測量誤差和數(shù)據(jù)處理

測量誤差和數(shù)據(jù)處理第一頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一難點重點正態(tài)分布的標準差、近似標準差（貝塞爾公式）直接測量的數(shù)學(xué)表達式誤差的合成間接測量誤差的傳遞第二頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一第一節(jié)測量誤差的來源1．儀器誤差2．人員誤差3．環(huán)境誤差4．方法誤差第三頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一第二節(jié)隨機誤差分析就單次測量而言，隨機誤差沒有規(guī)律，但當測量次數(shù)足夠多時，則服從正態(tài)分布規(guī)律，隨機誤差的特點為對稱性、有界性、單峰性、抵償性。f()第四頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一問題

測量總是存在誤差，而且誤差究竟等于多少難以確定，那么，從測量值如何得到真實值呢？

例如，測量室溫，6次測量結(jié)果分別為19.2℃,19.3℃,19.0℃,19.0℃,22.3℃,19.5℃,那么室溫究竟是多少呢？

第五頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一一．測量值的數(shù)學(xué)期望和標準差1．數(shù)學(xué)期望對被測量x進行等精度n次測量，得到n個測量值x1，x2，x3，…，xn。則n個測得值的算術(shù)平均值為：第六頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一當測量次數(shù)時，樣本平均值的極限定義為測得值的數(shù)學(xué)期望。當測量次數(shù)時，測量值的數(shù)學(xué)期望等于被測量的真值。?數(shù)學(xué)期望第七頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一根據(jù)隨機誤差的抵償特性，當時即所以，當測量次數(shù)時，測量值的數(shù)學(xué)期望等于被測量的真值。分析：數(shù)學(xué)期望第八頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一2．剩余誤差（殘差）當進行有限次測量時，測得值與算術(shù)平均值之差。

數(shù)學(xué)表達式：對上式兩邊求和得：所以可得剩余誤差得代數(shù)和為0。第九頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一4．標準差（標準誤差，均方根誤差）對方差開平方。σ反映了測量的精密度，σ小表示精密度高，測得值集中，σ大，表示精密度底，測得值分散。3.方差第十頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一δf(δ)二．隨機誤差的正態(tài)分布分析1．正態(tài)分布高斯于1809年推導(dǎo)出描述隨機誤差統(tǒng)計特性的解析方程式，稱高斯分布規(guī)律。隨機誤差標準誤差曲線下面的面積對應(yīng)誤差在不同區(qū)間出現(xiàn)的概率。第十一頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一例如：δf(δ)第十二頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一從正態(tài)分布曲線可看出：①δ絕對值越小，愈大，說明絕對值小的誤差出現(xiàn)的概率大。②大小相等符號相反的誤差出現(xiàn)的概率相等。δf(δ)第十三頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一③σ愈小，正態(tài)分布曲線愈尖銳，σ愈大，正態(tài)分布曲線愈平緩。說明σ反映了測量的精密度。σ=1σ=2第十四頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一2．極限誤差Δ從上式可見，隨機誤差絕對值大于3σ的概率很小，只有0.3%，出現(xiàn)的可能性很小。因此定義：第十五頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一隨機誤差的特點單峰性

誤差絕對值越小，出現(xiàn)密度越大，誤差絕對值越大，出現(xiàn)密度越小對稱性絕對值相同，符號相反的誤差出現(xiàn)的概率相等抵償性

當測量次數(shù)n→∞時，誤差總和為零有界性

誤差落[-3,3]的概率為0.9973

3也稱為極限誤差或者誤差限第十六頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一3．貝塞爾公式采用殘差代替隨機誤差（2）有限次測量標準誤差的最佳估計值（近似標準誤差）（1）標準差（標準誤差，均方根誤差）：貝塞爾公式第十七頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一（3）算術(shù)平均值的標準差（4）平均值標準誤差的最佳估計值（近似平均值標準誤差）第十八頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一三．有限次測量下測量結(jié)果表達式步驟：1）列出測量數(shù)據(jù)表；2）計算算術(shù)平均值、、；3）計算和；置信概率0.9973

置信概率0.9545置信概率0.68274）給出最終測量結(jié)果表達式：第十九頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一例如，測量室溫，6次測量結(jié)果分別為19.2℃,19.3℃,19.0℃,19.0℃,22.3℃,19.5℃,那么室溫究竟是多少呢？解：參照例題2-4-1（p34）第二十頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一第三節(jié)系統(tǒng)誤差分析N(t)AxN(t)AxN(t)Ax累進系統(tǒng)誤差恒定系統(tǒng)誤差周期性系統(tǒng)誤差一、分類：恒定系統(tǒng)誤差變化系統(tǒng)誤差第二十一頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一二、系統(tǒng)誤差的判斷1．理論分析，可通過對測量方法的定性分析發(fā)現(xiàn)測量方法或測量原理引入的系統(tǒng)誤差。2．校準和比對：測量儀器定期進行校準或檢定并在檢定書中給出修正值。3．改變測量條件：根據(jù)在不同的測量條件下測得的數(shù)據(jù)進行比較，可能發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。4．剩余誤差觀察：根據(jù)測量數(shù)據(jù)列剩余誤差的大小及符號變化規(guī)律可判斷有無系統(tǒng)誤差及誤差類型，這種方法不能發(fā)現(xiàn)定值系統(tǒng)誤差。第二十二頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一三．消除系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的根源要減少系統(tǒng)誤差要注意以下幾個方面。1．采用的測量方法及原理正確。2．選用的儀器儀表的類型正確，準確度滿足要求。3．測量儀器應(yīng)定期校準、檢定，測量前要調(diào)零，應(yīng)按照操作規(guī)程正確使用儀器。對于精密測量必要時要采取穩(wěn)壓、恒溫、電磁屏蔽等措施。4．條件許可，盡量采用數(shù)顯儀器。5．提高操作人員的操作水平及技能。第二十三頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一第四節(jié)

誤差的合成、間接測量的誤差傳遞與分配一．誤差合成由多個不同類型的單項誤差求測量中的總誤差是誤差合成問題。1、隨機誤差合成

若測量結(jié)果中有k個彼此獨立的隨機誤差，各個隨機誤差互不相關(guān)，各個隨機誤差的標準誤差分別為σ1、σ2、σ3、…、σk則隨機誤差合成的總標準差σ為：方和根合成法第二十四頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一若以極限誤差表示，則合成的極限誤差為：當隨機誤差服從正態(tài)分布時，對應(yīng)的極限誤差。

1、隨機誤差合成第二十五頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一2、系統(tǒng)誤差的合成（1）已定系統(tǒng)誤差的合成已定系統(tǒng)誤差，是指測量誤差的大小、方向和變化規(guī)律是可以掌握的。只要是已定系統(tǒng)誤差，都應(yīng)當用代數(shù)方法計算其合成誤差。表達式：由于所得結(jié)果是明確大小和方向的數(shù)值，故可直接在測量結(jié)果中修正，在一般情況下最后測量結(jié)果不應(yīng)含有已定系統(tǒng)誤差的內(nèi)容。

第二十六頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一（2）未定系統(tǒng)誤差的合成未定系統(tǒng)誤差，指測量誤差既具有可知的一面，又具有不可預(yù)測的一面。在通常情況下，未定系統(tǒng)誤差多以極限誤差的形式給出誤差的最大變化范圍。①絕對值合成法：當m大于10時，合成誤差估計值往往偏大。一般應(yīng)用于m小于10。表達式：第二十七頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一(2)方和根合成法一般應(yīng)用于m大于10。表達式：例：0.5級，量程0~600kPa，分度值2kPa，h=0.05m，讀數(shù)300kPa，指針來回擺動±1個格，環(huán)境溫度30oC（標準環(huán)境溫度20oC），每偏離1oC的附加誤差為基本誤差的4%。第二十八頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一

1）儀表精度等級引起的誤差：2）讀數(shù)誤差（即分度誤差)2kpa3)環(huán)境溫度引起誤差：4)安裝位置引起的誤差：前三項屬于未定系統(tǒng)誤差，最后一項屬于已定系統(tǒng)誤差。前三項按絕對值合成法：第二十九頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一3．隨機誤差與系統(tǒng)誤差的合成

其中ε為已定系統(tǒng)誤差，e為未定系統(tǒng)誤差（絕對值），l為隨機誤差的極限誤差(絕對值)。第三十頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一二．間接測量的誤差傳遞研究函數(shù)誤差一般有以下三個內(nèi)容：①．已知函數(shù)關(guān)系及各個測量值的誤差，求函數(shù)即間接測量的誤差。②．已知函數(shù)關(guān)系及函數(shù)的總誤差，分配各個測量值的誤差。③．確定最佳測量條件，使函數(shù)誤差達到最小。

第三十一頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一1．函數(shù)誤差傳遞的基本公式假設(shè)間接測量的數(shù)學(xué)表達式為：將上式按泰勒級數(shù)展開直接測量值間接測量值第三十二頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一略去高階項絕對誤差：相對誤差：1．函數(shù)誤差傳遞的基本公式第三十三頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一2．系統(tǒng)誤差的函數(shù)傳遞當系統(tǒng)誤差為已定系統(tǒng)誤差時將各直接測量的系統(tǒng)誤差代入上式計算即可。當系統(tǒng)誤差為未定系統(tǒng)誤差，當各分項數(shù)小于10可采用絕對和法，當各分項數(shù)大于10可采用方和根法。絕對和法：方和根法：第三十四頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一（1）和差函數(shù)的誤差傳遞

設(shè)

，

則絕對誤差若誤差符號不確定：相對誤差：第三十五頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一（2）積函數(shù)誤差傳遞

設(shè)，則絕對誤差若誤差符號不確定：相對誤差：第三十六頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一（3）商函數(shù)誤差傳遞設(shè)，則絕對誤差相對誤差：若誤差符號不確定：第三十七頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一（4）冪函數(shù)的誤差傳遞

設(shè)，則絕對誤差相對誤差：若誤差符號不確定：第三十八頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一例6：已知：R1=1kΩ，R2=2kΩ，求解：第三十九頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一例7：溫度表量程為100℃，精度等級1級，t1=65℃，t2=60℃，計算溫差的相對誤差。解1：℃第四十頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一已知，，，，求。解：例8：第四十一頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一3．隨機誤差的函數(shù)傳遞已知各個直接測量的標準誤差，…，，則

部分誤差第四十二頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一相對誤差第四十三頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一三．間接測量的誤差分配解決誤差分配問題。通常采取的方法為①等作用原則，②調(diào)整原則。所謂等作用原則，即假設(shè)各直接測量的部分誤差相等D1=D2=…Dn按照等作用原則進行誤差分配并不合理，主要原因，在實際應(yīng)用中，有些量達到高精度測量比較困難，要付出很高代價，而有些則相對較容易。故需要根據(jù)實際情況進行調(diào)整。第四十四頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一例9：散熱器裝置：，設(shè)計工況L=50L/h，進出口溫差℃。按照題意，誤差應(yīng)寫成極限誤差的形式。即分析：直接測量為流量L，散熱器進出口溫度t1、t2(或溫差t1-t2)

。間接測量為熱量Q。要求測量誤差小于等于10%。第四十五頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一按照等作用原則，可得流量及溫差的部分誤差分別為7.1%。再根據(jù)實際情況選擇調(diào)整。第四十六頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一第五節(jié)

測量數(shù)據(jù)的處理一．有效數(shù)字的處理1．有效數(shù)字：從數(shù)字的左邊第一個不為零的數(shù)字起，到右面最后一個數(shù)字（包括零）止。2．舍入原則(4舍6入5湊偶)：小于5舍，大于5入，等于5時采取偶數(shù)法則。12.5寫作12；13.5寫作143有效數(shù)字的運算規(guī)則：運算時各個數(shù)據(jù)保留的位數(shù)一般以精度最差的那一項為基準。加減法運算以小數(shù)點后位數(shù)最少的為準。乘除法運算以有效數(shù)字位數(shù)最少的數(shù)為準。乘方、開方運算結(jié)果比原數(shù)多保留一位有效數(shù)字。

第四十七頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一二．測量結(jié)果的處理

處理步驟：1）對測得值進行修正；將數(shù)據(jù)列成表格。3）列出殘差：，并驗證2）求算術(shù)平均值：4）計算標準偏差：第四十八頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一5）按照原則判斷測量數(shù)據(jù)是否含有粗差，若有則予以剔除并轉(zhuǎn)到2從新計算，直到?jīng)]有壞值為止。6）根據(jù)殘差的變化趨勢判斷是否含有系統(tǒng)誤差，若有應(yīng)查明原因，消除后重新測量。7）求算術(shù)平均值的標準偏差：8）寫出最終結(jié)果表達式。二．測量結(jié)果的處理第四十九頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一例題使用某水銀玻璃棒溫度計測量室溫，共進行了16次等精度測量，測量結(jié)果列于表中。該溫度計的檢定書上指出該溫度計具有0.05℃的恒定系統(tǒng)誤差。請寫出最后的測量結(jié)果。第五十頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一例題解答（1）第五十一頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一例題解答（2）判斷是否存在粗大誤差修正已定系統(tǒng)誤差求出算術(shù)平均值，205.30℃計算殘差，列于表中計算標準偏差（最佳估計值）判斷有無壞值，剔除壞值。重新計算殘差，列于表中。重新計算標準