斯托克斯公式證明環(huán)路定理

斯托克斯公式證明環(huán)路定理作者：蘇沛指導(dǎo)教師：髙建【摘要】引入環(huán)流量、旋度等概念，再運(yùn)用斯托克斯公式證明恒穩(wěn)磁場(chǎng)環(huán)路定理，證明方法易懂?！娟P(guān)鍵詞】環(huán)流量、旋度、環(huán)路定理、斯托克斯公式。1.環(huán)流量與旋度給定一向量場(chǎng)A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k,設(shè)L為場(chǎng)內(nèi)一有向閉曲線，L上與指定方向一致的單位切向量為-則曲線積分JA*ds=f"rdsL L稱為向量場(chǎng)A沿有向閉曲線L的環(huán)流量。設(shè)S是以L為邊界的有向曲面，曲線L的方向與曲面S的側(cè)符合右手規(guī)則，由斯托克斯公式有JA*ds=JPdx+Qdy+Rdzff（竺-塹如+（蘭-淪也&+（空-4dy,J?dydz dzdx dxdy(肇-￡￡)；+(?一<)丿+(字一眾慶稱為向量場(chǎng)A的旋度，記為oydzdzoxdxdyrotA,于是利用旋度可將斯托克斯公式寫成如下形式：rotA*dS=fA*dls L它表示向量場(chǎng)A沿有向曲線L的環(huán)流量等于其旋度rotA通過以L為邊界所張的曲面S的通量。旋度是一個(gè)向量，它是由向量場(chǎng)A產(chǎn)生的向量場(chǎng)，稱為旋度場(chǎng)。

如果A表示穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的流速場(chǎng)，那么環(huán)流量JA'ds表示單位時(shí)L間內(nèi)沿閉曲線L的流體總量，反映了流體沿L時(shí)的旅轉(zhuǎn)強(qiáng)弱程度。當(dāng)rotA三0時(shí)，即沿任意閉曲線的環(huán)流量為零，此時(shí)流體流動(dòng)時(shí)不形成漩渦，稱A為無旋場(chǎng)。1.設(shè)L為場(chǎng)內(nèi)一有向閉曲線，L上與指定方向一致的單位切向量為=%ydz+（蘭-叫dzdx+（竺-蘭）如y

dydz dzdx dxdy三JjrotA?dS=fA?dss L2.穩(wěn)恒磁場(chǎng)環(huán)路定理證明計(jì)算載流圓柱體周圍磁場(chǎng)空間磁場(chǎng)強(qiáng)度〃矢量的旋度，設(shè)載流圓柱體的半徑為R,電流強(qiáng)度為I,且均勻分布在截面上。由環(huán)路定理得其周圍空間各點(diǎn)處和仆基旋度的柱坐標(biāo)形式大小為和仆基旋度的柱坐標(biāo)形式大小為“=（丄螢一些”+（生一也a+（丄込-丄生慶rdadz dzdr rdrrdaI的流向沿Z軸方向，沿i?為徑向，Q為切線方向，已知乞=0,%=0,號(hào)=則導(dǎo)體外部H的旋度為：“出外=（丄坐-磴》+（生-坐加+（-！^+生）"0rdadz dzdr dr da同理可得7?AdHz 帆dH.A次廣紜1前八/1廠rdadz dzdr rdr rda 刃L上述結(jié)果表明，只有載流導(dǎo)體內(nèi)部各點(diǎn)處H的旋度不為零，其大小等于一個(gè)常量所以由JJrotA^dS=jA^dl可得：、H?dl=1s L L這一結(jié)論可推廣到L中包含多個(gè)電流的情況，即為\H?dl二fZL E此式即為穩(wěn)恒磁