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知識清單第21課 二次函數課前小測經典回顧中考沖刺

本節(jié)內容考綱要求考查二次函數概念、圖象、性質及應用，能根據具體問題求二次函數的解析式，二次函數的應用。廣東省近5年試題規(guī)律：二次函數是必考內容，選擇題形式一般考查二次函數的圖象與性質，解答題形式一般與三角形、四邊形等問題結合起來，難度較大，通常是壓軸題，要么以函數為背景引出動態(tài)幾何問題，要么以動態(tài)圖形為背景，滲透二次函數問題，是數形結合思想的典例。知識點一 二次函數的概念知識清單概念一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數，a≠0)的函數叫做二次函數．其中x是自變量，a、b、c分別為函數表達式的二次項系數、一次項系數和常數知識點二 二次函數的圖象和性質知識點三 拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a、b、c是常數)的位置與a，b，c的關系字母或代數式字母的符號圖象的特征aa＞0開口向上|a|越大開口越小.a＜0開口向下bb＝0對稱軸為y軸.ab＞0(b與a同號)對稱軸在y軸左側.ab＜0(b與a異號)對稱軸在y軸右側.cc＝0經過原點.c＞0與y軸正半軸相交.c＜0與y軸負半軸相交.b2－4acb2－4ac＝0與x軸有一個交點(頂點).b2－4ac＞0與x軸有兩個交點.b2－4ac＜0與x軸沒有交點.特殊關系當x＝1時，y＝a+b+c.當x＝－1時，y＝a－b+c.若a＋b＋c＞0，即當x＝1時，y＞0.若a＋b＋c＜0，即當x＝1時，y＜0.知識點四 二次函數平移規(guī)律形如y＝ax2，y＝ax2＋k，y＝a(x－h(huán))2＋k形式的函數圖象可以相互平移得到，自變量加減左右移，函數值加減上下移，簡單記為：上加下減，左加右減.知識點五 確定二次函數的解析式方法適用條件及求法一般式若已知條件是圖象上的三個點或三對自變量與函數的對應值，則可設所求二次函數解析式為y＝ax2＋bx＋c.頂點式若已知二次函數圖象的頂點坐標或對稱軸方程與最大值(最小值)，可設所求二次函數為y＝a(x－h(huán))2＋k.交點式若已知二次函數圖象與x軸的兩個交點的坐標為(x1，0)，(x2，0)，可設所求的二次函數為y＝a(x－x1)(x－x2).知識點六 二次函數與方程二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸的交點的橫坐標是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根.知識點七 二次函數的實際應用步驟(1)通過閱讀理解題意；(2)分析題目中的變量與常量，以及它們之間的關系；(3)依據數量關系或圖形的有關性質，列出函數關系式；(4)根據問題的實際意義或具體要求確定自變量的取值范圍；(5)利用二次函數的有關性質，在自變量的取值范圍內確定函數的最大(小)值；(6)檢驗結果的合理性，獲得問題的答案.1．（2015?新疆）拋物線y=（x﹣1）2+2的頂點坐標是（）A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（1，2）2．（2015?茂名）在平面直角坐標系中，下列函數的圖象經過原點的是（）A．y= B．y=﹣2x﹣3 C．y=2x2+1 D．y=5x課前小測DD3．（2015?樂山）二次函數y=﹣x2+2x+4的最大值為（）A．3 B．4 C．5 D．64．（2015?深圳）二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列說法正確的個數是（）①a＞0

②b＞0

③c＜0

④b2﹣4ac＞0A．1 B．2 C．3 D．4CB5．（2015?銅仁市）河北省趙縣的趙州橋的橋拱是近似的拋物線形，建立如圖所示的平面直角坐標系，其函數的關系式為y=﹣

x2，當水面離橋拱頂的高度DO是4m時，這時水面寬度AB為（）A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10mC經典回顧例1（2014?廣東）二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的大致圖象如圖，關于該二次函數，下列說法錯誤的是（）A．函數有最小值 B．對稱軸是直線x=C．當x＜

，y隨x的增大而減小 D．當﹣1＜x＜2時，y＞0考點一 二次函數的圖象和性質D2．（2016?齊齊哈爾）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=1，與x軸的一個交點坐標為（﹣1，0），其部分圖象如圖所示，下列結論：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的兩個根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0④當y＞0時，x的取值范圍是﹣1≤x＜3⑤當x＜0時，y隨x增大而增大，其中結論正確的個數是（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個B例2（2013?廣東）已知二次函數y=x2﹣2mx+m2﹣1．（1）當二次函數的圖象經過坐標原點O（0，0）時，求二次函數的解析式；（2）如圖，當m=2時，該拋物線與y軸交于點C，頂點為D，求C、D兩點的坐標；（3）在（2）的條件下，x軸上是否存在一點P，使得PC+PD最短？若P點存在，求出P點的坐標；若P點不存在，請說明理由．考點二 求二次函數的表達式解：（1）∵二次函數的圖象經過坐標原點O（0，0），∴m2﹣1=0，解得：m=±1，∴二次函數的解析式為：y=x2﹣2x或y=x2+2x；（2）∵m=2，∴二次函數解析式為：y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴拋物線的頂點為：D（2，﹣1），∵當x=0時，y=3，∴C點坐標為：（0，3），∴C（0，3）、D（2，﹣1）；2．（2016?大連）如圖，拋物線y=x2﹣3x+

與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，點D是直線BC下方拋物線上一點，過點D作y軸的平行線，與直線BC相交于點E（1）求直線BC的解析式；（2）當線段DE的長度最大時，求點D的坐標．例3（2016?郴州）某商店原來平均每天可銷售某種水果200千克，每千克可盈利6元，為減少庫存，經市場調查，如果這種水果每千克降價1元，則每天可所多售出20千克．（1）設每千克水果降價x元，平均每天盈利y元，試寫出y關于x的函數表達式；（2）若要平均每天盈利960元，則每千克應降價多少元？考點三 二次函數的實際應用解：（1）根據題意得：y=（200+20x）×（6﹣x）=﹣20x2﹣80x+1200．（2）當y=960時，則有960=﹣20x2﹣80x+1200，即x2+4x﹣12=0，解得：x=﹣6（舍去），或x=2．答：若要平均每天盈利960元，則每千克應降價2元．【變式3】（2016?丹東）某片果園有果樹80棵，現準備多種一些果樹提高果園產量，但是如果多種樹，那么樹之間的距離和每棵樹所受光照就會減少，單棵樹的產量隨之降低．若該果園每棵果樹產果y（千克），增種果樹x（棵），它們之間的函數關系如圖所示．（1）求y與x之間的函數關系式；（2）在投入成本最低的情況下，增種果樹多少棵時，果園可以收獲果實6750千克？（3）當增種果樹多少棵時，果園的總產量w（千克）最大？最大產量是多少？解：（1）設函數的表達式為y=kx+b.∵一次函數過點（12，74），（28，66），∴，解得，，∴該函數的表達式為y=﹣x+80，（2）根據題意，得，（﹣0.5x+80）（80+x）=6750，解得，x1=10，x2=70∵投入成本最低．∴x2=70不滿足題意，舍去．∴增種果樹10棵時，果園可以收獲果實6750千克．（3）根據題意，得w=（﹣0.5x+80）（80+x）=﹣0.5x2+40x+6400=﹣0.5（x﹣40）2+7200∵a=﹣0.5＜0，則拋物線開口向下，函數有最大值∴當x=40時，w最大值為7200千克．∴當增種果樹40棵時果園的最大產量是7200千克．例4（2016?棗莊）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=﹣1，且拋物線經過A（1，0），C（0，3）兩點，與x軸交于點B．（1）若直線y=mx+n經過B、C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸x=﹣1上找一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，求出點M的坐標；（3）設點P為拋物線的對稱軸x=﹣1上的一個動點，求使△BPC為直角三角形的點P的坐標．考點四 二次函數的綜合題解：（1）依題意得：

，解得：，∴y=﹣x2﹣2x+3∵對稱軸為x=﹣1，且拋物線經過A（1，0），∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分別代入直線y=mx+n，得

，解得：m=1，n=3，∴y=x+3；（2）設直線BC與對稱軸x=﹣1的交點為M，則此時MA+MC的值最小．把x=﹣1代入直線y=x+3得，y=2，∴M（﹣1，2），【變式4】（2016?益陽）如圖，頂點為A（

，1）的拋物線經過坐標原點O，與x軸交于點B．（1）求拋物線對應的二次函數的表達式；（2）過B作OA的平行線交y軸于點C，交拋物線于點D，求證：△OCD≌△OAB；（3）在x軸上找一點P，使得△PCD的周長最小，求出P點的坐標．一、選擇題中考沖刺1．（2016?南充）拋物線y=x2+2x+3的對稱軸是（）A．直線x=1

B．直線x=﹣1 C．直線x=﹣2 D．直線x=22．（2016?廣州）對于二次函數y=

+x﹣4，下列說法正確的是（）A．當x＞0時，y隨x的增大而增大 B．當x=2時，y有最大值﹣3C．圖象的頂點坐標為（﹣2，﹣7） D．圖象與x軸有兩個交點BB3．（2016?上海）如果將拋物線y=x2+2向下平移1個單位，那么所得新拋物線的表達式是（）A.y=（x﹣1）2+2

B.y=（x+1）2+2 C.y=x2+1

D.y=x2+34．（2016?張家界）在同一平面直角坐標系中，函數y=ax+b與y=ax2﹣bx的圖象可能是（）CC5．（2016?衢州）二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）圖象上部分點的坐標（x，y）對應值列表如下：則該函數圖象的對稱軸是（）A．直線x=﹣3

B．直線x=﹣2 C．直線x=﹣1

D．直線x=06．（2016?永州）拋物線y=x2+2x+m﹣1與x軸有兩個不同的交點，則m的取值范圍是（）A．m＜2 B．m＞2 C．0＜m≤2

D．m＜﹣2BAx…﹣3﹣2﹣101…y…﹣3﹣2﹣3﹣6﹣11…7．（2016?濱州）拋物線y=2x2﹣2

x+1與坐標軸的交點個數是（）A．0 B．1 C．2 D．38．（2016?常德）二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結論：①b＜0；②c＞0；③a+c＜b；④b2﹣4ac＞0，其中正確的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4CC二、填空題9．（2016?泰安）將拋物線y=2（x﹣1）2+2向左平移3個單位，再向下平移4個單位，那么得到的拋物線的表達式為

．10．（2016?徐州）若二次函數y=x2+2x+m的圖象與x軸沒有公共點，則m的取值范圍是

．11．（2016?河南）已知A（0，3），B（2，3）是拋物線y=﹣x2+bx+c上兩點，該拋物線的頂點坐標是

．y=2（x+2）2﹣2m＞1（1，4）12．（2015?賀州）已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，有以下結論：①abc＞0，②a﹣b+c＜0，③2a=b，④4a+2b+c＞0，⑤若點（﹣2，y1）和（﹣

，y2）在該圖象上，則y1＞y2．其中正確的結論是

（填入正確結論的序號）．②④13．（2016?大連）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于點A、B（m+2，0）與y軸相交于點C，點D在該拋物線上，坐標為（m，c），則點A的坐標是

．（﹣2，0）14．（2016?梅州）如圖，拋物線y=﹣x2+2x+3與y軸交于點C，點D（0，1），點P是拋物線上的動點．若△PCD是以CD為底的等腰三角形，則點P的坐標為

．（1+

，2）或（1﹣

，2）三、解答題15．（2016?淄博）如圖，拋物線y=ax2+2ax+1與x軸僅有一個公共點A，經過點A的直線交該拋物線于點B，交y軸于點C，且點C是線段AB的中點．（1）求這條拋物線對應的函數解析式；（2）求直線AB對應的函數解析式．解：（1）∵拋物線y=ax2+2ax+1與x軸僅有一個公共點A，∴△=4a2﹣4a=0，解得a1=0（舍去），a2=1，∴拋物線解析式為y=x2+2x+1；（2）∵y=（x+1）2，∴頂點A的坐標為（﹣1，0），∵點C是線段AB的中點，即點A與點B關于C點對稱，∴B點的橫坐標為1，當x=1時，y=x2+2x+1=1+2+1=4，則B（1，4），設直線AB的解析式為y=kx+b，得，解得k=2，b=2，∴直線AB的解析式為y=2x+2．16．（2016?黑龍江）如圖，二次函數y=（x+2）2+m的圖象與y軸交于點C，點B在拋物線上，且與點C關于拋物線的對稱軸對稱，已知一次函數y=kx+b的圖象經過該二次函數圖象上的點A（﹣1，0）及點B．（1）求二次函數與一次函數的解析式；（2）根據圖象，寫出滿足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范圍．解：（1）∵拋物線y=（x+2）2+m經過點A（﹣1，0），∴0=1+m，∴m=﹣1，∴拋物線解析式為y=（x+2）2﹣1=x2+4x+3，∴點C坐標（0，3），∵對稱軸x=﹣2，B、C關于對稱軸對稱，∴點B坐標（﹣4，3），∵y=kx+b經過點A、B，∴，解得，k=-1,b=-1.∴一次函數解析式為y=﹣x﹣1，（2）由圖象可知，寫出滿足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范圍為x＜﹣4或x＞﹣1．17．（2016?咸寧）某網店銷售某款童裝，每件售價60元，每星期可賣300件，為了促銷，該網