新教材高中數(shù)學(xué)第3章圓錐曲線與方程3.2拋物線的幾何性質(zhì)課件蘇教版選擇性

3.3.2拋物線的幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解拋物線的幾何性質(zhì).p的幾何意義.3.能利用方程及數(shù)形結(jié)合思想解決與拋物線相關(guān)的問題.

1|拋物線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)圖形

頂點(diǎn)①(0,0)

離心率②

e=1

對稱軸③

x軸

④

y軸

范圍⑤

x≥0

,y∈R⑥

x≤0

,y∈R⑦

y≥0

,x∈R⑧

y≤0

,x∈R開口方向向右向左向上向下參數(shù)p參數(shù)p表示⑨焦點(diǎn)到準(zhǔn)線

的距離,p越大,開口⑩越大

2|拋物線的焦點(diǎn)弦1.焦點(diǎn)弦的概念:過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線相交所得的線段,稱為拋物線的焦

點(diǎn)弦.2.通徑:過拋物線焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的直線與拋物線相交所得的弦,稱為拋物線

的通徑,拋物線的通徑長為2p,是所有焦點(diǎn)弦中長度最短的弦.如圖,已知AB是拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)弦,拋物線的焦點(diǎn)為F,A(x1,y1),B(x2,y2),AA',BB'均垂直于準(zhǔn)線,直線AB的傾斜角為θ,則有

(1)AB=x1+x2+p=

;(2)x1x2=

,y1y2=-p2,

·

=-

p2;(3)AF=

,BF=

;(4)

+

=

;(5)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切;(6)以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切;(7)A,O,B'共線,A',O,B共線;(8)∠A'FB'=90°;(9)S△AOB=

;(10)拋物線在A,B處的切線互相垂直且交點(diǎn)在準(zhǔn)線上.3|圓錐曲線的統(tǒng)一定義圓錐曲線可以統(tǒng)一定義為:平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和到一條定直線l(F不在l上)

的距離之比等于常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡.當(dāng)0<e<1時(shí),它是橢圓;當(dāng)e>1時(shí),它是雙曲線;當(dāng)e=1時(shí),它是拋物線.其中e是圓錐曲線的離心率,定點(diǎn)F是圓錐曲線的焦點(diǎn),定直線l是圓錐曲線的準(zhǔn)線.根據(jù)圖形的對稱性可知,橢圓和雙曲線都有兩條準(zhǔn)線,對于中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸

上的橢圓或雙曲線,與焦點(diǎn)F1(-c,0),F2(c,0)對應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別為x=-

,x=

.

判斷正誤,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“?”.1.拋物線關(guān)于頂點(diǎn)對稱.

(

?)2.拋物線只有一個(gè)焦點(diǎn),一條對稱軸,無對稱中心.

(√)3.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程雖然各不相同,但是其離心率都相同.(√)y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦長是2p.

(√)y=-

x2的準(zhǔn)線方程為x=

.

(

?)

1|拋物線的簡單幾何性質(zhì)

(1)開口:由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程看開口,關(guān)鍵是看準(zhǔn)二次項(xiàng)是x還是y,一次項(xiàng)的系數(shù)是

正還是負(fù).(2)關(guān)系:頂點(diǎn)位于焦點(diǎn)與準(zhǔn)線中間,準(zhǔn)線垂直于對稱軸.(3)定值:焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p;過焦點(diǎn)垂直于對稱軸的弦(又稱為通徑)長為2p;離

心率恒等于1.2.拋物線與雙曲線的一支都是有開口的不封閉的光滑曲線,但它們有本質(zhì)的區(qū)別,

雙曲線有漸近線,而拋物線沒有.作圖時(shí)通常用有無漸近線來區(qū)分它們.(2)通徑的幾何意義:p越大,通徑越長,拋物線的開口越大;反之,p越小,通徑越短,拋

物線的開口越小.

(1)已知拋物線的焦點(diǎn)F在x軸上,直線l過F且垂直于x軸,與拋物線交于A,B兩點(diǎn),O

為坐標(biāo)原點(diǎn),若△OAB的面積為4,求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)已知A、B是拋物線y2=2px(p>0)上兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若OA=OB,且△AOB的垂

心恰是此拋物線的焦點(diǎn),求直線AB的方程;(3)已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),對稱軸為x軸,且與圓x2+y2=4相交于A,B兩點(diǎn),AB

=2

,求拋物線的方程.解析

(1)由題意,可設(shè)拋物線方程為y2=2ax(a≠0),則焦點(diǎn)F

,準(zhǔn)線l:x=-

,不妨設(shè)A

,B

,∴AB=2|a|.∵△OAB的面積為4,∴

·

·2|a|=4,∴a=±2

,∴拋物線方程為y2=±4

x.(2)∵OA=OB,∴可設(shè)A(x0,y0),B(x0,-y0),其中x0>0.∵△AOB的垂心恰是此拋物線的焦點(diǎn)F

,∴kFA·kOB=-1,即

·

=-1,即

=x0

=2px0(x0>0,p>0),∴x0=

p,∴直線AB的方程為x=

p.(3)由已知,拋物線的焦點(diǎn)可能在x軸正半軸上,也可能在x軸負(fù)半軸上,故可設(shè)拋物

線方程為y2=ax(a≠0).設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).∵拋物線y2=ax(a≠0)與圓x2+y2=4都關(guān)于x軸對稱,∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x軸對稱,∴|y1|=|y2|且|y1|+|y2|=2

,∴|y1|=|y2|=

,代入x2+y2=4,得x2+3=4,∴x=±1,∴A(±1,

)或A(±1,-

),代入拋物線方程,得(

)2=±a,∴a=±3.∴所求拋物線方程是y2=3x或y2=-3x.2|拋物線的焦點(diǎn)弦問題

弦的諸多結(jié)論實(shí)質(zhì)是利用拋物線的定義并結(jié)合相關(guān)知識(shí)推得的.y2=2px(p>0)的拋物線而言的,但在實(shí)際應(yīng)用

中,有些拋物線的方程可能不是這種形式,這時(shí)相關(guān)結(jié)論會(huì)隨之變化,不能盲目套

用.

已知拋物線y2=4x,經(jīng)過其焦點(diǎn)F且斜率為k(k>0)的直線l與拋物線相交于M,N

兩點(diǎn),且MF=3NF,則k=

.解析

解法一:分別過M,N兩點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為P,Q,過N向PM作垂線,垂

足為S,設(shè)NF=m(m>0),則MF=3m,由拋物線的定義得MP=3m,NQ=m,所以MS=2m,MN=m+3m=4m,則sin∠MNS=

=

,即∠MNS=30°,故直線l的傾斜角等于60°,所以k=tan60°=

.解法二:設(shè)直線l的傾斜角為θ,則θ∈

,由于MF=

,NF=

,且MF=3NF,所以

=

,解得cosθ=

,所以θ=

,所以k=tanθ=

.解法三:拋物線y2=4x中,p=2,所以

+

=

=1,又因?yàn)镸F=3NF,所以MF=4,NF=

,于是MN=

.設(shè)直線l的傾斜角為θ,則θ∈

,所以

=

,解得sinθ=

(負(fù)值舍去),所以θ=

,故k=tanθ=

.答案

3|拋物線的實(shí)際應(yīng)用利用拋物線的有關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問題的步驟(1)建:建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系.(2)設(shè):設(shè)出合適的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程.(3)算:通過計(jì)算求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(4)解:解出需要求的量.(5)答:把解答結(jié)果還原到實(shí)際問題中,從而解決實(shí)際問題.

河道上有一拋物線型拱橋,在正常水位時(shí),拱圈最高點(diǎn)距水面8m,拱圈內(nèi)水面寬24

m,一條船在水面以上部分高6.5m,船頂部寬6m.(1)試建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,求拱橋所在的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)近日水位暴漲了1.54m,為此,必須加重船載,降低船身,才能通過橋洞,試問:船

身至少應(yīng)該降低多少?(精確到0.1m)思路點(diǎn)撥(1)根據(jù)圖形建立直角坐標(biāo)系,設(shè)出拱橋所在的拋物線方程,設(shè)拱橋與水面兩交點(diǎn)

分別為A,B,由坐標(biāo)系可知A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo),將其中一個(gè)代入拋物線方程,即可得解;(2)根據(jù)船頂寬6