn)離截面中性軸，例如例如工字形與盒形薄壁截面與梁的合理強(qiáng)度設(shè)計(jì)相似點(diǎn)

與的比較合理安排約束與加載方式（分散載荷等）第五十頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日合理安排約束與加載方式lqqFq=F/l第五十一頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日（1）強(qiáng)度是局部量，剛度是整體量（積分）.

輔梁、等強(qiáng)度梁是合理強(qiáng)度設(shè)計(jì)的有效手段，提高梁的剛度須整體加強(qiáng)

小孔顯著影響強(qiáng)度，但對(duì)剛度影響甚微與梁的合理強(qiáng)度設(shè)計(jì)的不同點(diǎn)第五十二頁(yè)，共五十五頁(yè)，編輯于2023年，星期日(2)強(qiáng)度與