機(jī)械工程測(cè)試第五章

機(jī)械工程測(cè)試第五章第一頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日第一節(jié)數(shù)字信號(hào)處理的基本步驟第二節(jié)信號(hào)數(shù)字化出現(xiàn)的問題第三節(jié)相關(guān)分析及其應(yīng)用第四節(jié)功率譜分析及其應(yīng)用第五節(jié)現(xiàn)代信號(hào)分析方法簡(jiǎn)介第二頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日第一節(jié)數(shù)字信號(hào)處理的基本步驟第三頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日

數(shù)字信號(hào)處理器或計(jì)算機(jī)對(duì)離散的時(shí)間序列進(jìn)行運(yùn)算處理。計(jì)算機(jī)只能處理有限長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)，所以首先要把長(zhǎng)時(shí)間的序列截?cái)啵瑢?duì)截取的數(shù)字序列有時(shí)還要人為地進(jìn)行加權(quán)(乘以窗函數(shù))以成為新的有限長(zhǎng)的序列。對(duì)數(shù)據(jù)中的奇異點(diǎn)(由于強(qiáng)干擾或信號(hào)丟失引起的數(shù)據(jù)突變)應(yīng)予以剔除。對(duì)溫漂、時(shí)漂等系統(tǒng)性干擾所引起的趨勢(shì)項(xiàng)(周期大于記錄長(zhǎng)度的頻率成分)也應(yīng)予以分離。如有必要，還可以設(shè)計(jì)專門的程序來進(jìn)行數(shù)字濾波，然后把數(shù)據(jù)按給定的程序進(jìn)行運(yùn)算，完成各種分析。運(yùn)算結(jié)果可以直接顯示或打印，若后接D/A，還可得到模擬信號(hào)。如有需要可將數(shù)字信號(hào)處理結(jié)果送人后接計(jì)算機(jī)或通過專門程序再做后續(xù)處理。第四頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日第二節(jié)信號(hào)數(shù)字化出現(xiàn)的問題一、概述第五頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日第六頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日第七頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日第八頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日第九頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日第十頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日第十一頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日

從以上過程看到，原來希望獲得模擬信號(hào)x(t)的頻域函數(shù)X(f)，由于輸入計(jì)算機(jī)的數(shù)據(jù)是序列長(zhǎng)為N的離散采樣后信號(hào)x(t)s(t)w(t)，所以計(jì)算機(jī)輸出的是X(f)p。X(f)p不是X(f)，而是用X(f)p來近似代替X(f)。處理過程中的每一個(gè)步驟：采樣、截?cái)唷FT計(jì)算都會(huì)引起失真或誤差，必須充分注意。好在工程上不僅關(guān)心有無誤差，而更重要的是了解誤差的具體數(shù)值，以及是否能以經(jīng)濟(jì)、有效的手段提取足夠精確的信息。只要概念清楚，處理得當(dāng)，就可以利用計(jì)算機(jī)有效地處理測(cè)試信號(hào)，完成在模擬信號(hào)處理技術(shù)中難以完成的工作。第十二頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日二、時(shí)域采樣、混疊和采樣定理采樣——把連續(xù)時(shí)間信號(hào)變成離散時(shí)間序列的過程。這一過程相當(dāng)于在連續(xù)時(shí)間信號(hào)上“摘取”’許多離散時(shí)刻上的信號(hào)瞬時(shí)值。在數(shù)學(xué)處理上，可看作以等時(shí)距的單位脈沖序列(稱其為采樣信號(hào))去乘連續(xù)時(shí)間信號(hào)，各采樣點(diǎn)上的瞬時(shí)值就變成脈沖序列的強(qiáng)度。以后這些強(qiáng)度值將被量化而成為相應(yīng)的數(shù)值。第十三頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日TS——采樣間隔；N——序列長(zhǎng)度，N=T/TS；fs——采樣頻率，fs=1/TS。第十四頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日若采樣間隔太小(采樣頻率高)，則對(duì)定長(zhǎng)的時(shí)間記錄來說其數(shù)字序列就很長(zhǎng)，計(jì)算工作量迅速增大；如果數(shù)字序列長(zhǎng)度一定，則只能處理很短的時(shí)間歷程，可能產(chǎn)生較大的誤差。若采樣間隔過大(采樣頻率低)，則可能丟掉有用的信息。第十五頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日傅立葉變換的卷積定理第十六頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日

注意到原頻譜X(f)是f的偶函數(shù)，并以f=0為對(duì)稱軸；現(xiàn)在新頻譜X(f)*S(f)又是以fs為周期的周期函數(shù)。因此，如有混疊現(xiàn)象出現(xiàn)，從圖中可見，混疊必定出現(xiàn)在f=fs/2左右兩側(cè)的頻率處。有時(shí)將fs/2稱為折疊頻率?？梢宰C明，任何一個(gè)大于折疊頻率的高頻成分f1都將和一個(gè)低于折疊頻率的低頻成分f2相混淆，將高頻f1誤認(rèn)為低頻f2。相當(dāng)于以折疊頻率f2/2為軸，將f1成分折疊到低頻成分f2上，它們之間的關(guān)系為：

(f1+f2)／2=fs/2

這也就是稱fs/2為折疊頻率的由來。第十七頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日不產(chǎn)生混疊的條件：a)模擬信號(hào)x(t)為帶限信號(hào)b)奈魁斯特采樣定理通常fs=（3—4）fc第十八頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日二、量化和量化誤差

量化——用有限個(gè)允許值近似地代替精確值。量化方法：截尾、舍入截尾——將二進(jìn)制數(shù)的多余位舍掉。舍入——是將二進(jìn)制數(shù)的多余位舍去或舍去后且在最低有效位上加l，這與十進(jìn)制中的四舍五入法相似。信號(hào)x(t)可能出現(xiàn)的最大值為A，量化單位為Δ

當(dāng)信號(hào)x(t)落在某一小間隔內(nèi)，經(jīng)過舍入方法而變?yōu)橛邢拗禃r(shí)，將會(huì)產(chǎn)生量化誤差e(n)量化誤差的最大值為±Δ／2，可以認(rèn)為量化誤差在(-Δ／2，Δ／2)區(qū)間各點(diǎn)出現(xiàn)的概率是相等的，其概率密度為1／Δ，均值為零。求得其標(biāo)準(zhǔn)差:

δs=0.29Δ

顯然，量化單位Δ愈大，則量化誤差愈大。對(duì)信號(hào)采集時(shí)，量化增量的大小與A／D轉(zhuǎn)換器位數(shù)有關(guān)。如：8位的A／D轉(zhuǎn)換器Δ最大為A／D轉(zhuǎn)換器允許的工作電壓幅值的1／256。第十九頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日三、截?cái)?、泄漏和窗函?shù)

信號(hào)數(shù)字化處理時(shí)，需要截?cái)嘣夹盘?hào)。從原理上講，截?cái)嗑褪菍o限長(zhǎng)的原始信號(hào)乘以時(shí)域有限寬的窗函數(shù)。第二十頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日根據(jù)傅里葉變換關(guān)系:截?cái)嗪蟮念l譜為余弦信號(hào)的頻譜與窗函數(shù)頻譜的卷積；產(chǎn)生泄漏泄漏——由原來的兩條譜線，變?yōu)橐粋€(gè)兩段連續(xù)譜。這表明原來信號(hào)和由其中截取的信號(hào)兩者的頻譜不同了。原來集中在ω0處的能量被分散到兩個(gè)較寬的頻帶中去了。

只要信號(hào)一經(jīng)截?cái)?，就不可避免地引起混疊。

減少混疊的方法：（1）增大截?cái)嚅L(zhǎng)度T；（2）采用其它的窗函數(shù)

第二十一頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日第二十二頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日窗函數(shù)的選擇：應(yīng)考慮被分析信號(hào)的性質(zhì)與處理要求

如要求精確讀出主瓣頻率，而不考慮幅值精度可選用主瓣寬度比較窄而便于分辨的矩形窗，例如測(cè)量物體的自振頻率等；

如分析窄帶信號(hào)，且有較強(qiáng)的干擾噪聲應(yīng)選用旁瓣幅度小的窗函數(shù)，如漢寧窗、三角窗等；

如隨時(shí)間按指數(shù)衰減的函數(shù)可采用指數(shù)窗來提高信噪比

第二十三頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日四、頻域采樣、時(shí)域周期延拓和柵欄效應(yīng)

經(jīng)過時(shí)域采樣和截?cái)嗪?，信?hào)的頻譜在頻域內(nèi)還是連續(xù)的。如果要使之?dāng)?shù)字化頻率離散化，實(shí)行頻域采樣

頻域采樣與時(shí)域采樣相似，在頻域中用脈沖序列D(f)乘信號(hào)的頻譜函數(shù)，在時(shí)域里，其結(jié)果則是將信號(hào)平移至各脈沖坐標(biāo)位置重新構(gòu)圖，從而相當(dāng)于在時(shí)域中將窗內(nèi)的信號(hào)波形在窗外進(jìn)行周期延拓。對(duì)一函數(shù)實(shí)行采樣，即是“摘取”采樣點(diǎn)上對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。其效果有如透過柵欄的縫隙觀看外景一樣，只有落在縫隙前的少數(shù)景象被看到，其余景象都被柵欄擋住，視為零。這種現(xiàn)象被稱為柵欄效應(yīng)。不管是時(shí)域采樣還是頻域采樣，都有相應(yīng)的柵欄效應(yīng)。只不過時(shí)域采樣如滿足采樣定理要求，柵欄效應(yīng)不會(huì)有什么影響。而頻域采樣的柵欄效應(yīng)則影響較大，“擋住”或丟失的頻率成分有可能是重要的或具有特征的成分，以致于整個(gè)處理失去意義。第二十四頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日五、頻率分辨力、整周期截?cái)?/p>

頻率采樣間隙Δf也是頻率分辨力的指標(biāo)此間隔越小，頻率分辨力越高，被“擋住”的頻率成分越少在利用DFT(離散傅利葉變換)將有限時(shí)間序列變換成相應(yīng)的頻譜序列的情況下，Δf和分析的時(shí)間信號(hào)長(zhǎng)度T的關(guān)系是:

Δf=fs/N=1/T

(7-14)

這種關(guān)系是DFT算法固有的特征。這種關(guān)系往往加劇頻率分辨力和計(jì)算工作量的矛盾。

根據(jù)采樣定理，若所感興趣的最高頻率為fh，最低采樣頻率

fs應(yīng)大于2fh。提高頻率分辨力就必須增加數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)N，從而急劇地增加計(jì)算工作量。

第二十五頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日

兩條途徑:(1)在DFT的基礎(chǔ)上，采用“頻率細(xì)化技術(shù)(ZOOM)”，其基本思路是在處理過程中只提高感興趣的局部頻段中的頻率分辨力，以此來減少計(jì)算工作量。

(2)改用其他把時(shí)域序列變換成頻譜序列的方法

在分析簡(jiǎn)諧信號(hào)的場(chǎng)合下，需要了解某特定頻率f0的譜值，希望DFT譜線落在f0上。單純減小Δf，并不一定會(huì)使譜線落在頻率f0上。從DFT的原理來看，譜線落在f0處的條件是：

f0／Δf=整數(shù)

考慮到Δf是分析時(shí)長(zhǎng)T的倒數(shù)，簡(jiǎn)諧信號(hào)的周期T0是其頻率f0的倒數(shù)，因此只有截取的信號(hào)長(zhǎng)度T正好等于信號(hào)周期的整數(shù)倍時(shí)，才可能使分析譜線落在簡(jiǎn)諧信號(hào)的頻率上，才能獲得準(zhǔn)確的頻譜。顯然這個(gè)結(jié)論適用于所有周期信號(hào)。第二十六頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日

因此，對(duì)周期信號(hào)實(shí)行整周期截?cái)嗍谦@取準(zhǔn)確頻譜的先決條件。

從概念來說，DFT把時(shí)窗內(nèi)信號(hào)向外周期延拓。

若事先按整周期截?cái)嘈盘?hào)，則延拓后的信號(hào)將和原信號(hào)完全吻合，接合處無任何畸變。

反之，延拓后將在t=kT交接處出現(xiàn)間斷點(diǎn)，波形和頻譜都發(fā)生畸變。其中k為某個(gè)整數(shù)。第二十七頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日第三節(jié)相關(guān)分析及其應(yīng)用在測(cè)試技術(shù)領(lǐng)域中，無論分析兩個(gè)隨機(jī)變量之間的關(guān)系，還是分析兩個(gè)信號(hào)或一個(gè)信號(hào)在一定時(shí)移前后之間的關(guān)系，都需要應(yīng)用相關(guān)分析。主要內(nèi)容：相關(guān)和相關(guān)系數(shù)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)的估計(jì)

第二十八頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日1．相關(guān)和相關(guān)系數(shù)相關(guān)——當(dāng)兩個(gè)隨機(jī)變量之間具有某種內(nèi)在關(guān)系時(shí)，隨著某一個(gè)變量數(shù)值的確定，另一變量卻可能取許多不同值，但取值有一定的概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律，這時(shí)稱兩個(gè)隨機(jī)變量存在著相關(guān)關(guān)系。第二十九頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日相關(guān)系數(shù)——衡量?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量之間相關(guān)程度大小的量被稱為相關(guān)系數(shù)。第三十頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日分析表明，│ρxy│≤1當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)分布愈接近于一條直線時(shí)，ρxy的絕對(duì)值愈接近1，x和y的線性相關(guān)程度愈好，將這樣的數(shù)據(jù)回歸成直線才愈有意義。ρxy的正負(fù)號(hào)則是表示一變量隨另一變量的增加而增加或減小。

當(dāng)ρxy接近于零，則可認(rèn)為x、y兩變量之間完全無關(guān)，但仍可能存在著某種非線性的相關(guān)關(guān)系甚至函數(shù)關(guān)系。

第三十一頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日二、信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)第三十二頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日第三十三頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日對(duì)各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)信號(hào)及功率信號(hào)可定義自相關(guān)函數(shù)Rx(τ)為第三十四頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日自相關(guān)函數(shù)具有的性質(zhì)第三十五頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日1）由式（5——14）有第三十六頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日第三十七頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日第三十八頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日5)周期函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)仍為同頻率的周期函數(shù)，其幅值與原周期信號(hào)的幅值有關(guān)，而丟失了原信號(hào)的相位信息。第三十九頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日

例5.1求正弦函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)，初始相角φ為一隨機(jī)變量。解:此正弦函數(shù)是一個(gè)零均值的各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程，其各種平均值可以用一個(gè)周期內(nèi)的平均值表示。該正弦函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)為第四十頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日可見正弦函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)是一個(gè)余弦函數(shù)，在τ=0時(shí)具有最大值，但它不隨τ的增加而衰減至零。它保留了原正弦信號(hào)的幅值和頻率信息，而丟失了初始相位信息。第四十一頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日第四十二頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日?qǐng)D是某一機(jī)械加工表面粗糙度的波形，經(jīng)自相關(guān)分析后所得到的自相關(guān)圖呈現(xiàn)出周期性。這表明造成表面粗糙度的原因中包含有某種周期因素。從自相關(guān)圖能確定該周期因素的頻率，從而可以進(jìn)一步分析其原因。第四十三頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日三、信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)

定義：第四十四頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日互相關(guān)函數(shù)具有的性質(zhì)1）當(dāng)τ=0時(shí)，Rxy(τ)不一定出現(xiàn)最大值，而在τ大于零的某處互相關(guān)函數(shù)出現(xiàn)最大值。2）平穩(wěn)隨機(jī)過程的Rxy(τ)是非奇非偶函數(shù)。第四十五頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日3）當(dāng)τ→∞時(shí)，有兩種情況。3-1)當(dāng)兩隨機(jī)信號(hào)不含有相同頻率的周期成分時(shí)，則兩隨機(jī)信號(hào)不相關(guān)，這時(shí)，Rxy(τ)→uxuy。3-2)當(dāng)兩隨機(jī)信號(hào)含有相同頻率的周期成分時(shí)，則兩隨機(jī)信號(hào)具有某種程度的相關(guān)性，表現(xiàn)為Rxy(τ)具有周期分量，且該分量的頻率與當(dāng)兩隨機(jī)信號(hào)所含的周期分量的頻率相同。第四十六頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日4)兩個(gè)均值為零具有相同頻率的周期信號(hào)，其互相關(guān)函數(shù)中保留了原兩信號(hào)的頻率、幅值及相位信息。第四十七頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日5)如果隨機(jī)信號(hào)x(t)和y(t)均為幾個(gè)分量疊加而成則其互相關(guān)函數(shù)為組成它們各個(gè)分量?jī)蓛芍g互相關(guān)之和。

推論：如果隨機(jī)信號(hào)x(t)為幾個(gè)分量疊加而成則其自相關(guān)函數(shù)為組成它們各個(gè)分量的自相關(guān)及它們兩兩之間互相關(guān)之和。第四十八頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日6）自相關(guān)函數(shù)的范圍第四十九頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日5)例題例5-2設(shè)有兩個(gè)周期信號(hào)x(t)、y(t)由此例可見：兩個(gè)均值為零且具有相同頻率的周期信號(hào)，其互相關(guān)函數(shù)中保留了這兩個(gè)信號(hào)的圓頻率ω、對(duì)應(yīng)的幅值以及相位差值φ的信息。第五十頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日例5-3設(shè)有兩個(gè)周期信號(hào)x(t)、y(t)第五十一頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日例5-2和例5-3是自相關(guān)函數(shù)的一個(gè)重要特性：簡(jiǎn)稱為：同頻相關(guān)，不同頻不相關(guān)相關(guān)濾波就是利用這個(gè)原理第五十二頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日4)互相關(guān)函數(shù)的應(yīng)用互相關(guān)函數(shù)可在在噪聲背景下提取有用信息的一個(gè)非常有效的手段。如果我們對(duì)一個(gè)線性系統(tǒng)(例如某個(gè)部件、結(jié)構(gòu)或某臺(tái)機(jī)床)激振，所測(cè)得的振動(dòng)信號(hào)中常常含有大量的噪聲干擾。根據(jù)線性系統(tǒng)的頻率保持性，只有和激振頻率相同的成分才可能是由激振而引起的響應(yīng)，其他成分均是干擾。因此只要將激振信號(hào)和所測(cè)得的響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行互相關(guān)(不必用時(shí)移，τ=0)就可以得到由激振而引起的響應(yīng)信號(hào)幅值和相位差，消除了噪聲干擾的影響。這種應(yīng)用相關(guān)分析原理來消除信號(hào)中噪聲干擾、提取有用信息的處理方法叫做相關(guān)濾波。它是利用互相關(guān)函數(shù)同頻相關(guān)、不同頻不相關(guān)的性質(zhì)來達(dá)到濾波效果的。第五十三頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日V=d/τd第五十四頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日S=1/2vτm第五十五頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日對(duì)能量有限信號(hào)，有第五十六頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日四、相關(guān)函數(shù)的估計(jì)第五十七頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日使模擬信號(hào)不失真地沿時(shí)軸平移是一件困難的工作。因此，模擬相關(guān)處理技術(shù)只適用于幾種特定信號(hào)(如正弦信號(hào))。在數(shù)字信號(hào)處理中，信號(hào)時(shí)序的增減就表示它沿時(shí)間軸平移，是一件容易做到的事。所以實(shí)際上相關(guān)處理都是用數(shù)字技術(shù)來完成的。對(duì)于有限個(gè)序列點(diǎn)N的數(shù)字信號(hào)的相關(guān)函數(shù)估計(jì)，有第五十八頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日第四節(jié)功率譜分析及其應(yīng)用時(shí)域中的相關(guān)分析為在噪聲背景下提取有用信息提供了途徑。功率譜分析則從頻域提供相關(guān)技術(shù)的信息，它是研究平穩(wěn)隨機(jī)過程的重要方法。自功譜密度函數(shù)互譜密度函數(shù)第五十九頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日一、自功譜密度函數(shù)(1)定義及其物理意義假定x(t)是零均值的隨機(jī)過程，即ux=0，又假定x(t)中沒有周期分量，那么當(dāng)τ→∞，Rx(τ)→0。這樣，自相關(guān)函數(shù)Rx(τ)可滿足傅里葉變換的條件。可得到Rx(τ)的傅里葉變換Sx(f)

第六十頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日定義S(f)為x(t)的自功率譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱自譜或自功率譜。由于Sx(f)和Rx(τ)之間是傅里葉變換對(duì)的關(guān)系，兩者是唯一對(duì)應(yīng)的，Sx(f)中包含著Rx(τ)的全部信息。因?yàn)镽x(τ)為實(shí)偶函數(shù)，Sx(f)亦為實(shí)偶函數(shù)。由此常用在f=(0～∞)范圍內(nèi)Gx(f)=Sx(f)來表示信號(hào)的全部功率譜，并把Gx(f)稱為x(t)信號(hào)的單邊功率譜右圖。第六十一頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日若τ=0，根據(jù)自相關(guān)函數(shù)Rx(τ)和自功率譜密度函數(shù)Sx(f)的定義，可得到

可見Sx(f)曲線和頻率軸所包圍的面積就是信號(hào)的平均功率，Sx(f)就是信號(hào)的功率密度沿頻率軸的分布，故稱Sx(f)為自功率譜密度函數(shù)——物理意義第六十二頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日2、巴塞伐爾定理巴塞伐爾定理——在時(shí)域中計(jì)算的信號(hào)總能量，等于在頻域中計(jì)算的信號(hào)總能量，這就是巴塞伐爾定理，即

此式又叫做能量等式。這個(gè)定理可以用傅里葉變換的卷積公式導(dǎo)出。

第六十三頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日第六十四頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日第六十五頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日3、功率譜的估計(jì)無法按式(5—31)來計(jì)算隨機(jī)過程的功率譜，只能用有限長(zhǎng)度了的樣本記錄來計(jì)算樣本功率譜，并以此作為信號(hào)功率譜的初步估計(jì)值。第六十六頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日對(duì)于數(shù)字信號(hào)，功率譜的初步估計(jì)為：也就是對(duì)離散的數(shù)字信號(hào)序列{x(n)}進(jìn)行FTT運(yùn)算，取其模的平方，再除以N(或乘以2／N)，便可得信號(hào)的功率譜初步估計(jì)。這種計(jì)算功率譜估計(jì)的方法稱為周期圖法。它也是一種最簡(jiǎn)單、常用的功率譜估計(jì)算法。第六十七頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日可以證明：功率譜的初步估計(jì)不是無偏估計(jì)，估計(jì)的方差為在大多數(shù)的應(yīng)用場(chǎng)合中，如此大的隨機(jī)誤差是無法接受的，這樣的估計(jì)值自然是不能用的。這也就是上述功率譜估計(jì)使用“～”符號(hào)而不是“＾”符號(hào)的原因。第六十八頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日為了減小隨機(jī)誤差，需要對(duì)功率譜估計(jì)進(jìn)行平滑處理。最簡(jiǎn)單且常用的平滑方法是“分段平均”。這種方法是將原來樣本記錄長(zhǎng)度了總分成q段，每段時(shí)長(zhǎng)T=T總／q。第六十九頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日

可見，所分的段數(shù)q愈多，估計(jì)方差愈小。但是，當(dāng)原始信號(hào)的長(zhǎng)度一定時(shí)，所分的段數(shù)q愈多，則每段的樣本記錄愈短，頻率分辨率會(huì)降低，并增大偏度誤差。通常應(yīng)先根據(jù)頻率分辨率的指標(biāo)Δf，選定足夠的每段分析長(zhǎng)度T，然后根據(jù)允許的方差確定分段數(shù)q和記錄總長(zhǎng)T總。為進(jìn)一步增大平滑效果，可使相鄰各段之間重疊，以便在同樣T總之下增加段數(shù)。實(shí)踐表明，相鄰兩段重疊50％者效果最佳。譜分析是信號(hào)分析與處理的重要內(nèi)容。周期圖法屬于經(jīng)典的譜估計(jì)法，是建立在FFT的基礎(chǔ)上的，計(jì)算效率很高，適用于觀測(cè)數(shù)據(jù)較長(zhǎng)的場(chǎng)合。這種場(chǎng)合有利于發(fā)揮計(jì)算效率高的優(yōu)點(diǎn)又能得到足夠的譜估計(jì)精度。對(duì)短記錄數(shù)據(jù)或瞬變信號(hào)，此種譜估計(jì)方法無能為力，可以選用其他方法。第七十頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日4、應(yīng)用自功譜密度函數(shù)的應(yīng)用：(Ⅰ)更明顯地反應(yīng)出信號(hào)的頻率結(jié)構(gòu)；(Ⅱ)更準(zhǔn)確地獲得線性系統(tǒng)的幅頻特性；(Ⅲ)有效地檢測(cè)出信號(hào)中有無周期成分。第七十一頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日(Ⅰ)更明顯地反應(yīng)出信號(hào)的頻率結(jié)構(gòu)第七十二頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日(Ⅱ)更準(zhǔn)確地獲得線性系統(tǒng)的幅頻特性第七十三頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日(Ⅲ)有效地檢測(cè)出信號(hào)中有無周期成分周期信號(hào)的頻譜是脈沖函數(shù)，在某特定頻率上的能量是無限的。但是在實(shí)際處理時(shí)，用矩形窗函數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行截?cái)?，這相當(dāng)于在頻域用矩形窗函數(shù)的頻譜sinc函數(shù)和周期信號(hào)的頻譜δ函數(shù)實(shí)行卷積，因此截?cái)嗪蟮闹芷诤瘮?shù)的頻譜已不再是脈沖函數(shù)，原來為無限大的譜線高度變成有限長(zhǎng)，譜線寬度由無限小變成有一定寬度。所以周期成分在實(shí)測(cè)的功率譜密度圖形中以陡峭有限峰值的形態(tài)出現(xiàn)。第七十四頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日二、互譜密度函數(shù)如果互相關(guān)函數(shù)滿足傅立葉變換的條件（無窮區(qū)間內(nèi)絕對(duì)可積的條件），則定義互相關(guān)函數(shù)是并非偶函數(shù)，因此互譜密度函數(shù)具有虛、實(shí)兩部分。同樣，互譜密度函數(shù)保留了互相關(guān)函數(shù)中的全部信息。

第七十五頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日互譜估計(jì)的計(jì)算式如下：第七十六頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日互譜估計(jì)的計(jì)算式如下：這樣得到的初步互譜估計(jì)的隨機(jī)誤差太大，不適合應(yīng)用要求，應(yīng)進(jìn)行平滑處理，平滑的方法與功率譜估計(jì)相同。第七十七頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日2、應(yīng)用對(duì)線性系統(tǒng)，可以證明：

故從輸入的自譜和輸入、輸出的互譜就可以直接得到系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。式(5—44)與式(5-37)不同，所得到的H(f)不僅含有幅頻特性而且含有相頻特性。這是因?yàn)榛ハ嚓P(guān)函數(shù)中包含有相位信息。第七十八頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日例：第七十九頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日第八十頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日由此可見:

利用互譜進(jìn)行分析將可排除噪聲的影響。這是這種分析方法的突出優(yōu)點(diǎn)。然而應(yīng)當(dāng)注意到，利用式(5-48)求線性系統(tǒng)的H(f)時(shí)，盡管其中的互譜Sxy(f)可不受噪聲的影響，但是輸入信號(hào)的自譜Sx(f)仍然無法排除輸入端測(cè)量噪聲的影響，從而形成測(cè)量的誤差?！霸诰€測(cè)試”為了測(cè)試系統(tǒng)的動(dòng)特性，有時(shí)人們故意給正在運(yùn)行的系統(tǒng)以特定的已知擾動(dòng)——輸入z(t)。從式(5-46)可以看出，只要z(t))和其他各輸入量無關(guān)，在測(cè)量sxy(f)和x(f)后就可以計(jì)算得到(f)。這種在被測(cè)系統(tǒng)正常運(yùn)行的同時(shí)對(duì)它進(jìn)行測(cè)試，稱為“在線測(cè)試”。第八十一頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日3、相干函數(shù)相干——評(píng)價(jià)系統(tǒng)的輸入信號(hào)和輸出信號(hào)之間的因果性，即輸出信號(hào)的功率譜中有多少是輸入量所引起的響應(yīng)。

第八十二頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日相干函數(shù)為零，表示輸出信號(hào)與輸入信號(hào)不相干

當(dāng)相干函數(shù)為1時(shí)，表示輸出信號(hào)與輸入信號(hào)完全相干，系統(tǒng)不受干擾而且系統(tǒng)是線性的

相干函數(shù)在0～1之間，則表明有如下三種可能：Ⅰ)測(cè)試中有外界噪聲干擾；Ⅱ)輸出y(t)是輸入x(t)和其它輸入的綜合輸出；Ⅲ)聯(lián)系x(t)和y(t)的系統(tǒng)是非線性的。

第八十三頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日例5-4圖5—23是船用柴油機(jī)潤(rùn)滑油泵壓油管振動(dòng)和壓力脈沖間的相干分析。潤(rùn)滑油泵轉(zhuǎn)速為n=781r／min，油泵齒輪的齒數(shù)為z=14。測(cè)得油壓脈動(dòng)信號(hào)x(t)和壓油管振動(dòng)信號(hào)y(t)。壓油管壓力脈動(dòng)的基頻為f0=182.24Hz。第八十四頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日第五節(jié)現(xiàn)代信號(hào)分析方法簡(jiǎn)介

本節(jié)簡(jiǎn)單介紹一些現(xiàn)代信號(hào)分析和處理方法，詳細(xì)內(nèi)容請(qǐng)參考有關(guān)書籍。一、功率譜估計(jì)的現(xiàn)代方法二、時(shí)頻分析三、統(tǒng)計(jì)信號(hào)處理第八十五頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日一、功率譜估計(jì)的現(xiàn)代方法1．非參數(shù)方法

(1)多窗口法(MTM)MTM方法是使用多個(gè)正交窗口以獲取相互獨(dú)立的譜估計(jì)，然后把它們合成為最終的譜估計(jì)。這種估計(jì)方法比經(jīng)典非參數(shù)譜估計(jì)法具有更大的自由度和較高的精度。(2)子空間方法子空間方法又稱為高分辨率方法。這種方法在相關(guān)矩陣特征分析或特征分解的基礎(chǔ)上，產(chǎn)生信號(hào)的頻率分量估計(jì)。如多重信號(hào)分類法(MUSIC)或特征向量法(EV)。此法檢測(cè)埋藏在噪聲中的正弦信號(hào)(特別是信噪比低時(shí))是有效的。第八十六頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日

2．參數(shù)方法參數(shù)方法是選擇一個(gè)接近實(shí)際樣本的隨機(jī)過程的模型，在此模型的基礎(chǔ)上，從觀測(cè)數(shù)據(jù)中估計(jì)出模型的參數(shù)，進(jìn)而得到一個(gè)較好的譜估計(jì)值。此方法與經(jīng)典功率譜估計(jì)方法相比，特別是對(duì)短信號(hào)，可以獲得更高的頻率分辨率。參數(shù)方法主要包括AR模型、MA模型、AR-MA模型和最小方差功率譜估計(jì)等。通過模型分析的方法來做譜估計(jì)，預(yù)先要解決的是模型的參數(shù)估計(jì)問題。第八十七頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日二、時(shí)頻分析

時(shí)域分析可以使我們了解信號(hào)隨時(shí)間變化的特征，頻域分析體現(xiàn)的是信號(hào)隨頻率變化的特征，二者都不能同時(shí)描述信號(hào)的時(shí)間和頻率特征，這時(shí)就要用到時(shí)頻分析。對(duì)于工程中存在的非平穩(wěn)信號(hào)，在不同的時(shí)刻，信號(hào)具有不同的譜特征，時(shí)頻分析是非常有效的分析方法。時(shí)頻分析的目的是建立一個(gè)時(shí)間—頻率二維函數(shù)，要求這個(gè)函數(shù)不僅能夠同時(shí)用時(shí)間和頻率描述信號(hào)的能量分布密度，還能夠體現(xiàn)信號(hào)的其他一些特征量。第八十八頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日1．短時(shí)傅立葉變換(STVT)短時(shí)傅立葉變換的基本思想：把非平穩(wěn)的長(zhǎng)信號(hào)劃分成若干段小的時(shí)間間隔，信號(hào)在每一個(gè)小的時(shí)間間隔內(nèi)可以近似為平穩(wěn)信號(hào)，用傅立葉變換分析這些信號(hào)，就可以得到在那個(gè)時(shí)間間隔的相對(duì)精確的頻率描述。短時(shí)傅立葉變換的時(shí)間間隔劃分并不是越細(xì)越好，因?yàn)閯澐志拖喈?dāng)于加窗，這會(huì)降低頻率分辨率并引起譜泄漏。由于短時(shí)傅立葉變換的基礎(chǔ)仍是傅立葉變換，雖能分析非平穩(wěn)信號(hào)，但更適合分析準(zhǔn)平穩(wěn)信號(hào)。

第八十九頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期日2．小波變換小波變換是20世紀(jì)80年代中后期發(fā)展起來的一門新興的應(yīng)用數(shù)學(xué)分支，近年來已被引入到工程應(yīng)用領(lǐng)域并得到廣泛應(yīng)用。小波變換具有多分辨特性，通過適當(dāng)?shù)剡x擇尺度因子和平移因子，可