學習概率論與數理統(tǒng)計lec126up

次試驗中,A發(fā)生的次數nA稱為A發(fā)生的頻數.nA稱為A發(fā)生的頻率,nfn

實例5次、50次、500次7遍觀察正面出現的次數及頻率0fn(A)

試 n序號

n

n 21232123456

fn1,fn

0

1

051205120

(3)若A1,A2,,Ak是兩兩互不相容的,

10

0 fnA1UA2ULUAkfnA1fnA2LfnAk

2

0 0 20 0 f不一定相同n較小時,f的隨機波動幅nf0.5附近擺動且逐漸穩(wěn)定于..

德nfKKfH)n的增大1nn逐漸增

1933年，數學家哥提出了概A2L

P()證明An(n),則UAn,AiAj

i即ij時，AA (i,j=1,2,…),則 P()PUAnP(Ani

P(A1A2LAm P()P()0若A1,A2L,An是兩兩互不相容的,則 (3)設A,B為兩個,且AB,P(A) P(BA)P(B)P(P(A1UA2ULUAn)P(A1)P(A2)LP(An證明An1An2L

證明

ABAU(BA). AA,ij,ijL 又(BAIAi

得P(BPAP(BP(A1UA2ULUAnPUAkPAkP(Ak 于是P(BAP(BPk k P(A1)P(A2)LP(An 又因P(BA) 故P(A) A,P(A) (6)(加 A,B證 AP(A)P() P(AUB)P(A)P(B)P(PA設A是A的對立,則P(A)1P(

證明AUBA(B A 證 QAA 且AI(BAB)PAPA)PAAP PAUBPAP(B P(A)1P( P(BAB)P(B)P(因此得PAUBPAP(BP推廣三

例1設 A,B 的概率分別為和 1U2

(1)A與B2)AB3)PAB)1P(A1)P(A2)P(A3)P(A1A2)P(A2A3P(AA)P(AAA1 12

解(1)P(BA故P(BA)P(B1nP(A

AULUA

nP(A) P(AA

i

1 i

1i P(BA)P(B)P(A)236 P(AAA)L(1)n1P(AALA (3)P(BA)P(BAB)P(B)P(ij 1 1ijk

1132 例2已知A,B滿足P(AB)P(APApQP(AB)P(AP(BP(AUB

A與A同時發(fā)生必導致A發(fā)生, PABPAB)P(AUB)1P(AUB 則PAPAPA P(A)P(B)1,P(B)1例3設P(A)a,P(B)b,P(AB)c,求P( 若A1A2A3解：P(AB)P(AB)P(A)P( P(A)P(A)P(A)P(A) P(A)[P(A)P(B)P(AP(AB)P(B)c A、B互不相容，P(A)0.6，P(AUB)0.8證明：QAA 則P(B)1P(AA1A2)P(A)P(A1A2)P(A)P(AA)P(A)P(A)P(AA

PAlnaP(B0.2,AB,求a的取值范圍P(A)0.8,P(AB)0.1,P(AB)1 P(A)P(A)

1)A發(fā)生,但BB發(fā)生,AA,B A,B同時發(fā)生時 C也發(fā)生,則有 P(C)P(AP(C)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)

. 2.e0.2a(1)0.7；(2) 5.1),

定 設試驗E的樣本空間由n個樣本構成,A為E的任意一個,且包含m個樣本點則A出現的概率記為即?{12,Ln

P(A)

m A所包含樣本點的個 1,2,L,n

注1o

從nr全排列：Pn=0!=ArPr n(n1)L(nr 組合組合

完成某件事情有n類途徑，在第一類途徑中有m1

法，在第二類途徑中有m2種方法，依次類推，在第nCnrr!(nr)!

途徑中有mn種方法，則完成這件事共有m1+m2+…+mn種、完成某件事情需先后分成n個步驟，做第一步有m1種方法，第二步有m2種方法，依次類推，第n步有mn種方法，則完成這件事共有m1×m2×…×mn種不同的方法.問題1設箱中有β只黑球,現從袋中白球,b個黑球的概率(abβ)?A={所取球恰好含a個白球,b基本總數為:CabA所包含基本的個數為CaCb

問題2設袋中有4只紅球和6只黑球,現從袋中有放解A{前2次摸到黑球第3次摸到紅球第3次摸到紅球4 第2次摸到黑球6次摸摸C次摸摸故PAabC

故PA6641o問題在7位數的中,第一位不能為0，求數字0出現3次的9.633

問題1把4個球放到3個中去,求第1、2個中各有兩個球的概率,其中假設每個可 (答案:p 11

9102o問題擲3顆均勻,求點數之和為4概率 (答案:p363 的所有放法333334種 4 問題2把4個球放到10個中去,每個只

解第1至第4個杯各放一個球的概率為4

p4p4p4

4321098p34 2

1o分房問題將張三、、3人等可能地(答案22o生日問題某班有20個學生都

例有n1/N被分配3某指定恰有m(m≤n)人 解1o先求樣本空間所含的樣本點總數(答案:p 3652010把n個人隨機地分到N個房間中去,每一間，所以每一個人有N種分法,n個人共有Nn種分法,即2o(1)設A=“某指定n間各有一人”則A所含樣本點數：Ann! P(A)

n!n

N分析對于B，由于未指定哪n個房間,所以這n間房可以從N個房間中任意選取,共有Cn種分法.而對于每一選定的n間房,其中NNCnNCn P(B) N設C=“某指定恰有m(m≤n)人n分析“某指定恰有m(m≤n)人”,這m個人可以從nCm種選法,而n

例假設每人的生日在一年365天中的任一天, 1去,共有(N1)nm種分法,所 1

365364L 641)nCm(N1)nmn

Cm(N

p1365364L(36564

P(C)

N

隨機選取n(365)個人,他們的生日各不相同的概

p365364L(365n1)p1365364L(365n1)例1N件產品,D件次品,今從中任取n件,問其中恰有k(kD件次品的概率是多少?解在N件產品中抽取n件的所有可能取法共有

例2在1~2000的整數中隨機地取一個數,問取到的整數既不能被6整除,又不能被8整除的概率是?解設A為“取到的數能被6整除”,B種N “取到的數能被8整除”，則所求概率為P種 nDND

P(AB)P(AUB)1P(AU1{P(A)P(B)P(knk DNDN 333于是所求的概率為p knkn

334

所以PA)2000由于2000250,P(B8

250

例315名新生隨機地平均分配到三個班級中去,這15名新生中有3名是優(yōu)秀生.問1級各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少?(2)3由于83

得PAB

P(AB)1{P(A)P(B)P(

15名新生平均分配到三個班級中的分法總數15105 15!333

83

555

250

每一個班級各分配到一名優(yōu)秀生的法共有2000 2000

1284 3!

4!4!4!種444p 15!25

例4從5雙不同的鞋子中任取4只,求4只鞋子中至少有2只鞋子配成一雙的概率是多少? 4!4!4!5!5! 解法1設A4對于每一種分法,其余12名新生的分法有12!種

A14A24只鞋子恰好配成2雙,1 于是AA1A2且A1A2 2 68(312!)(2!5!5!)種,因此所求概率 則P(A)P(A1A2)P(A1)P(A23 C1[C222 C p 5 2!5!5!5!5!

C C 解法2設A4C4

例5某接待站在某一周曾接待過12次來訪,已知12次接待都是在周二和周四進行的,4P(A) 4C

8

解則PA1P 1813

周一周二周三周四周五周六

i}i33

n m p1

p71200000003. ,

不對 C1P2

一副52張

P(A1)

3964P3P3C1C49611

會,從45名代表中任選名組成工 ,求

C96

(1)某指定的班級 P(A1)

1. 2. 3.

4.

CCC32!

CCC22!05

5. C7;48C7;48

C74C78 6.P(A)C37

9P

C

P(B)1 8C 9 99定義當隨機試驗的樣本空間是某個區(qū)域，并且(長度面積、體積相同的子區(qū)域是等可能的，則A的概率可定義為P(A)SAS(其中S是樣本空間的度量,SA是構成A的

例6甲、乙兩人相0到T這段時間內,在預定地點會面先到的人等候另一個人經過時間t(t<T后離去.設每人在0到T這段時間內各時刻且兩人到達的時刻互不牽區(qū)域的度量.)這樣借助于幾何上的度量來合理規(guī) 解設x,y分別為甲、乙兩人到達的定的概率稱為幾何概型 時刻,那么0xT,0yT說明當古典概型的試驗結果為連續(xù)無窮多個時,

xy

T yxxy

例6甲、乙兩人約定在下午1時到2時之間到某又這段時間內有四班公共汽車，1:15、1:30、1:45、2:00.如果甲、乙約定(1)見車就乘;(2)最多等一輛p陰影部分面積T2(TtT1(1t)2T

車.求甲、乙同乘一車的概率ox ox12時的任何時刻到達車222211設 分別 1x1y

11:151:301:45 11:151:301:45的概率為p

4(1 (21)24

最多等一輛車,甲、乙p13(116)25 (

矩形區(qū) S{(x,)0x,02 解以x表示針投到平面上時

所關心 直線的距離,表示針與該平行直線的夾角 A{針與某一平行直線相交 0xbsin2

0P(A)μ(G)G的面 μ(S P(A)πb0

根據頻率的穩(wěn)定性n很大時ma 2b

測出針與平行直線相交的次數m則頻率值nPA的近似值代入上式 m2bπ2bn2 De

利用(MonteCarlo)法進行計算機模擬取a1,b例8在線段AD上任取兩點BC.在BC的概率 依題意，

Q其中任一線段之長小于其余兩線段之和0xlx,0yl且0lxyxy

設A“三線段能構成三角形” 0l(xy)樣本空間0xl,0

ylU

則A:0xl,0yl lxy2

0

l/2

1(l

2 1l 2

(波動)n概率(穩(wěn)定

(2)P(A)1P(P(AUB)P(A)P(B)PAmA所包含樣本點的個數

設A,B為兩個,且AB,P(A)P(B),P(AB)P(A)例1(中彩問題···,33共33個數字中任取

例2把10本書任意地放在書架上，求其中解A=“指定的3 mA1A3

83!7!3! 7解P(A)1

3!8!1 CC

P(A)

2.3407 2例3在編號為1,2,3,…,n的n張贈券中，采用無放

解n本空間樣本點總數：nAkn A所含的樣本點數：mAk1 概率分 1號贈 白

Ak1AkP(A) n1Akn其他贈 黑 (n1)(n[(n1)(k1)1]1 n(nL(nk 注此題不能直接用組合方法.原因：題目強 例4

例5 18 分 強 白 C 18 其他 黑 C

3解房，N=365(天n樣本空間所包含的樣本點總數：Nn(365)30 則PAn!N

3036530

則D1與D2互斥，且D

DCCn C30Cn則P(B) n

P(D)P(D)P(D)

C30 m

394(364)29Cm(NP(C)

C2

P(D)1P(D)例65個人在第一層進入11層樓的電梯,假如每解把樓層看成是房子,則此問題是5個人進入10

例7在簿中任取一個,求后(設后面四個數中的每一數都是等可能的取01…9.解隨機試驗是觀察的后四位數字,因此可以認為樣本空間?的樣本點總數104,而后四位數字全不相同的樣本點總數為A4 10

pA10/

例8設由7位數字組成(第一位數字不位數字

P1 9109

(5)7位數字含0不含解由0,1,9這十個數可以形成9×106

P291060.000001P39106 97896P4的P5

98966

例9擲五次,試求1恰好有3次點數相同的概率;

不出現6點的基本數是55,只出現一