專題06有理數(shù)的分類與數(shù)軸

專題06有理數(shù)的分類與數(shù)軸1.知道有理數(shù)的定義；會(huì)判斷一個(gè)數(shù)是否為有理數(shù)；會(huì)對(duì)有理數(shù)進(jìn)行分類。2.能正確地畫出數(shù)軸，掌握數(shù)軸的三要素；3.能將已知數(shù)在數(shù)軸上表示出來，能指出數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的數(shù)；4.會(huì)用數(shù)軸比較兩個(gè)數(shù)的大??；初步感受數(shù)形結(jié)合的思想．【思考1】我們?cè)谛W(xué)和上一節(jié)已經(jīng)學(xué)習(xí)過那些數(shù)？這些數(shù)能否寫乘分?jǐn)?shù)的形式呢？【思考2】請(qǐng)讀出下列溫度計(jì)的讀數(shù)?！舅伎?。試畫圖表示這一情景。1.有理數(shù)的相關(guān)概念1）整數(shù)：正整數(shù)、、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)．所有的正整數(shù)組成正整數(shù)集合，所有的負(fù)整數(shù)組成負(fù)整數(shù)集合．2）分?jǐn)?shù)：正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)．有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)可以化為分?jǐn)?shù)，所以我們也把它們看成分?jǐn)?shù)．3）有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)．4）有理數(shù)的分類：（1）（2）注意：整數(shù)與分?jǐn)?shù)都是有理數(shù)的范疇，有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)；5）常用數(shù)學(xué)概念的含義1）正整數(shù)：既是正數(shù)，又是整數(shù)2）負(fù)整數(shù)：既是負(fù)數(shù)，又是整數(shù)3）正分?jǐn)?shù)：既是整數(shù)，又是分?jǐn)?shù)4）負(fù)分?jǐn)?shù)：既是負(fù)數(shù)，又是分?jǐn)?shù)5）非正數(shù)：負(fù)數(shù)和06）非負(fù)數(shù)：正數(shù)和07）非正整數(shù)：負(fù)整數(shù)和08）非負(fù)整數(shù)：正整數(shù)和02.數(shù)軸1）數(shù)軸定義：在數(shù)學(xué)中，可以用一條直線上的點(diǎn)表示數(shù)，這條直線叫做數(shù)軸．它滿足以下要求：①原點(diǎn)：在直線上任取一個(gè)點(diǎn)表示數(shù)，這個(gè)點(diǎn)叫做原點(diǎn)．原點(diǎn)是數(shù)軸的基準(zhǔn)點(diǎn)．②正方向：通常規(guī)定直線上從原點(diǎn)向右（或上）為正方向，從原點(diǎn)向左（或下）為負(fù)方向．③選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度，直線上從原點(diǎn)向右，每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度取一個(gè)點(diǎn)，依次表示，，，…；從原點(diǎn)向左，用類似的方法依次表示，，，…．原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度是數(shù)軸的三要素．2）數(shù)軸的畫法①畫一條水平的直線（一般畫水平的數(shù)軸）；②在這條直線上適當(dāng)位置取一實(shí)心點(diǎn)作為原點(diǎn)；③確定向右的方向?yàn)檎较?，用箭頭表示；④選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度作單位長(zhǎng)度，用細(xì)短線畫出，并對(duì)應(yīng)標(biāo)注各數(shù)，同時(shí)要注意同一數(shù)軸的單位長(zhǎng)度要一致．3）有理數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系①一切有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來．②數(shù)軸上的點(diǎn)并不全是有理數(shù)，如也可以在數(shù)軸上表示，但并不是有理數(shù)．③正有理數(shù)位于原點(diǎn)的右邊，負(fù)有理數(shù)位于原點(diǎn)的左邊．④與原點(diǎn)的距離是a（a>0），在數(shù)軸上可以是a（存在多解的情況）注：要確定在數(shù)軸上的具體位置，必須要距離+方向4）利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大?。涸跀?shù)軸上，右邊的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)總比左邊的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)大．因此，正數(shù)總大于零，負(fù)數(shù)總小于零，正數(shù)大于負(fù)數(shù)．考點(diǎn)1、有理數(shù)的概念辨析【解題技巧】正整數(shù)、零和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)；正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù)；整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)．例1．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下面的說法中，正確的是（

）A．正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù) B．整數(shù)和小數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)C．整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù) D．整數(shù)、零和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A.正有理數(shù)、0和負(fù)有理數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，故本選項(xiàng)正確；D.整數(shù)包括零，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的分類，熟練掌握有理數(shù)的分類方法是解題的關(guān)鍵．例2．（2022秋·山東日照·七年級(jí)?？计谀┫铝姓f法中：①0是最小的整數(shù)；②有理數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；③非負(fù)數(shù)就是正數(shù)和0；④整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)有理數(shù)定義及其分類解答即可．【詳解】沒有最小的整數(shù)，故①錯(cuò)誤；有理數(shù)包括正數(shù)、0、負(fù)數(shù)，故②錯(cuò)誤；非負(fù)數(shù)就是正數(shù)和0，故③正確；整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，故④正確；故選：C【點(diǎn)睛】本題側(cè)重考查的是有理數(shù)，掌握有理數(shù)定義及其分類是解決此題的關(guān)鍵．變式1．（2022秋·河南三門峽·七年級(jí)統(tǒng)考期中）下列說法正確的是（

）A．一個(gè)有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù)．B．正整數(shù)和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)．C．正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)．D．0是最小的整數(shù)．【答案】A【分析】依據(jù)有理數(shù)的概念和分類進(jìn)行回答即可．【詳解】解：A．一個(gè)有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù)，說法正確，故此選項(xiàng)符合題意；B．正整數(shù)和負(fù)整數(shù)和0統(tǒng)稱為整數(shù)，原說法錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；C．正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)和0統(tǒng)稱為有理數(shù)，原說法錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；D．沒有最小的整數(shù)，0是最小的自然數(shù)，原說法錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的概念和分類，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022秋·江蘇泰州·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列說法中：（1）一個(gè)整數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；（2）最小的整數(shù)是零；（3）負(fù)數(shù)中沒有最大的數(shù)；（4）自然數(shù)一定是正整數(shù)；（5）有理數(shù)包括正有理數(shù)、零和負(fù)有理數(shù)；（6）整數(shù)就是正整數(shù)和負(fù)整數(shù)；（7）零是整數(shù)但不是正數(shù)；（8）正數(shù)、負(fù)數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；（9）非負(fù)有理數(shù)是指正有理數(shù)和0．正確的個(gè)數(shù)有（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)有理數(shù)的概念和有理數(shù)的分類，正、負(fù)數(shù)依次進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：整數(shù)分為正整數(shù)，0和負(fù)整數(shù)，∴一個(gè)整數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)錯(cuò)誤，故（1）不符合題意；沒有最小的整數(shù)，故（2）不符合題意；負(fù)數(shù)中沒有最大的數(shù)，故（3）符合題意；自然數(shù)包括0，∴自然數(shù)一定是正整數(shù)錯(cuò)誤，故（4）不符合題意；有理數(shù)包括正有理數(shù)，零和負(fù)有理數(shù)，故（5）符合題意，整數(shù)包括正整數(shù)，0和負(fù)整數(shù)，故（6）不符合題意；零食整數(shù)但不是正數(shù)，故（7）符合題意；整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，故（8）不符合題意；非負(fù)有理數(shù)是指正有理數(shù)和0，故（9）符合題意，綜上所述，正確的有（3）（5）（7）（9），共4個(gè)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的概念和分類，熟練掌握有理數(shù)的分類是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)2、有理數(shù)的分類【解題技巧】正整數(shù)：像1，2，3，4等這樣的數(shù)叫作正整數(shù)；負(fù)整數(shù)：像－1，－2，－3等這樣的數(shù)叫作負(fù)整數(shù)；正分?jǐn)?shù)：像，0.24等這樣的數(shù)叫作正分?jǐn)?shù)；負(fù)分?jǐn)?shù)：像－，－3.56等這樣的數(shù)叫作負(fù)分?jǐn)?shù)；整數(shù)：正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)；分?jǐn)?shù)：正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)；有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。例1．（2023秋·河北廊坊·七年級(jí)?？计谀┫铝懈鲾?shù)：，，，0，，……，其中有理數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根據(jù)有理數(shù)的定義：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：，，，0，，……，中，，，0，是有理數(shù)，共5個(gè)；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的定義．熟練掌握整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，是解題的關(guān)鍵．例2．（2023秋·遼寧沈陽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）將下列各數(shù)填入所屬的集合中：0，，，，，3.5，0.6，，10，，正數(shù)集合：{

…}；整數(shù)集合：{

…}；分?jǐn)?shù)集合：{

…}；負(fù)整數(shù)集合：：{

…}；正分?jǐn)?shù)集合：{

…}；【答案】見解析【分析】根據(jù)正數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)的概念，即可得出答案．【詳解】正數(shù)集合：；整數(shù)集合：；分?jǐn)?shù)集合：；負(fù)整數(shù)集合：；正分?jǐn)?shù)集合：；【點(diǎn)睛】本題考查了正數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)的概念，掌握以上內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．例3．（2022秋·陜西西安·七年級(jí)校考階段練習(xí)）（1）如圖，下面兩個(gè)圈分別表示負(fù)數(shù)集合和分?jǐn)?shù)集合，請(qǐng)你把下列各數(shù)填入它所在數(shù)集的圈里．3.5，，0，，，3，，．（2）在（1）圖中兩個(gè)圈的重疊部分表示______數(shù)的集合．【答案】（1）見解析；（2）負(fù)分?jǐn)?shù)【分析】（1）根據(jù)負(fù)數(shù)和分?jǐn)?shù)的概念即可得出答案；（2）根據(jù)負(fù)數(shù)和分?jǐn)?shù)的概念即可得出答案．【詳解】（1）負(fù)數(shù)為：，，，；分?jǐn)?shù)為：3.5，，，；既是負(fù)數(shù)又是分?jǐn)?shù)的為：，；（2）在（1）圖中兩個(gè)圈的重疊部分表示負(fù)分?jǐn)?shù)．【點(diǎn)睛】本題考查了分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)的概念，熟練掌握有理數(shù)的分類是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022秋·貴州銅仁·七年級(jí)校考期中）在3.67，0，1，，，，中，非負(fù)整數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)非負(fù)整數(shù)的概念求解即可．【詳解】解：，∴在3.67，0，1，，，，中，非負(fù)整數(shù)有：0，1，，共3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了非負(fù)整數(shù)的概念，解題的關(guān)鍵是掌握非負(fù)整數(shù)的概念．非負(fù)整數(shù)包括正整數(shù)和零．變式2．（2022秋·云南昆明·七年級(jí)?？计谥校┫铝懈鲾?shù)中，既是分?jǐn)?shù)又是負(fù)數(shù)的是（

）A． B． C．0 【答案】A【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類解答即可．【詳解】解：是分?jǐn)?shù)的只有和，而是負(fù)數(shù)的是，即選項(xiàng)A符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的分類，正確掌握有理數(shù)的定義及分類是解題的關(guān)鍵．變式3．（2022秋·貴州遵義·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合內(nèi)：2，，，，，，(1)正數(shù)集合：{

…}；(2)負(fù)數(shù)集合：{

…}；(3)整數(shù)集合：{…}；(4)分?jǐn)?shù)集合：{…}；【答案】(1)2，，(2)，，(3)2，(4)，【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類方法求解即可．【詳解】（1）解：正數(shù)有：2，，，故答案為：2，，；（2）解：負(fù)數(shù)有：，，；故答案為：，，；（3）解：整數(shù)有：2，；故答案為：2，；（4）解：分?jǐn)?shù)有：，；故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的分類，熟知有理數(shù)的分類方法是解題的關(guān)鍵．變式4．（2022秋·河南周口·七年級(jí)統(tǒng)考期中）將下列各數(shù)填在相應(yīng)的圓圈里（每個(gè)數(shù)只能寫在一個(gè)對(duì)應(yīng)區(qū)域內(nèi)）：，，，，，0，，，．【答案】答案見解析【分析】先填圖中兩個(gè)圓的公共部分的數(shù)，再添兩邊的數(shù)，從而可得答案．【詳解】解：把各數(shù)分別填入如下圖：【點(diǎn)睛】本題考查的是有理數(shù)的分類，掌握“有理數(shù)的分類”是解本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)3、有理數(shù)中的新定義集合【解題技巧】所謂新定義問題，就是在題目中給出一個(gè)從未接觸過的新概念，要求我們通過認(rèn)真閱讀，現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，是近年來中考數(shù)學(xué)的新亮點(diǎn)、新題型，解決此類問題步驟如下：1）讀懂題意（最關(guān)鍵）；2）根據(jù)新定義進(jìn)行運(yùn)算、推理、遷移。常見類型有：（1）定義一種新運(yùn)算；（2）定義一種新法則。例1．（2022秋·貴州遵義·七年級(jí)校考階段練習(xí)）我們把整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為“有理數(shù)”，那為什么叫有理數(shù)呢？有理數(shù)在英語中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中國近代譯著者在翻譯時(shí)參考了這種方法，而“rational”這個(gè)詞的詞根“ratio”源于古希臘，是“比率”的意思，這個(gè)詞的意思就是整數(shù)的“比”，所謂有理數(shù)，就是可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比的形式的數(shù)．(1)對(duì)于是不是有理數(shù)呢？我們不妨設(shè)，則，即，故，即，解得，由此得：無限循環(huán)小數(shù)有理數(shù)（填“是”或“不是”）；(2)請(qǐng)仿照（1）的做法，將寫成分?jǐn)?shù)的形式（寫出過程）；(3)在中，屬于非負(fù)有理數(shù)的是．【答案】(1)是(2)(3)，0，【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的概念求解即可；（2）根據(jù)題目中給出的運(yùn)算方法；（3）根據(jù)有理數(shù)的概念求解即可．【詳解】（1）由解題過程可知，無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，故答案為：是；（2）設(shè)，則，即，故，即，解得，即；（3）在中，屬于非負(fù)有理數(shù)的是，0，，，故答案為：，0，，．【點(diǎn)睛】此題考查有理數(shù)的概念，無限循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的概念．例2.（2022?江陰市期中）把幾個(gè)數(shù)用大括號(hào)圍起來，中間用逗號(hào)斷開，如：{1，2，﹣3}，我們稱之為集合，其中的數(shù)稱其為集合的元素．如果一個(gè)集合滿足：當(dāng)有理數(shù)a是集合的元素時(shí)，有理數(shù)﹣a+10也必是這個(gè)集合的元素，這樣的集合我們稱為和諧的集合．例如集合{10，0}就是一個(gè)和諧集合．（1）請(qǐng)你判斷集合{1，2}，{﹣2，1，5，9，12}是不是和諧集合？（2）請(qǐng)你再寫出兩個(gè)和諧的集合（至少有一個(gè)集合含有三個(gè)元素）．（3）寫出所有和諧的集合中，元素個(gè)數(shù)最少的集合．【分析】（1）根據(jù)和諧集合的定義，只要判斷兩數(shù)相加是否等于10即可．（2）根據(jù)和諧集合的定義，即可寫出兩個(gè)和諧的集合（至少有一個(gè)集合含有三個(gè)元素）．（3）根據(jù)和諧集合的定義，確定元素個(gè)數(shù)最少的集合．【解答】解：（1）若a＝1，則﹣a+10＝9不在集合{1，2}內(nèi)，∴{1，2}不是和諧集合．∵-2+12＝10，1+9＝10，5+5＝10，∴{﹣2，1，5，9，12}是和諧集合．（2）根據(jù)和諧集合的定義可知a+10﹣a＝10，只要集合中兩個(gè)數(shù)之和為10即可，∵1+9＝2+8＝3+7＝4+6，∴{2，5，8}和{1，9，2，8，3，7}是和諧集合．（3）∵5+5＝10，∴要使素個(gè)數(shù)最少，則集合{5}，滿足條件．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查新定義，利用和諧集合的定義，只要確定集合元素之和等于10即可．變式1.（2022?濱江區(qū)期末）把幾個(gè)數(shù)用大括號(hào)括起來，相鄰兩個(gè)數(shù)之間用逗號(hào)隔開，如：{1，2}，{1，4，7，…}，…，我們稱之為集合，其中的每一個(gè)數(shù)稱為該集合的元素，如果一個(gè)所有元素均為有理數(shù)的集合滿足：當(dāng)有理數(shù)x是集合的一個(gè)元素時(shí)，2018﹣x也必是這個(gè)集合的元素，這樣的集合我們又稱為對(duì)稱集合，例如{2，2016}就是一個(gè)對(duì)稱集合，若一個(gè)對(duì)稱集合所有元素之和為整數(shù)M，且23117＜M＜23897，則該集合總共的元素個(gè)數(shù)是（）A．22 B．23 C．24 D．25【分析】根據(jù)題意可知對(duì)稱集合都是成對(duì)出現(xiàn)的，并且這對(duì)對(duì)應(yīng)元素的和為2018，然后通過估算即可解答本題．【解答】解：∵在對(duì)稱集合中，如果一個(gè)元素為a，則另一個(gè)元素為2018﹣a，∴對(duì)稱集合中的每一對(duì)對(duì)應(yīng)元素的和為：a+2018﹣a＝2018，2018×11＝22198，2018×11.5＝23207，2018×12＝24216，又∵一個(gè)對(duì)稱集合所有元素之和為整數(shù)M，且23117＜M＜23897，∴該集合總共的元素個(gè)數(shù)是11.5×2＝23．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)、是探究性問題，關(guān)鍵是明確什么是對(duì)稱集合，集合中的各個(gè)數(shù)都是元素，明確對(duì)稱集合中的元素個(gè)數(shù)，在此還要應(yīng)用到估算的知識(shí)．變式2.（2022?山西月考）閱讀下面文字，根據(jù)所給信息解答下面問題：把幾個(gè)數(shù)用大括號(hào)括起來，中間用逗號(hào)隔開，如：{3，4}，{﹣3，6，8，18}，其中大括號(hào)內(nèi)的數(shù)稱其為集合的元素，如果一個(gè)集合滿足：只要其中有一個(gè)元素a，使得a+12也是這個(gè)集合的元素，這樣的集合就稱為對(duì)偶集合．例如：{13，1}，因?yàn)?+12＝13，13恰好是這個(gè)集合的元素，所以{13，1}是對(duì)偶集合，例如：{12，3，0}，因?yàn)?2+0＝12，12恰好是這個(gè)集合的元素，所以{12，3，0}是對(duì)偶集合．在對(duì)偶集合中，若所有元素的和為0，則稱這個(gè)集合為完美對(duì)偶集合，例如：{﹣2，0，2}，因?yàn)椹?+2＝0，0恰好是這個(gè)集合的元素，所以{﹣2，0，2}是對(duì)偶集合，又因?yàn)椹?+0+2＝0，所以這個(gè)集合是完美對(duì)偶集合．（1）集合{﹣4，8}（填“是”或“不是”）對(duì)偶集合．（2）集合{?11【分析】（1）依據(jù)一個(gè)集合滿足：如果一個(gè)集合滿足：只要其中有一個(gè)元素a，使得a+2也是這個(gè)集合的元素，這樣的集合就稱為對(duì)偶集合，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)在對(duì)偶集合中，若所有元素的和為0，則稱這個(gè)集合為完美對(duì)偶集合，即可得到結(jié)論；【解答】解：（1）因?yàn)椹?+12＝8，所以集合{﹣4，8}是對(duì)偶集合，故答案為：是；（2）不是；理由如下：因?yàn)?112+12=10又因?yàn)?112+2+10【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了有理數(shù)，解決問題的關(guān)鍵是依據(jù)條件集合的定義進(jìn)行計(jì)算．考點(diǎn)4、數(shù)軸的三要素及其畫法【解題技巧】數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸．?dāng)?shù)軸的畫法：①在直線上任取一個(gè)點(diǎn)表示數(shù)0，這個(gè)點(diǎn)叫做原點(diǎn)，②通常規(guī)定直線上從原點(diǎn)向右為正方向，從原點(diǎn)向左為負(fù)方向；③選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度，直線上從原點(diǎn)向右，每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度取一個(gè)點(diǎn)，依次表示1，2，3，……；從原點(diǎn)向左用類似的方法依次表示-1，-2，-3，…….例1．（2023秋·廣東·七年級(jí)專題練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．有原點(diǎn)、正方向的直線是數(shù)軸 B．?dāng)?shù)軸上兩個(gè)不同的點(diǎn)可以表示同一個(gè)有理數(shù)C．有些有理數(shù)不能在數(shù)軸上表示出來 D．任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)軸的定義及意義，依次分析選項(xiàng)可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)可得，A、根據(jù)數(shù)軸的概念，有原點(diǎn)、正方向且規(guī)定了單位的直線是數(shù)軸，A錯(cuò)誤，不符合題意；B．?dāng)?shù)軸上兩個(gè)不同的點(diǎn)不可以表示同一個(gè)有理數(shù)，故選項(xiàng)B不符合題意；C．∵任意有理數(shù)都能在數(shù)軸上表示出來，故選項(xiàng)C不符合題意；D、∵任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了運(yùn)用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)的能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用以上知識(shí)．例2．（2023秋·吉林延邊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下面是四位同學(xué)畫的數(shù)軸，其中正確的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)，正方向，單位長(zhǎng)度判斷所給出的四個(gè)數(shù)軸哪個(gè)正確．【詳解】解：A、沒有原點(diǎn)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、單位長(zhǎng)度不統(tǒng)一，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、符合數(shù)軸的概念，故此選項(xiàng)正確，符合題意．D、沒有正方向，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫數(shù)軸．特別注意數(shù)軸的三要素缺一不可．變式1．（2023·河北衡水·二模）如圖，，，，中有一個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上，請(qǐng)借助直尺判斷該點(diǎn)是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)軸的定義即可解答．【詳解】解：由規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫數(shù)軸，結(jié)合圖形即可得出點(diǎn)在數(shù)軸上．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸的定義．掌握規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫數(shù)軸是解題關(guān)鍵．變式2．（2022秋·陜西榆林·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列說法：①規(guī)定了原點(diǎn)、正方向的直線是數(shù)軸；②數(shù)軸上兩個(gè)不同的點(diǎn)可以表示同一個(gè)有理數(shù)；③有理數(shù)在數(shù)軸上無法表示出來；④任何一個(gè)有理數(shù)都可以在數(shù)軸上找到與它對(duì)應(yīng)的唯一點(diǎn)其中正確的是（）A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．④【答案】D【分析】①根據(jù)數(shù)軸的定義，可判斷①，②數(shù)軸上的點(diǎn)與數(shù)的關(guān)系，可判斷②，③根據(jù)實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，可判斷③，④根據(jù)數(shù)軸與有理數(shù)的關(guān)系，可判斷④【詳解】解：①規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線是數(shù)軸，故原說法錯(cuò)誤；②數(shù)軸上兩個(gè)不同的點(diǎn)不可以表示同一個(gè)有理數(shù)，故原說法錯(cuò)誤；③有理數(shù)在數(shù)軸上可以表示出來，故原說法錯(cuò)誤；④任何一個(gè)有理數(shù)都可以在數(shù)軸上找到與它對(duì)應(yīng)的唯一點(diǎn)，說法正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)，利用了數(shù)軸與有理數(shù)的關(guān)系，數(shù)軸與無理數(shù)的關(guān)系，熟練掌握規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸是解題的關(guān)鍵．變式3．（2023秋·山西晉中·七年級(jí)統(tǒng)考期中）數(shù)學(xué)課上老師讓同學(xué)們畫出數(shù)軸，下列作圖表示數(shù)軸正確的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】判斷數(shù)軸畫得正確的標(biāo)準(zhǔn)：必須體現(xiàn)數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度．【詳解】解：A．畫出的數(shù)軸，沒有標(biāo)出原點(diǎn)，故此選項(xiàng)不符合題意；B．畫出的數(shù)軸，沒有標(biāo)出正方向，故此選項(xiàng)不符合題意；C．畫出的數(shù)軸，數(shù)的位置標(biāo)得不對(duì)，故此選項(xiàng)不符合題意D．畫出的數(shù)軸正確，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸的知識(shí)，關(guān)鍵是掌握數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度．考點(diǎn)5、用數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)的關(guān)系【解題技巧】數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)之間的關(guān)系①每個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一點(diǎn)來表示，也可以說每個(gè)有理數(shù)都對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的一點(diǎn)；②一般地，設(shè)a是一個(gè)正數(shù)，則數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)在原點(diǎn)的右邊，與原點(diǎn)的距離是a個(gè)單位長(zhǎng)度；表示-a的點(diǎn)在原點(diǎn)的左邊，與原點(diǎn)的距離是a個(gè)單位長(zhǎng)度.例1．（2023·廣西賀州·統(tǒng)考一模）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)Q所表示的數(shù)可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)數(shù)軸上Q點(diǎn)的位置確定Q的取值范圍，再根據(jù)每個(gè)選項(xiàng)中的數(shù)值進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由圖可知：點(diǎn)Q在的右邊，0的左邊，∴點(diǎn)Q表示的數(shù)大于，小于0，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)軸的特點(diǎn)，能根據(jù)數(shù)軸的特點(diǎn)確定出Q的取值范圍是解答此題的關(guān)鍵．例2．（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，將一刻度尺放在數(shù)軸上(數(shù)軸的單位長(zhǎng)度是，刻度尺上“”和“”分別對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的和，那么刻度尺上“”對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)為()A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)刻度尺上“”在原點(diǎn)的左側(cè)的位置即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意可知刻度尺上“”在原點(diǎn)的左側(cè)的位置，∴刻度尺上“”對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了在數(shù)軸上表示有理數(shù)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．例3．（2022秋·江蘇蘇州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知在紙面上有一數(shù)軸（如圖），折疊紙面．(1)若1表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合，則表示的點(diǎn)與數(shù)______表示的點(diǎn)重合；(2)若表示的點(diǎn)與3表示的點(diǎn)重合，回答以下問題：①6表示的點(diǎn)與數(shù)______表示的點(diǎn)重合；②若數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離為8（A在B的左側(cè)），且A、B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，寫出A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)是多少？【答案】(1)2(2)①；②點(diǎn)表示，點(diǎn)表示5【分析】（1）先確定折痕為原點(diǎn)，即可得結(jié)論；（2）①先確定折痕：，即可得結(jié)論；②設(shè)折痕為點(diǎn)，則，根據(jù)左邊減，右邊加可得結(jié)論．【詳解】（1）解：若1表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合，則折痕為原點(diǎn)，表示的點(diǎn)與數(shù)2表示的點(diǎn)重合；故答案為：2；（2）①若表示的點(diǎn)與3表示的點(diǎn)重合，則折痕為，∴，∴6表示的點(diǎn)與數(shù)表示的點(diǎn)重合；故答案為：；②設(shè)折痕為點(diǎn)，則，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為．【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離，掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)距離以及數(shù)軸上有理數(shù)的表示是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022秋·廣西七年級(jí)期中）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)、分別表示和，點(diǎn)在數(shù)軸上且到和的距離相等，則點(diǎn)表示的數(shù)是_____．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)軸的特點(diǎn)解答即可．【詳解】解：∵數(shù)軸上的點(diǎn)A、B分別表示1和2，點(diǎn)C在數(shù)軸上且到A和B的距離相等，∴點(diǎn)C表示的數(shù)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，熟記概念是解題關(guān)鍵．變式2．（2023秋·江西吉安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知紙面上有一數(shù)軸，折疊紙面，使表示的點(diǎn)與表示4的點(diǎn)重合，則3表示的點(diǎn)與______表示的點(diǎn)重合．【答案】【分析】先根據(jù)已知條件確定對(duì)稱點(diǎn)，然后再求出結(jié)論即可．【詳解】解：∵表示的點(diǎn)與表示4的點(diǎn)重合，∴折痕處所表示的數(shù)為：，∴3表示的點(diǎn)與數(shù)表示的點(diǎn)重合．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸上的點(diǎn)和數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，結(jié)合數(shù)軸，找到對(duì)稱中心是解決問題的關(guān)鍵．變式3．（2022秋·湖南衡陽·七年級(jí)?？计谀?shù)軸上點(diǎn)A，B，C分別表示數(shù)，m，，下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)C一定在點(diǎn)A的右邊 B．點(diǎn)C一定在點(diǎn)A的左邊C．點(diǎn)C一定在點(diǎn)B的右邊 D．點(diǎn)C一定在點(diǎn)B的左邊【答案】D【分析】由于不知道數(shù)m的數(shù)值，所以不清楚點(diǎn)A與點(diǎn)C，點(diǎn)A與點(diǎn)B的位置關(guān)系，再根據(jù)點(diǎn)B，C分別表示數(shù)m，即可判斷．【詳解】解：∵m的數(shù)值未知，∴點(diǎn)A與點(diǎn)C，點(diǎn)A與點(diǎn)B的位置關(guān)系未知，∵點(diǎn)B，C分別表示數(shù)m，，即點(diǎn)B向左移動(dòng)一個(gè)單位得到C，∴點(diǎn)C一定在點(diǎn)B的左邊，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸，掌握在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊大是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)6、利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小【解題技巧】1）正方向上，離原點(diǎn)越遠(yuǎn)，數(shù)越大；2）負(fù)方向上，離原點(diǎn)越近，數(shù)越大（負(fù)數(shù)數(shù)字越大，結(jié)果反而越?。?注：數(shù)軸從負(fù)方向向正方向，數(shù)值逐漸增大。例1．（2023秋·福建漳州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）請(qǐng)寫出一個(gè)大于且小于0的整數(shù)______．【答案】【分析】根據(jù)有理數(shù)大小比較方法解答即可．【詳解】解：∵大于且小于0的整數(shù)是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的大小比較，熟練掌握有理數(shù)大小比較的方法是解答本題的關(guān)鍵．例2．（2023秋·湖北襄陽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）點(diǎn)A、B在數(shù)軸上的位置如圖所示：(1)點(diǎn)A表示的數(shù)是___________，點(diǎn)B表示的數(shù)是___________．(2)在數(shù)軸上表示下列各數(shù)：0，，，．(3)把（1）（2）中的六個(gè)有理數(shù)用“”號(hào)連接起來【答案】(1)，；(2)見解析；(3)．【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸即可得到答案；（2）在數(shù)軸上表示出各數(shù)即可得到答案；（3）根據(jù)數(shù)軸上右邊的數(shù)大于左邊的數(shù)，即可得到答案．【詳解】（1）解：根據(jù)數(shù)軸可知，點(diǎn)A表示的數(shù)是，點(diǎn)B表示的數(shù)是，故答案為：，；（2）解：在數(shù)軸上表示各數(shù)如下所示：（3）解：各數(shù)大小關(guān)系排列如下：．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸，解題關(guān)鍵是熟練掌握用數(shù)軸表示有理數(shù)，熟記數(shù)軸上右邊的數(shù)大于左邊的數(shù)．變式1．（2023·廣西賀州·統(tǒng)考二模）已知實(shí)數(shù)m，n在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則m_______n．（填“<”、“>”或“=”）

【答案】<【分析】根據(jù)在數(shù)軸上右邊的數(shù)據(jù)大于左邊的數(shù)據(jù)即可得出答案．【詳解】解：在n的左邊，，故答案為：<．【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，正確掌握數(shù)軸上數(shù)據(jù)大小關(guān)系是解題關(guān)鍵．變式2．（2022秋·江蘇南京·七年級(jí)校考階段練習(xí)）寫出所有比大的非正整數(shù)：____________________．【答案】【分析】在數(shù)軸上表示出，根據(jù)數(shù)軸的特點(diǎn)即可得出結(jié)論．【詳解】解：由如圖所示數(shù)軸可知比大的非正整數(shù)有，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小，正確畫出數(shù)軸是解題的關(guān)鍵．變式3．（2022秋·云南楚雄·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）畫出數(shù)軸，在數(shù)軸上表示下列各數(shù)，并用“”連接．，，【答案】數(shù)軸見解析，【分析】在數(shù)軸上表示出這些數(shù)，再根據(jù)數(shù)軸上左邊的數(shù)總小于右邊的數(shù)即可得出答案．【詳解】解：如圖所示：由數(shù)軸可得：．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的關(guān)系，任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，在數(shù)軸上，原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示的是負(fù)數(shù)，原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示的是正數(shù)，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大．考點(diǎn)7、數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離【解題技巧】在數(shù)軸上，如果點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是a，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是b，則這兩個(gè)點(diǎn)的距離公式為：AB=|a-b|=|b-a|(差的絕對(duì)值)。在數(shù)軸上我們可以通過這個(gè)距離公式，利用絕對(duì)值來算點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離。在解答有關(guān)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離的題目時(shí)，最簡(jiǎn)單的方法就是利用數(shù)形結(jié)合，但是切記不要漏解，該點(diǎn)左右兩邊都要考慮到，利用絕對(duì)值進(jìn)行求解不容易漏解，但是很多同學(xué)可能會(huì)感覺到比較的復(fù)雜，但是學(xué)好絕對(duì)值后，會(huì)發(fā)現(xiàn)這種方法非常的好用，而且不需要過多的考慮。希望兩種方法同學(xué)們都能夠掌握。例1．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考一模）在數(shù)軸上表示數(shù)－1和2023的兩個(gè)點(diǎn)分別為點(diǎn)A和點(diǎn)B，則點(diǎn)A和點(diǎn)B之間的距離為（

）個(gè)單位．A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】C【分析】由有理數(shù)的減法，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式的幾何意義求出點(diǎn)A和點(diǎn)B兩點(diǎn)間的距離為2024個(gè)單位．【詳解】∵表示數(shù)－1和2023的兩個(gè)點(diǎn)分別為點(diǎn)A和點(diǎn)B，∴點(diǎn)A和點(diǎn)B之間的距離為故選：C．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離等于對(duì)應(yīng)兩數(shù)差的絕對(duì)值等知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)掌握數(shù)軸的應(yīng)用．例2．（2023·浙江·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）數(shù)軸上到數(shù)所表示的點(diǎn)的距離為7的點(diǎn)所表示的數(shù)是（

）A． B．4或 C．4或 D．或4【答案】B【分析】分兩種情況，該點(diǎn)在的左邊，該點(diǎn)在的右邊，直接計(jì)算即可．【詳解】解：當(dāng)該點(diǎn)在的左側(cè)時(shí)，表示的數(shù)為：，當(dāng)該點(diǎn)在的右側(cè)時(shí)，表示的數(shù)為：，在數(shù)軸上到的點(diǎn)的距離是7的點(diǎn)表示的數(shù)為或4，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸，解決此題的關(guān)鍵是要注意到有兩種情況，不要漏解．變式1．（2022秋·廣東廣州·七年級(jí)?？计谥校c(diǎn)A在數(shù)軸上，點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的數(shù)用表示，且點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離等于4，則a的值為（

）A．或1 B．或2 C． D．1【答案】B【分析】先求出點(diǎn)A表示的數(shù)是4或，結(jié)合題意列出方程或，求出a的值即可．【詳解】解：∵點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離等于4，∴點(diǎn)A表示的數(shù)是4或，∵點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的數(shù)用表示，∴或，解得或，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸上點(diǎn)的特征，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離的意義是解題的關(guān)鍵．變式2．（2023·河北張家口·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在數(shù)軸上從左到右依次有A，B，C三點(diǎn)，若，點(diǎn)A表示的數(shù)為a，點(diǎn)C表示的數(shù)為，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)的之間即可得出答案．【詳解】解：∵，點(diǎn)A表示的數(shù)為a，∴點(diǎn)B表示的數(shù)為，∵點(diǎn)C表示的數(shù)為，∴線段的長(zhǎng)為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)8、數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題【解題技巧】數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題是本節(jié)乃至本章的重難點(diǎn)內(nèi)容，后面我們講在專題18中重點(diǎn)介紹，本考點(diǎn)中只對(duì)數(shù)軸中點(diǎn)的簡(jiǎn)單移動(dòng)作一些基礎(chǔ)的認(rèn)識(shí)。例1．（2022秋·江蘇徐州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一個(gè)點(diǎn)從數(shù)軸上表示的點(diǎn)開始，先向左移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右移動(dòng)10個(gè)單位長(zhǎng)度，那么終點(diǎn)表示的數(shù)是（

）A． B． C．3 D．2【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)軸的特點(diǎn)向左移動(dòng)減，向右移動(dòng)加，求解即可.【詳解】解：，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸的知識(shí)是解題的關(guān)鍵.例2．（2022秋·貴州遵義·七年級(jí)校考階段練習(xí)）在數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)移動(dòng)了個(gè)單位長(zhǎng)度后到達(dá)了表示數(shù)的位置，則這個(gè)點(diǎn)原來所表示的數(shù)是（

）A．0 B．或 C．4或 D．2或【答案】D【分析】設(shè)這個(gè)點(diǎn)原來所表示的數(shù)為，根據(jù)題意可得：，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：設(shè)這個(gè)點(diǎn)原來所表示的數(shù)為，由題意得：，，，或，或，這個(gè)點(diǎn)原來所表示的數(shù)是2或，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023春·河北承德·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)是6，將點(diǎn)A沿?cái)?shù)軸向左移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)P，則點(diǎn)P表示的數(shù)可能是（

）A．0 B． D．2【答案】B【分析】判斷點(diǎn)P所在的大概位置，估計(jì)即可．【詳解】∵點(diǎn)A表示的數(shù)是6，將點(diǎn)A沿?cái)?shù)軸向左移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)P，∴點(diǎn)P在原點(diǎn)左邊，即點(diǎn)P表示的數(shù)為負(fù)數(shù)故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查本題考查的是數(shù)軸，關(guān)鍵是熟悉數(shù)軸上的點(diǎn)左減右加的知識(shí)點(diǎn)．變式2．（2023秋·四川成都·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如果點(diǎn)是數(shù)軸上表示的點(diǎn)，將點(diǎn)在數(shù)軸上向右移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度到點(diǎn)，則點(diǎn)表示的數(shù)為______．【答案】2【分析】根據(jù)向右移加，向左移減進(jìn)行求解即可．【詳解】解：點(diǎn)表示的數(shù)是，向右移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度到點(diǎn)，點(diǎn)表示的數(shù)為：．故答案為．．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸和數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離的計(jì)算．變式3．（2022秋·福建漳州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在數(shù)軸上，把原點(diǎn)記作點(diǎn)O，表示數(shù)1的點(diǎn)記作點(diǎn)A．對(duì)于數(shù)軸上任意一點(diǎn)P（不與點(diǎn)O，點(diǎn)A重合），將線段與線段的長(zhǎng)度之比定義為點(diǎn)P的特征值，記作，即，例如：當(dāng)點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)時(shí)，因?yàn)?，所以．若?shù)軸上的點(diǎn)P滿足，則的值是________．【答案】或【分析】首先分類討論P(yáng)的位置，然后根據(jù)新定義，直接代值求解即可．【詳解】因?yàn)椋訮在或處，所以，或所以或故答案為：或【點(diǎn)睛】此題考查坐標(biāo)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題，解題關(guān)鍵是分類討論可能在的位置．A級(jí)（基礎(chǔ)過關(guān)）1．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)校考階段練習(xí)）下列各數(shù)中，負(fù)有理數(shù)有（

）個(gè)，，，0，，120，，A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)負(fù)有理數(shù)的分為負(fù)整數(shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)，逐一進(jìn)行判斷即可得到答案．【詳解】解：負(fù)有理數(shù)有、、，共3個(gè)，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)分類，解題關(guān)鍵是掌握負(fù)有理數(shù)包括負(fù)整數(shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)．2．（2022秋·云南楚雄·七年級(jí)校考期末）下列說法正確的是(

)A．0不是正數(shù)，不是負(fù)數(shù)，也不是整數(shù) B．正整數(shù)與負(fù)整數(shù)包括所有的整數(shù)C．–0.6是分?jǐn)?shù)，負(fù)數(shù)，也是有理數(shù) D．沒有最小的有理數(shù)，也沒有最小的自然數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)整數(shù)，可以判斷A，B，根據(jù)有理數(shù)的意義，可以判斷C，D．【詳解】解：A，0不是正數(shù)也不是復(fù)數(shù)，0是正數(shù)，故A錯(cuò)誤；B，正整數(shù)和負(fù)整數(shù)不包括0，故B錯(cuò)誤；C，-0.6是分?jǐn)?shù)，負(fù)數(shù)，有理數(shù)，故C正確；D，0是最小的自然數(shù)，故D錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)有：正數(shù)，負(fù)數(shù)，整數(shù)，分?jǐn)?shù)，有理數(shù)，自然數(shù)的定義與特點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．3．（2023·貴州黔東南·統(tǒng)考一模）在，，，四個(gè)數(shù)中，負(fù)數(shù)有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)負(fù)號(hào)加上一個(gè)正數(shù)是負(fù)數(shù)進(jìn)行判斷即可求解．【詳解】解：在，，，四個(gè)數(shù)中，負(fù)數(shù)有，，共個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的分類，熟練掌握負(fù)數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·廣東東莞·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列7個(gè)圖中有（

）個(gè)是正確的數(shù)軸．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)軸的定義：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向，單位長(zhǎng)度的直線；然后判斷每個(gè)選項(xiàng)是否符合數(shù)軸的定義即可解決．【詳解】解：①?zèng)]有原點(diǎn)，不正確；②沒有正方向，不正確，③、⑥有原點(diǎn)，正方向，單位長(zhǎng)度，正確；④沒有單位長(zhǎng)度，不正確，⑤單位長(zhǎng)度不一致，不正確，⑦正方向標(biāo)記錯(cuò)誤，不正確故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)軸的定義，解題關(guān)鍵在于掌握數(shù)軸的三要素．5．（2022秋·江蘇連云港·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）下列說法中，錯(cuò)誤的是（

）A．?dāng)?shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)有理數(shù)B．任意一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示C．在數(shù)軸上，確定單位長(zhǎng)度時(shí)可根據(jù)需要恰當(dāng)選取【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A.數(shù)軸上有的點(diǎn)表示有理數(shù)，有的點(diǎn)不能用有理數(shù)表示，故A錯(cuò)誤，符合題意；B.任意一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，故B正確，不符合題意；C.在數(shù)軸上，確定單位長(zhǎng)度時(shí)可根據(jù)需要恰當(dāng)選取，故C正確，不符合題意；D.在數(shù)軸上，與原點(diǎn)的距離是36.8的點(diǎn)有兩個(gè)，分別為36.8、，故D正確，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握任意一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，但數(shù)軸上每一個(gè)點(diǎn)不一定能用有理數(shù)表示．6．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置比小，比大，據(jù)此即可求解．【詳解】解：依題意，數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)可能是，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)數(shù)軸比較有理數(shù)的大小，在數(shù)軸上表示有理數(shù)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·湖南永州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在數(shù)軸上與距離等于個(gè)單位的點(diǎn)所表示的數(shù)是（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】在數(shù)軸上與距離等于個(gè)單位的點(diǎn)，分為在表示的點(diǎn)的左邊和右邊兩種情況，分別求出即可．【詳解】解：設(shè)與距離等于個(gè)單位的點(diǎn)所表示的數(shù)為，由題意得：，，或，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上兩點(diǎn)距離，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解決此類題型的關(guān)鍵．8．（2022秋·河南南陽·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）點(diǎn)A，B在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．點(diǎn)A表示的數(shù)是負(fù)數(shù) B．點(diǎn)B表示的數(shù)是負(fù)數(shù)C．點(diǎn)A表示的數(shù)比點(diǎn)B表示的數(shù)大 D．點(diǎn)B表示的數(shù)比小【答案】C【分析】由數(shù)軸可得點(diǎn)A表示的數(shù)小于點(diǎn)B表示的數(shù)小于0，據(jù)此判斷即可．【詳解】由數(shù)軸可得，點(diǎn)A表示的數(shù)小于點(diǎn)B表示的數(shù)小于0，故點(diǎn)A、點(diǎn)B表示的數(shù)都是負(fù)數(shù)，都小于0，故選項(xiàng)A、B、D正確；點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，即點(diǎn)A表示的數(shù)比點(diǎn)B表示的數(shù)小，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的大小比較，解決本題的關(guān)鍵是熟記數(shù)軸上右邊的數(shù)大于左邊的數(shù)．9．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)校考階段練習(xí)）關(guān)于這個(gè)數(shù)在數(shù)軸上的點(diǎn)的位置描述，正確的是（

）A．在的左邊 B．在3的右邊 C．在原點(diǎn)與之間 D．在的左邊【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)軸的特征：左邊的點(diǎn)表示的數(shù)總比右邊的點(diǎn)表示的數(shù)要小，據(jù)此進(jìn)行判斷即可得到答案．【詳解】解：，在的左邊，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸的認(rèn)識(shí)，解題關(guān)鍵是掌握數(shù)軸特征：左邊的點(diǎn)表示的數(shù)總比右邊的點(diǎn)表示的數(shù)要?。?0．（2022秋·廣東廣州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）一個(gè)點(diǎn)，從數(shù)軸的原點(diǎn)開始，先向右移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左移動(dòng)7個(gè)單位長(zhǎng)度，這時(shí)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)是（

）A．3 B．1 C． D．【答案】C【分析】數(shù)軸上的點(diǎn)平移和其對(duì)應(yīng)的數(shù)的大小變化規(guī)律：左減右加．【詳解】解：∵原點(diǎn)右邊的數(shù)大于0，∴一個(gè)點(diǎn)從數(shù)軸上的原點(diǎn)開始，先向右移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度表示的數(shù)是5，∵原點(diǎn)左邊的數(shù)小于0，∴再向左移動(dòng)7個(gè)單位長(zhǎng)度，這時(shí)它表示的數(shù)是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上點(diǎn)的平移和數(shù)的大小變化規(guī)律，有理數(shù)的加減法運(yùn)算，要熟練掌握．11．（2023·江蘇淮安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各數(shù)中：，，0，，，，有理數(shù)有____個(gè)．【答案】5【分析】根據(jù)有理數(shù)的概念進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)，∴是有理數(shù)的有，共5個(gè)故答案為：5【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的概念，熟練掌握有理數(shù)的概念是解決本題的關(guān)鍵．12．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）把下列各數(shù)填入相應(yīng)集合的括號(hào)內(nèi)．，，，0，，13，，，，，(1)正分?jǐn)?shù)集合：{____________…}；(2)整數(shù)集合：{____________…}；(3)非負(fù)數(shù)集合：{____________…）．【答案】(1)，，；(2)0，13，，；(3)，，0，13，，．【分析】（1）根據(jù)正分?jǐn)?shù)的定義：比0大的分?jǐn)?shù)叫正分?jǐn)?shù)，正數(shù)前面常有一個(gè)符號(hào)“”，通?？梢允÷圆粚?，據(jù)此逐一進(jìn)行判斷即可得到答案；（2）根據(jù)整數(shù)的定義：整數(shù)是正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)的集合，據(jù)此逐一進(jìn)行判斷即可得到答案；（3）根據(jù)非負(fù)數(shù)的定義：正數(shù)和零總稱為非負(fù)數(shù)，據(jù)此逐一進(jìn)行判斷即可得到答案【詳解】（1）解：根據(jù)正分?jǐn)?shù)的定義，正分?jǐn)?shù)有：，，，故答案為：，，；（2）解：根據(jù)整數(shù)的定義，整數(shù)有：0，13，，，故答案為：0，13，，；（3）據(jù)非負(fù)數(shù)的定義，非負(fù)數(shù)有：，，0，13，，，故答案為：，，0，13，，．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的分類，解題關(guān)鍵是理解正分?jǐn)?shù)，整數(shù)，非負(fù)數(shù)的定義，并正確區(qū)別．13．（2022秋·四川巴中·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）把，0.3，，9，分成兩類，使兩類的數(shù)具有不同的特征，寫出你的分法．【答案】分成整數(shù)與分?jǐn)?shù)或正數(shù)與負(fù)數(shù)都可以【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類求解即可．【詳解】分成整數(shù)和分?jǐn)?shù)，即整數(shù)：，9；分?jǐn)?shù)：0.3，，；分成正數(shù)與負(fù)數(shù)，即正數(shù)：0.3，，9；負(fù)數(shù)：，．【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的分類，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的分類．14．（2022秋·廣東茂名·七年級(jí)茂名市第一中學(xué)?？计谥校┯^察數(shù)軸，回答下列問題：(1)點(diǎn)、、表示的數(shù)分別為，，，請(qǐng)?jiān)跀?shù)軸上標(biāo)出點(diǎn)、、；(2)大于并且小于的整數(shù)有哪幾個(gè)？(3)在數(shù)軸上到表示的點(diǎn)的距離等于個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)表示的數(shù)是什么？【答案】(1)見解析(2)，，，(3)或【分析】（1）在數(shù)軸上表示出，，，即可；（2）結(jié)合數(shù)軸數(shù)出符合題意的數(shù)字即可；（3）根據(jù)題意，分類討論即可求解．【詳解】（1）解：點(diǎn)、、如圖所示（2）由數(shù)軸可知大于且小于的整數(shù)有，，，；（3）在數(shù)軸上到表示的點(diǎn)的距離等于個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)有或，即在數(shù)軸上到表示的點(diǎn)的距離等于個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)有或．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸，數(shù)軸可以表示數(shù)的位置，也可以表示數(shù)的大小關(guān)系，到一個(gè)點(diǎn)距離相等的數(shù)有兩個(gè)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．15．（2023春·黑龍江哈爾濱·六年級(jí)哈爾濱市第六十九中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）先把下列各數(shù)在數(shù)軸上表示出來，再按從小到大的順序排列起來：，，2，______<______<______<______.【答案】數(shù)軸見解析；；；；【分析】先把四個(gè)數(shù)表示在數(shù)軸上，然后根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)，再比較大小即可．【詳解】解：把，，2，表示在數(shù)軸上，如圖所示：按從小到大的順序排列為：．故答案為：；；；．【點(diǎn)睛】本題主要考查了用數(shù)軸上點(diǎn)表示有理數(shù)，有理數(shù)大小比較，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握數(shù)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)．B級(jí)（能力提升）1．（2022·浙江溫州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）將一刻度尺放置在數(shù)軸上，數(shù)軸上A，B，C三點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)刻度尺上的“”，“”和“”，若點(diǎn)A，B在數(shù)軸上分別表示0，3，則點(diǎn)C在數(shù)軸上所表示的數(shù)為（

） C．4 【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)A，B在數(shù)軸上分別表示0，3，算出每厘米代表的數(shù)值，乘以即可得到答案．【詳解】解：由題意可得，∵A，B，C三點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)刻度尺上的“”，“”和“”，A，B在數(shù)軸上分別表示0，3，∴，∴C在數(shù)軸上所表示的數(shù)為：；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上數(shù)字表示，解題的關(guān)鍵是根據(jù)的長(zhǎng)度及數(shù)值得到每厘米代表的數(shù)值．2．（2023秋·湖南株洲·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在單位長(zhǎng)度為1的數(shù)軸上，若點(diǎn)A、點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離相等，則點(diǎn)C表示的數(shù)是（）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)題意確定原點(diǎn)在距離A點(diǎn)4個(gè)單位長(zhǎng)度處，再求C點(diǎn)表示的數(shù)即可．【詳解】解：∵A、B之間的距離是8個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)A，B到原點(diǎn)的距離相等，∴原點(diǎn)在距離A點(diǎn)右側(cè)4個(gè)單位長(zhǎng)度處，∴C點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè)1個(gè)單位長(zhǎng)度處，∴C點(diǎn)表示的數(shù)是1，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸上點(diǎn)的特征，能夠通過題意確定數(shù)軸的原點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在數(shù)軸上表示和5.2之間的整數(shù)有（

）．A．5個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)【答案】D【分析】畫出數(shù)軸，在數(shù)軸上找出和，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖所示，由圖可知，數(shù)軸上和之間的整數(shù)有共8個(gè)．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸，理解數(shù)軸的三要素是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·四川遂寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在，，0，，，，2，，這些數(shù)中，有理數(shù)有個(gè)，自然數(shù)有個(gè)，分?jǐn)?shù)有個(gè)，則的值為________．【答案】3【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類計(jì)算求和即可．【詳解】∵，，0，，，，2，，，∴有理數(shù)有個(gè)，自然數(shù)有個(gè)，分?jǐn)?shù)有個(gè)，∴，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的分類，熟練掌握有理數(shù)的分類是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·浙江溫州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）線段在數(shù)軸上以3單位長(zhǎng)度/每秒的速度向正方向運(yùn)動(dòng)5秒，到達(dá)（點(diǎn)A與點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)分別重合）若點(diǎn)A，對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是，8，則線段的長(zhǎng)是______單位長(zhǎng)度．【答案】5【分析】先根據(jù)題意求出點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是，根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)距離公式求出的長(zhǎng)即可得到答案．【詳解】解：∵段在數(shù)軸上以3單位長(zhǎng)度/每秒的速度向正方向運(yùn)動(dòng)5秒，到達(dá)，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是，∴點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是，∵對(duì)應(yīng)的數(shù)是8，∴，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)距離，正確求出點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·浙江紹興·七年級(jí)?？计谥校┰跀?shù)軸上，與表示的點(diǎn)的距離是2的點(diǎn)所表示的數(shù)是______.【答案】或1【分析】根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離關(guān)系及有理數(shù)加減法即可得到答案．【詳解】解：表示左邊的點(diǎn)，比小2的數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)是；表示右邊的點(diǎn)，比大2的數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)是；故答案為或1．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離關(guān)系及有理數(shù)加減法計(jì)算，解題的關(guān)鍵是分類討論．7．（2023秋·河南洛陽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）點(diǎn)A、B、C在同一條數(shù)軸上，其中點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別為、1，若，則等于______．【答案】3或7/7或3【分析】根據(jù)題意求出，分點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)和點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)兩種情況計(jì)算．【詳解】∵點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別為、1，∴，第一種情況：點(diǎn)C在外，如圖，；第二種情況：點(diǎn)C在內(nèi)，如圖，；故答案為：3或7．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸的知識(shí)，靈活運(yùn)用分情況討論思想，掌握在數(shù)軸上表示兩點(diǎn)之間的距離是解題關(guān)鍵．8．（2023秋·江西贛州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)是同一條數(shù)軸上的三個(gè)點(diǎn)，且，若點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是1，則點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是______．【答案】、1或【分析】分在左側(cè)，右側(cè)，重合，三種情況分類討論即可；【詳解】解：①當(dāng)重合時(shí)，即表示的數(shù)是1時(shí)，滿足題意；②當(dāng)不重合時(shí)，為的中點(diǎn)，在左側(cè)時(shí)：表示的數(shù)是：；在右側(cè)時(shí)：表示的數(shù)是：；綜上：點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是、1或；故答案為：、1或．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離．根據(jù)題意，正確的畫圖，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．9．（2023秋·陜西寶雞·七年級(jí)統(tǒng)考期末）點(diǎn)為數(shù)軸上表示的點(diǎn)，若將點(diǎn)沿?cái)?shù)軸一次平移一個(gè)單位，平移兩次后到達(dá)點(diǎn)，則點(diǎn)表示的數(shù)是________________．【答案】或或【分析】討論每次平移向右或向左平移即可得到答案．【詳解】解：當(dāng)兩次都向左平移時(shí)，點(diǎn)B表示的數(shù)為；當(dāng)兩次都向右平移時(shí)，點(diǎn)B表示的數(shù)為；當(dāng)?shù)谝淮蜗蛴?，第二次向左或第一次向左，第二次向右平移時(shí)，點(diǎn)B表示的數(shù)為；故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·河北秦皇島·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在一條不完整的數(shù)軸上從左向右有點(diǎn)，，，其中，．設(shè)點(diǎn)，，，所對(duì)應(yīng)數(shù)的和是．（1）若以點(diǎn)為原點(diǎn)，此時(shí)的值為___________；（2）若原點(diǎn)在圖中數(shù)軸上點(diǎn)的右邊，且，的值為___________．【答案】【分析】（1）利用數(shù)軸知識(shí)，確定原點(diǎn)后，確定點(diǎn)、分別表示的數(shù)，再求出的值；（2）利用數(shù)軸知識(shí)，先確定原點(diǎn)位置，再確定點(diǎn)，，，分別表示的數(shù)，再求出的值【詳解】（1）∵點(diǎn)為原點(diǎn)，∴，，三點(diǎn)表示的數(shù)分別為：，，，∴，故答案為：（2）∵原點(diǎn)在圖中數(shù)軸上點(diǎn)的右邊，且，∴，，三點(diǎn)表示的數(shù)分別為：，，，∴，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)軸知識(shí)．11．（2022·廣東佛山·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的圈子內(nèi)：，，，，0，【答案】見解析【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類逐項(xiàng)分析即可求解．【詳解】解：如圖所示，【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的分類，掌握有理數(shù)的分類是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋·七年級(jí)單元測(cè)試）翻折是初中階段研究的重要的圖形運(yùn)動(dòng)．翻折運(yùn)動(dòng)已知紙面上有一數(shù)軸，折疊紙面．

(1)若表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合，則表示的點(diǎn)與_____表示的點(diǎn)重合．(2)若表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合，回答以下問題：①表示的點(diǎn)與_____表示的點(diǎn)重合；②若數(shù)軸上，兩點(diǎn)之間的距離為在的左側(cè)，且折痕與①折痕相同，且、兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，則點(diǎn)表示的數(shù)是_____，點(diǎn)表示的數(shù)是_____；(3)若數(shù)軸上折疊重合的兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為，，那么數(shù)表示的點(diǎn)與數(shù)_______表示的點(diǎn)也重合．用含有，，的代數(shù)式表示【答案】(1)；(2)；，；(3)．【分析】（1）依據(jù)題意，求得折痕點(diǎn)表示的數(shù)，依據(jù)重合點(diǎn)到折痕點(diǎn)的距離相等，結(jié)合數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離為右側(cè)數(shù)減去左側(cè)數(shù)，即可求解；（2）①依據(jù)題意，求得折痕點(diǎn)表示的數(shù)，依據(jù)重合點(diǎn)到折痕點(diǎn)的距離相等，結(jié)合數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離為右側(cè)數(shù)減去左側(cè)數(shù)，即可求解；②依據(jù)題意，求得折痕點(diǎn)表示的數(shù)，依據(jù)重合點(diǎn)到折痕點(diǎn)的距離相等，結(jié)合數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離為右側(cè)數(shù)減去左側(cè)數(shù)，即可求解；（3）依據(jù)題意，求得折痕點(diǎn)表示的數(shù)，依據(jù)重合點(diǎn)到折痕點(diǎn)的距離相等，結(jié)合數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離為右側(cè)數(shù)減去左側(cè)數(shù)，即可求解；【詳解】（1）解由題意可知，表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合，則折痕為：，表示的點(diǎn)在折痕左側(cè)，且到折痕距離為，故表示的點(diǎn)關(guān)于折痕的重合點(diǎn)在折痕右側(cè)，到折痕距離為，則表示的點(diǎn)關(guān)于折痕的重合點(diǎn)表示的數(shù)為：，故答案為：；（2）①表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合，則折痕為：，表示的點(diǎn)在折痕右側(cè)，且到折痕距離為：，故表示的點(diǎn)關(guān)于折痕的重合點(diǎn)在折痕左側(cè)，到折痕距離為，則表示的點(diǎn)關(guān)于折痕的重合點(diǎn)表示的數(shù)為：，故答案為：；②，兩點(diǎn)之間的距離為，且在的左側(cè)，故在折痕左側(cè)，在折痕右側(cè)，且、到折痕的距離均為：，則點(diǎn)表示的數(shù)為：，點(diǎn)表示的數(shù)為：，故答案為：，；（3）數(shù)軸上折疊重合的兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為，，則折痕為：，當(dāng)表示的點(diǎn)在折痕左側(cè)，則表示的點(diǎn)到折痕距離為：，故表示的點(diǎn)關(guān)于折痕的重合點(diǎn)在折痕右側(cè)，到折痕距離為，則表示的點(diǎn)關(guān)于折痕的重合點(diǎn)表示的數(shù)為：，當(dāng)表示的點(diǎn)在折痕右側(cè)，則表示的點(diǎn)到折痕距離為：，故表示的點(diǎn)關(guān)于折痕的重合點(diǎn)在折痕右側(cè)，到折痕距離為，則表示的點(diǎn)關(guān)于折痕的重合點(diǎn)表示的數(shù)為：，綜上所述，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，折疊的性質(zhì)；熟練掌握折疊的性質(zhì)及數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋·浙江金華·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將一根木棒放在數(shù)軸（單位長(zhǎng)度為）上，木棒左端與數(shù)軸上的點(diǎn)重合，右端與數(shù)軸上的點(diǎn)重合．(1)若將木棒沿?cái)?shù)軸向右水平移動(dòng)，則當(dāng)它的左端移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，它的右端在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)為30；若將木棒沿?cái)?shù)軸向左水平移動(dòng)，則當(dāng)它的右端移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，它的左端在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)為3，由此可得這根木棒的長(zhǎng)為___________；(2)圖中點(diǎn)所表示的數(shù)是___________，點(diǎn)所表示的數(shù)是___________；(3)受（1）（2）的啟發(fā)，請(qǐng)借助“數(shù)軸”這個(gè)工具解決下列問題：一天，小明去問爺爺?shù)哪挲g，爺爺說：“我若是你現(xiàn)在這么大，你還要37年才出生；你若是我現(xiàn)在這么大，我就119歲啦！”求爺爺和小明的年齡．【答案】(1)(2)12；21(3)爺爺67歲，小明15歲【分析】（1）由圖象可知3倍的長(zhǎng)為，即可求得長(zhǎng)度．（2）A點(diǎn)在3的右側(cè)，距離3有9個(gè)單位長(zhǎng)度，故A點(diǎn)為12；B點(diǎn)在A的左側(cè)，距離A有9個(gè)單位長(zhǎng)度，故B點(diǎn)為21．（3）根據(jù)題意，設(shè)數(shù)軸上小木棒的A端表示小明的年齡，B端表示爺爺?shù)哪挲g，則木棒的長(zhǎng)度表示二人的年齡差，參照（1）中的方法結(jié)合已知條件即可得出．【詳解】（1）解：觀察數(shù)軸可知三根這樣長(zhǎng)的木棒長(zhǎng)為，則這根木棒的長(zhǎng)為，故答案為：；（2）解：由（1）可知這跟木棒的長(zhǎng)為，∴A點(diǎn)表示為，B點(diǎn)表示的數(shù)是，故答案為：12，21；（3）解：借助數(shù)軸，把小明和爺爺?shù)哪挲g差看做木棒，爺爺像小明這樣大時(shí)，可看做點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)A，此時(shí)點(diǎn)A向左移后所對(duì)應(yīng)的數(shù)為，∴爺爺比小明大歲，∴爺爺現(xiàn)在的年齡為歲．∴小明現(xiàn)在的年齡為歲．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸的認(rèn)識(shí)、用數(shù)軸表示數(shù)，讀懂題干及正確理解題意是解決本題的關(guān)鍵．14．（2023秋·江西宜春·七年級(jí)統(tǒng)考期末）數(shù)軸是非常重要的“數(shù)形結(jié)合”的工具之一，它揭示了數(shù)與點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)我們發(fā)現(xiàn)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離也與這兩點(diǎn)所表示的數(shù)有關(guān)系．借助數(shù)軸完成下列任務(wù)：(1)如圖，A，B，C是數(shù)軸上依次排列的三個(gè)點(diǎn)，已知．①若點(diǎn)B表示的數(shù)為2，則在數(shù)軸上點(diǎn)A表示是數(shù)為，點(diǎn)C表示是數(shù)為．②若點(diǎn)B表示的數(shù)為n，則在數(shù)軸上點(diǎn)A表示是數(shù)為，點(diǎn)C表示是數(shù)為．(2)從（1）的問題中發(fā)現(xiàn)：若點(diǎn)A、B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為a，b（且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），那么．(3)在數(shù)軸上，若點(diǎn)E、F表示的數(shù)分別為，那么．(4)若數(shù)軸上，點(diǎn)M表示的數(shù)是，求點(diǎn)N和線段的中點(diǎn)P所表示的數(shù)分別是多少？【答案】(1)①，4；②，(2)(3)5(4)點(diǎn)N表示的數(shù)為3時(shí)，點(diǎn)P表示的數(shù)為；點(diǎn)N表示的數(shù)為時(shí)，點(diǎn)P表示的數(shù)為【分析】（1）結(jié)合數(shù)軸便可填出①，總結(jié)規(guī)律得出②；（2）運(yùn)用規(guī)律，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離等于兩點(diǎn)的差的絕對(duì)值，即可得出答案；（3）兩點(diǎn)之間的距離=兩點(diǎn)的差的絕對(duì)值，即可得到答案；（4）分類討論，分為N在M右側(cè)還是左側(cè)，即可得出答案．【詳解】（1）①數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為：，點(diǎn)C表示的數(shù)為：；②數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為：，點(diǎn)C表示的數(shù)為：；故答案為，4，，；（2）∵，又∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，∴，∴，故答案為；（3），故答案為5；（4）當(dāng)N在M的右側(cè)時(shí)，點(diǎn)N表示的數(shù)為：；點(diǎn)P表示的數(shù)為：；當(dāng)N在M的左側(cè)時(shí)，點(diǎn)N表示的數(shù)為：；點(diǎn)P表示的數(shù)為：．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，及數(shù)軸上點(diǎn)所表示數(shù)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想和分類思想是本題關(guān)鍵．C級(jí)（培優(yōu)拓展）1.（2022?硚口區(qū)期中）把幾個(gè)不同的數(shù)用大括號(hào)括起來，相鄰兩個(gè)數(shù)之間用逗號(hào)隔開，如：{1，2}；{1，4，7}；…我們稱之為集合，其中的每一個(gè)數(shù)稱為該集合的元素．規(guī)定：當(dāng)整數(shù)x是集合的一個(gè)元素時(shí)，100﹣x也必是這個(gè)集合的元素，這樣的集合又稱為黃金集合，例如{﹣1，101}就是一個(gè)黃金集合．若一個(gè)黃金集合所有元素之和為整數(shù)m，且1180＜m＜1260，則該黃金集的元素的個(gè)數(shù)是（）A．23 B．24 C．24或25 D．26【分析】由黃金集合的定義，可知一個(gè)整數(shù)是x，則必有另一個(gè)整數(shù)是100﹣x，則這兩個(gè)整數(shù)的和為x+100﹣x＝100，只需判斷1180＜m＜1260內(nèi)100的個(gè)數(shù)即可求解．【解答】解：在黃金集合中一個(gè)整數(shù)是x，則必有另一個(gè)整數(shù)是100﹣x，∴兩個(gè)整數(shù)的和為x+100﹣x＝100，由題意可知，1180＜m＜1260時(shí)，100×12＝1200，100×13＝1300，1250+50=1250＜1260，且100﹣50＝50，∴這個(gè)黃金集合的個(gè)數(shù)是24或25個(gè)；故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)，新定義；理解題意，通過兩個(gè)對(duì)應(yīng)元素和的特點(diǎn)，結(jié)合m的取值范圍，進(jìn)而確定元素個(gè)數(shù)是解題關(guān)鍵．2．（2023春·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）小明在寫作業(yè)時(shí)不慎將兩滴墨水滴在數(shù)軸上，如圖所示，此時(shí)墨跡蓋住的整數(shù)共有（

）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)軸可知在和0之間的整數(shù)有3個(gè)，在0和之間的整數(shù)有2個(gè)，即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸可知：在和0之間的整數(shù)有，，，在0和之間的整數(shù)有，，共有5個(gè)整數(shù)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸，掌握用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·山東淄博·二模）如圖，數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別是和2，C是的中點(diǎn)，則點(diǎn)C所表示的數(shù)是（

）

A． B．1 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)A，B兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別是和2，利用中點(diǎn)公式求出線段的中點(diǎn)所表示的數(shù)即可．【詳解】解：∵A，B兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別是和2，∴線段的中點(diǎn)所表示的數(shù)．即點(diǎn)C所表示的數(shù)是．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸，熟記中點(diǎn)公式是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·遼寧沈陽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在數(shù)軸上有，兩點(diǎn)，，之間的距離為2，點(diǎn)與原點(diǎn)的距離為3，那么點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是______．【答案】或【分析】先據(jù)點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離為3，求出點(diǎn)A表示的數(shù)，再根據(jù)點(diǎn)A、點(diǎn)B之間距離為2，即可求出答案．【詳解】解：點(diǎn)與原點(diǎn)的距離為3，點(diǎn)A所表示的數(shù)為：3或，又A、B之間的距離為2，當(dāng)點(diǎn)A所表示的數(shù)為3時(shí)，點(diǎn)B表示的數(shù)為1或5；當(dāng)點(diǎn)A所表示的數(shù)為時(shí)，點(diǎn)B表示的數(shù)為或；綜上所述，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的數(shù)與數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，熟練掌握數(shù)軸上點(diǎn)的特征以及數(shù)軸上兩點(diǎn)距離求法，并學(xué)會(huì)用數(shù)形結(jié)合的方法是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·山西呂梁·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，數(shù)軸上有A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)為，若，則點(diǎn)B表示的數(shù)為________．【答案】或1/1或【分析】分點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)和右側(cè)兩種情況，利用數(shù)軸上兩點(diǎn)距離公式求解即可．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，∵點(diǎn)A表示的數(shù)為，，∴點(diǎn)B表示的數(shù)為；當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，∵點(diǎn)A表示的數(shù)為，，∴點(diǎn)B表示的數(shù)為；綜上所述，點(diǎn)B表示的數(shù)為或1，故答案為：或1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·四川宜賓·七年級(jí)統(tǒng)考期末）數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為和，P為數(shù)軸上一點(diǎn)，若，則點(diǎn)P表示的數(shù)是________．【答案】或【分析】分情況討論，①當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)是x，根據(jù)數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為和得，，即可得；②當(dāng)點(diǎn)P在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)是x，根據(jù)數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為和得，，即可得；分別計(jì)算并檢驗(yàn)，即可得．【詳解】解：①當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)是x，∵數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為和，∴，，∴，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意；②當(dāng)點(diǎn)P在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)是x，∵數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為和，∴，，∴，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意；綜上，點(diǎn)P表示的數(shù)是或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，解題的關(guān)鍵是分情況討論，正確計(jì)算．7．（2023秋·江蘇南通·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，A，B，C為數(shù)軸上的點(diǎn)，，點(diǎn)B為的中點(diǎn)，點(diǎn)P為數(shù)軸上的任意一點(diǎn)，則的最小值為______．【答案】6【分析】根據(jù)題意得出，然后分情況討論，作出相應(yīng)圖形求解即可．【詳解】解：∵，點(diǎn)B為的中點(diǎn)，∴，當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，如圖所示，；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖所示，；當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)A與點(diǎn)B之間時(shí)，如圖所示：；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，如圖所示，；當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)B與點(diǎn)C之間時(shí)，如圖所示：；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，如圖所示，；當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，如圖所示，；綜上可得：的最小值為6，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離及分類討論思想，理解題意，進(jìn)行分類討論是解題關(guān)鍵．8．（2023秋·河南駐馬店·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知A，B兩點(diǎn)在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)為-10，點(diǎn)B表示的數(shù)為30，點(diǎn)M以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A向右運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)N以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O向右運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)M、點(diǎn)N同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過______秒，點(diǎn)M、點(diǎn)N分別到原點(diǎn)O的距離相等．【答案】2或10【分析】設(shè)時(shí)間為t秒，表示出點(diǎn)M、點(diǎn)N所表示的數(shù)，進(jìn)而分情況表示他們到原點(diǎn)的距離，列方程求解即可．【詳解】解：經(jīng)過t秒，點(diǎn)M、點(diǎn)N分別到原點(diǎn)O的距離相等，則點(diǎn)M所表示的數(shù)為()，點(diǎn)N所表示的數(shù)為2t．①當(dāng)點(diǎn)O是M、N的中點(diǎn)時(shí)，有，解得，．②當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時(shí)，有，解得，．故或10．故答案為2或10．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸表示數(shù)的意義，用兩點(diǎn)在數(shù)軸上所表示的數(shù)，來表示兩點(diǎn)之間的距離，列方程求解即可，解題關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行轉(zhuǎn)化．9．（2022秋·山西太原·七年級(jí)山西大附中校考期末）閱讀與探究：我們把整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為“有理數(shù)”，那為什么叫有理數(shù)呢？有理數(shù)在英語中是“rationalnumber”，而“ration