斯托克斯公式證明環(huán)路定理

斯托克斯公式證明環(huán)路定理作者：蘇沛指導教師：髙建【摘要】引入環(huán)流量、旋度等概念，再運用斯托克斯公式證明恒穩(wěn)磁場環(huán)路定理，證明方法易懂?！娟P(guān)鍵詞】環(huán)流量、旋度、環(huán)路定理、斯托克斯公式。1.環(huán)流量與旋度給定一向量場A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k,設(shè)L為場內(nèi)一有向閉曲線，L上與指定方向一致的單位切向量為-則曲線積分JA*ds=f"rdsL L稱為向量場A沿有向閉曲線L的環(huán)流量。設(shè)S是以L為邊界的有向曲面，曲線L的方向與曲面S的側(cè)符合右手規(guī)則，由斯托克斯公式有JA*ds=JPdx+Qdy+Rdzff（竺-塹如+（蘭-淪也&+（空-4dy,J?dydz dzdx dxdy(肇-￡￡)；+(?一<)丿+(字一眾慶稱為向量場A的旋度，記為oydzdzoxdxdyrotA,于是利用旋度可將斯托克斯公式寫成如下形式：rotA*dS=fA*dls L它表示向量場A沿有向曲線L的環(huán)流量等于其旋度rotA通過以L為邊界所張的曲面S的通量。旋度是一個向量，它是由向量場A產(chǎn)生的向量場，稱為旋度場。

如果A表示穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的流速場，那么環(huán)流量JA'ds表示單位時L間內(nèi)沿閉曲線L的流體總量，反映了流體沿L時的旅轉(zhuǎn)強弱程度。當rotA三0時，即沿任意閉曲線的環(huán)流量為零，此時流體流動時不形成漩渦，稱A為無旋場。1.設(shè)L為場內(nèi)一有向閉曲線，L上與指定方向一致的單位切向量為=%ydz+（蘭-叫dzdx+（竺-蘭）如y

dydz dzdx dxdy三JjrotA?dS=fA?dss L2.穩(wěn)恒磁場環(huán)路定理證明計算載流圓柱體周圍磁場空間磁場強度〃矢量的旋度，設(shè)載流圓柱體的半徑為R,電流強度為I,且均勻分布在截面上。由環(huán)路定理得其周圍空間各點處和仆基旋度的柱坐標形式大小為和仆基旋度的柱坐標形式大小為“=（丄螢一些”+（生一也a+（丄込-丄生慶rdadz dzdr rdrrdaI的流向沿Z軸方向，沿i?為徑向，Q為切線方向，已知乞=0,%=0,號=則導體外部H的旋度為：“出外=（丄坐-磴》+（生-坐加+（-！^+生）"0rdadz dzdr dr da同理可得7?AdHz 帆dH.A次廣紜1前八/1廠rdadz dzdr rdr rda 刃L上述結(jié)果表明，只有載流導體內(nèi)部各點處H的旋度不為零，其大小等于一個常量所以由JJrotA^dS=jA^dl可得：、H?dl=1s L L這一結(jié)論可推廣到L中包含多個電流的情況，即為\H?dl二fZL E此式即為穩(wěn)恒磁